3.2.1 Cas linéaire . . . . 43
3.2.2 Cas non linéaire. . . . 44
3.3 Modélisation de l’aiguille . . . . 45
3.4 Dispositifs de supervision . . . . 47
3.4.1 Echographie 3D mode B . . . . 47
3.4.2 Robot . . . . 47
3.4.3 Elastographie . . . . 47
3.5 Contribution . . . . 48
3.5.1 Filtre de Kalman sans parfum multi-fréquences (MUKF) . . 48
3.6 Résultats . . . . 53
3.6.1 Simulation . . . . 53
3.6.2 Expériences . . . . 57
3.7 Conclusion . . . . 64
Parmi les sous-problématiques du guidage d’une aiguille flexible, l’estimation
de sa position est une étape essentielle car elle peut servir de base à la fois pour sa
localisation, mais aussi pour la planification puis le suivi d’une trajectoire (cf. Fig.
3.1).
F
IGURE3.1 – Sous-problématiques d’intérêt pour l’estimation de la position de
42 Chapitre 3. Observateur pour la pose et la courbure de l’aiguille
Dans ce chapitre, nous détaillerons notre positionnement vis-à-vis de l’état de
l’art, puis notre contribution pour l’estimation de la position de l’aiguille sous la
forme d’un observateur d’état. Enfin, nous conclurons par l’analyse de nos résultats
expérimentaux.
3.1 Positionnement vis-à-vis de l’état de l’art
Quel que soit le modèle choisi pour l’aiguille, il est nécessaire, au cours du
gui-dage, d’estimer l’évolution de son état. Pour ce faire, un observateur peut être
em-ployé. Il permet l’estimation de l’état du système à partir de mesures de grandeurs
d’intérêt. Dans le cadre du guidage d’aiguilles flexibles, de nombreux observateurs
ont été développés avec leurs propres apports et limitations que nous avons
déve-loppés en section2.4.3. Cette discussion traitera notamment du choix des capteurs,
des modèles mais aussi des algorithmes employés. Ces points sont synthétisés en fin
de chapitre, dans le tableau3.3.
Tout d’abord, les capteurs employés sont souvent choisis pour faciliter
l’obser-vation d’état au détriment de l’applicabilité clinique.
En effet, les solutions 2.5D sont souvent préférées dans la littérature [89], [27],
[139] car elles permettent de profiter d’une fréquence de rafraichissement à 25 Hz
tout en maintenant l’aiguille dans une configuration de visibilité optimale.
Cepen-dant, cette solution requiert la translation motorisée et asservie d’une sonde 2D afin
de produire une image perpendiculaire à l’aiguille et contenant son extrémité. Le
contexte clinique et l’environnement anatomique ne permettent pas forcément une
telle approche. En outre, la translation de la sonde peut provoquer la déformation
des tissus sous-jacents et perturber l’insertion.
C’est pourquoi nous avons privilégié l’emploi de l’échographie 3D, plus adaptée
à une application clinique dans le cadre d’un guidage robotisé d’aiguilles flexibles.
En revanche, elle souffre d’une faible fréquence de rafraichissement, d’une faible
ré-solution et de la présence de nombreux artefacts lumineux dans les images acquises.
Pour compenser ces limitations, nous proposons un observateur prenant en compte
de façon asynchrone toutes les mesures à notre disposition, et ce, dès qu’elles sont
disponibles.
Ensuite, nous avons vu dans la section 2.4.3, que les observateurs d’état sont
proposés pour des modèles cinématiques mais aussi pour des modèles d’interaction.
Tout d’abord, dans le cas où l’aiguille est modélisée par un modèle d’interaction,
l’observation d’état a été appliquée avec succès en 2D [65] et en 3D [85]. L’emploi
d’un modèle d’interaction est intéressant, car il permet non seulement de modéliser
l’aiguille, mais aussi le comportement des tissus [34]. Cependant, les algorithmes de
planification de trajectoire et de contrôle restent pour la plupart basés sur des
mo-dèles cinématiques. L’estimation est alors principalement utilisée pour la localisation
et n’est que partiellement prise en compte dans le reste du guidage. Par conséquent,
dans un souci d’unification entre estimation et planification de trajectoire, nous
pré-férons adopter un unique modèle cinématique tout au long de ce manuscrit.
L’obser-vation d’état devient alors le point central du guidage robotisé d’où sa présentation
dans ce premier chapitre développant nos contributions.
Deuxièmement, dans le cas où l’aiguille est modélisée par un modèle
cinéma-tique, la courbure de l’aiguille est souvent considérée constante au cours de
l’in-sertion [9]. Le rayon de courbure est alors déduit d’insertions faites préalablement
3.2. Filtre de Kalman 43
dans le tissu, ce qui est incompatible avec un usage clinique. De plus, le rayon de
courbure de l’aiguille dépend des propriétés mécaniques des tissus traversés et peut
donc s’avérer patient-spécifique. La relation entre l’élasticité des tissus et la courbure
de l’aiguille est étudiée pour la première fois dans [89]. Cette étude propose une
es-timation en ligne du rayon de courbure d’une l’aiguille suivie en 2.5D. Un arc de
cercle est ajusté à la trajectoire de l’aiguille lorsqu’elle est insérée sans rotation.
Ce-pendant, cette méthode n’est applicable qu’en contraignant l’insertion de l’aiguille
à une succession d’arcs de cercles et requiert de nombreuses acquisitions de qualité,
obtenues ici en 2.5D durant l’insertion, ce qui la rend incompatible avec
l’échogra-phie 3D employée dans nos travaux.
Dans ces travaux, nous proposons l’estimation du rayon de courbure de
l’ai-guille en per-opératoire. Celle-ci peut s’appuyer sur des mesures d’élastographie
afin de permettre des insertions dans des tissus hétérogènes. Pour une plus grande
flexibilité, la solution proposée n’impose pas de contraintes particulières sur le
mou-vement de l’aiguille. Enfin, notre solution repose sur le filtre de Kalman dont nous
discuterons par la suite.
3.2 Filtre de Kalman
Le filtre de Kalman est un observateur d’état qui permet d’estimer l’état d’un
sys-tèmexen s’appuyant sur des mesures bruitéesy, en minimisant l’erreur d’estimation
E. C’est un estimateur linéaire centré (E(E) = 0) et orthogonal (E(E(y−y)
>) = 0)
qui fait l’hypothèse que les variables stochastiques ont des densités de probabilité
Gaussiennes. Pour des raisons de concision, nous n’évoquerons par la suite que les
filtres de Kalman à temps discret.
3.2.1 Cas linéaire
Soit un système linéaire discret écrit sous la forme :
x
k+1=F
kx
k+B
ku
k+w
ky
k=H
kx
k+v
k(3.1)
où, à l’instant k :
- x
kest le vecteur d’état du système ;
- y
kest le vecteur des mesures réalisées ;
- u
kest le vecteur des entrées appliquées au système ;
- F
kest la matrice de transition d’état du système ;
- H
kest la matrice d’observation du système ;
- B
kest la matrice de commande du système ;
- w
k(resp. v
k) est un vecteur correspondant à un bruit blanc Gaussien d’état
(resp. de mesures) centré et non corrélé au vecteur d’état (resp. de mesures).
Alors, si le couple (F
k,H
k) est observable, il est possible d’estimer ˆx
k, l’estimée du
vecteur d’étatx
k, à partir des mesuresy
k.
Le filtre de Kalman fonctionne en deux étapes : prédiction et estimation. Tout
d’abord, pendant la prédiction, le filtre va estimer l’état ainsi que la "précision de
l’estimation" à l’instant k en s’appuyant sur l’état du système à l’instant k-1. La
me-sure n’est pas alors pas prise en compte.
44 Chapitre 3. Observateur pour la pose et la courbure de l’aiguille
Prédiction
ˆ
x
k|k−1=F
kxˆ
k−1|k−1+B
ku
kP
k|k−1=F
kP
k−1|k−1F
>k+Q
k(3.2)
où :
- P
kest la matrice de covariance de l’erreur d’estimation ;
- Q
kest la matrice de covariance du bruit de processus.
S’ensuit une étape d’estimation en fonction de la mesurey
kreçue.
Estimation
Tout d’abord, l’innovation ˜y
kainsi que sa covarianceS
ksont calculées. Elles
dé-crivent l’écart entre la mesure réelle et la mesure attendue sixvalait ˆx
k|k−1.
˜
y
k=y
k−H
kxˆ
k|k−1S
k=H
kP
k|k−1H
>k+R
k(3.3)
oùR
kest la matrice de covariance du bruit de mesure.
Enfin, le gain de Kalman optimal K
kest calculé pour ensuite déterminer l’état
estimé ˆx
k|kmais aussi la covariance de l’erreur d’estimation a posteriori P
k|kqui va
refléter la confiance que nous pouvons avoir en l’estimation.
K
k=P
k|k−1H
>kS
−k1P
k|k=P
k|k−1−K
kH
kP
k|k−1ˆ
x
k|k=xˆ
k|k−1+K
ky˜
k(3.4)
3.2.2 Cas non linéaire
Soit un système non linéaire écrit sous la forme :
x
k+1=f(x
k,u
k) +w
ky
k=h(x
k) +v
k(3.5)
oùf(x
k,u
k)eth(x
k)sont des fonctions non linéaires mais différentiables.
En toute rigueur, le filtre de Kalman n’est pas adapté à un tel système non
li-néaire. Cependant, il existe des méthodes pour contourner le problème de la non
linéarité, en se plaçant autour d’un point de fonctionnement particulier.
Filtre de Kalman étendu
Le principe de fonctionnement du filtre de Kalman étendu est simple. Les
fonc-tions sont conservées pour le calcul de l’estimation de l’état et de l’innovation. En
revanche, elles sont inutilisables pour les calculs de covariance. Elles sont alors
li-néarisées autour du point de fonctionnement considéré lors du calcul. Les équations
(3.2) (3.3) et (3.4) sont alors inchangées en substituant, lorsque nécessaire, les
ma-tricesF
ketH
kpar les jacobiennes suivantes :
Dans le document
Guidage robotisé d’aiguilles flexibles sous échographie 3D
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