Fissure suiveuse

Dans le cas d’une fissure suiveuse, nous devons résoudre numériquement les équations, qui sous forme adimensionnées décrivent la propagation

( ¯_{C~n − ¯}D~u). ~T = 0 (3.27)

( ¯C~n + ¯D~u).~t = G¯c. (3.28)

avec ¯_{C = (1 − ¯Γ)¯l/2 et ¯D = β − 2α¯l. La propagation, qui a lieu dans la} direction

t = pC~n + ¯¯_¯ D~u

C2_{+ ¯D}2 (3.29)

n’est donc possible que si

¯

3.9. Annexe : Prédiction numérique du chemin de fissures. 85

Spirale

Dans le cas de la spirale, la propagation est continue, de sorte que la condition (3.30) est supposée toujours satisfaite.

La résolution sous matlab consiste en l’itération d’un séquence de 2 étapes : – détermination de la position du front (équation 3.27). Nous partons d’un point quelconque sur la trajectoire ancienne, que nous prenons comme extrémité possible du front de délamination. Si ¯D est déterminé par la

géométrie, c’est la condition de propagation (3.30) qui permet d’obtenir ¯

C. On peut en déduire le produit scalaire ( ¯_{C~n − ¯}D~u). ~T , qui représente

l’énergie relâchée lors de l’avancée du front déduite de l’énergie d’adhé- sion. En fonction du signe de cette quantité on fait donc avancer ou reculer la position du front, jusqu’à finalement obtenir la position qui satisfait l’équation (3.27). Lorsque cette étape est terminée on peut pro- céder à la

– détermination de la direction de propagation, donnée par (3.29). Nous avançons alors d’une petite quantité la trajectoire dans cette direction. Pour la détermination du front au pas suivant, nous prendrons comme point de départ la position actuelle.

Notons que cette résolution suppose une propagation simultanée, à la même vitesse, du front et de la fissure, puisque la condition de propagation de la fissure est utilisée dans la détermination de la position du front.

Allée de croissants

Dans le cas d’une allée oscillante nous utilisons le même schéma, mais nous étudions à chaque étape la condition de propagation, qui peut ici être mise en défaut. La valeur de ¯D, obtenue en faisant l’hypothèse de la propagation

fixe en effet la valeur de Γ(v) = e¯Γ, et peut être trop faible par rapport à la valeur minimale Γ0 = Γ(v = 0), déterminant alors l’arrêt de la propagation.

Nous nous attendons ainsi à une propagation moins efficace au moment où la fissure commence à tourner autour d’un point d’arrêt.

Lorsque la fissure est arrêtée, nous observons expérimentalement le déve- loppement d’un nouveau front de délaminage, sur le bord avant de la fissure qui vient de se propager. Nous observons ensuite un re-démarrage de la fissure dans une direction différente, formant alors un point anguleux. Cette phase n’est pas décrite dans notre modèle.

Dans le modèle numérique, nous autorisons la propagation de la branche retour le long de la fissure, en reprenant les étapes précédentes. Au début, le front de délaminage se trouve pratiquement parallèle à la découpe ancienne, c’est donc une situation très mal décrite par notre modèle, qui est plus per- tinent lorsque le front est quasi-perpendiculaire à la découpe). Nous savons de plus qu’en réalité cette phase de propagation est fortement influencée par la présence d’un front de décollement émanent de la découpe ancienne. Pour

toutes ces raisons, nous n’attendons pas mieux qu’une description qualitative du début de cette phase de retour par notre approche. La fissure retrouve cependant assez rapidement un mode de propagation à la distance W1 de la

découpe ancienne où notre modèle retrouve sa pertinence, et au total nous retrouvons la forme de l’allée oscillante de propagation.

Nous notons enfin que la forme du motif de propagation dépend de façon très sensible du paramètre Γ0 qui fixe le point d’arrêt de la fissure. En effet,

selon le choix de ce paramètre, on peut obtenir des oscillations à amplitude croissante ou décroissante. C’est pour un choix très particulier du paramètre que l’amplitude est constante. Dans les situations expérimentales, si nous ob- servons quelquefois des motifs à amplitude variables, ils sont très souvent à amplitude constante. Ceci suggère que le mécanisme décrit par notre modèle simple est incomplet : le mécanisme qui fixe l’amplitude n’est pas très robuste (une seule valeur du paramètre Γ0).

4

4

C

h

a

p

it

r

e

Dynamique : petits croissants,

cercles et étoiles

4.1. Diagramme de configuration étendu 89

Dans le chapitre précédent, nous avons étudié sous quelles conditions les fissures interfaciales et les fissures dans le film coopèrent dans un nouveau mode de rupture. Nous avons vu qu’une taille correspondant au maximum d’énergie élastique relâchée est sélectionnée et permet de décrire les nouvelles limites de stabilité observées dans les films minces. Nos arguments sont par- ticulièrement valables lorsque la fissure dans le film n’est pas possible sans le décollement. Cependant, nous remarquons que même lorsque la propaga- tion de fissures isolées est possible, les motifs décrits précédemment peuvent se propager si l’énergie d’interface est faible (section 4.1). Nous présenterons quels motifs se propagent dans les expériences lorsque l’on augmente l’énergie résiduelle e disponible dans la couche et nous introduirons de nouveaux motifs de fissures observés sous ces conditions (cercles, étoiles et croissants de petites amplitudes). D’une façon générale, la sélection des motifs nécessite de mieux décrire les vitesses de propagation du front de délamination et de la fissure en fonction du chargement (section 4.2). Lorsque la propagation de fissure iso- lée et la collaboration fissure-délamination sont toutes deux énergétiquement possibles, nous chercherons à savoir quel mode de rupture est favorisé (sec- tion 4.3). Nous proposerons des pistes de compréhension de la sélection des rapports d’aspect dans les allées de croissants (section 4.4). Nous décrirons enfin les motifs de fissures obtenus à grand rapport Gc/Γ : la délamination

gouverne alors la nucléation de nouvelles fissures isolées conduisant à la for- mation d’étoiles ou dicte le chemin de propagation de la fissure en forme de cercles (section 4.5).

4.1 Diagramme de configuration étendu

À la fin du chapitre précédent, nous avons vu que les allées de croissants de grand rapport d’aspect se propagent dans une bande définie par Γ1 > Γ0 > Γ2.

Des allées de croissants de plus faible rapport d’aspect se propagent cepen- dant au-dessus de la condition d’arrêt des fissures autour d’un point singu- lier (Γ2 > Γ0). Ce mode de propagation est également observé au-dessus de

l’épaisseur critique permettant de propager des fissures isolées (figure 4.1). Trois régions apparaissent dans le diagramme de configuration. Elles corres- pondent à trois rapports d’aspect AR différents que nous avons définit comme le rapport de l’amplitude sur la longueur d’onde des croissants (figure 3.10). Le rapport d’aspect des croissants diminue pour des valeurs croissantes de

γe/Gc et e/Γ0. Pour γe/Gc > 0.5, le mode de propagation par la collabora-

tion fissure-délamination mise en évidence au chapitre précédent et la propa- gation de fissures isolées sont en compétition. Nous observons effectivement la propagation de croissants de faible rapport d’aspect, de duos de fissures et de fissures suiveuses. Dans le diagramme de configuration (figure 4.1), le coin supérieur gauche caractérisé par des grands rapports γΓ0/Gc présente les

Figure 4.1: Diagramme de configuration. Le mode de rupture collaboratif (fissures suiveuses et duos de fissures) apparaît dans des situations où la pro- pagation de fissures isolées est énergétiquement possible. Les rapports d’aspect des allées de croissants décroissent pour des grands chargements (à grand e). Notons également l’apparition de motifs en étoiles ou en cercles.