PARTIE II. FILTRAGE D’ERREURS DE POINTES SISMIQUES
5.1. Filtrage des erreurs
À partir de l’hypothèse des erreurs de mesure formulée dans le chapitre précédent, un filtrage de ces erreurs a été fait aux points de données.
5.1.1. Données disponibles
Les données disponibles concernent la partie stationnaire des pointés des horizons le long des dix profils de la campagne sismique 2007. Dans le modèle choisi, ces mesures peuvent se décomposer comme la somme du résidu que l’on cherche à caractériser plus une erreur liée à la mesure, comme définie dans l’Équation 5-1.
ÉqÉquuaattiioonn 55--11
# %Z = & %Z + ' %Z Où :
⇒ # %Z : est la partie stationnaire de la variable mesurée aux points donnés %Z le long des profils $.
⇒ & %Z : est le résidu que l’on cherche à caractériser aux points donnés %Z.
⇒ ' %Z : est l’erreur de mesure aux points %Z associée au profil $, indépendante d’un profil à l’autre.
5.1.2. Estimateur
À chaque point de donnée la valeur estimée du résidu sous-jacent est donnée par une combinaison linéaire des données des mêmes profils (Équation 5-2) :
ÉqÉquuaattiioonn 55--22
⇒ Z: sont les poids attribués aux données issues des profils $ utilisés lors de l’estimation.
5.1.3. Contraintes d’optimisation
Les deux contraintes d’optimisation imposées à l’estimateur permettent d’assurer sa qualité et de fournir le système de krigeage. La résolution du système de krigeage donne les valeurs des poids
Z. Même si elles constituent une étape classique de la géostatistique, il a été jugé important d’expliciter son développement appliqué au cas particulier des erreurs le long des profils sismiques présenté ici.
Non Biais
Que l’estimateur soit sans biais est la première contrainte imposée. Définie dans Équation 5-3, elle correspond à la nullité de l’espérance de l’erreur d’estimation, définie comme la différence entre la valeur estimée (R*) et la vraie valeur (R) inconnue.
É
Éqquuaattiioonn 55--33
+,&∗ %Z " & %` - = 0
La définition de &∗ et puis les termes correspondants à # donnés précédemment par l’Équation 5-2 et l’Équation 5-1, respectivement sont remplacées dans l’Équation 5-3. Ainsi, le développement de cette contrainte (Équation 5-4) donne la première condition de l’estimateur (Équation 5-5) qui établit que la somme des poids Z doit être égale à 1, pour n’importe quelle
ÉqÉquuaattiioonn 55--55
La deuxième contrainte (Équation 5-6) imposée à l’estimateur consiste à minimiser la variance de l’erreur d’estimation.
É
Éqquuaattiioonn 55--66
9:,&∗− &- = e$S$e9iB
Le développement de la minimisation de la variance de l’erreur d’estimation, qui aboutit au système de krigeage, sera présenté en fonction des covariances et puis en fonction des variogrammes.
En plus, pour le développement des équations a été considéré le cas général des erreurs structurées le long des profils et indépendantes d’un profil à l’autre.
Écriture en covariances
Pour commencer le développement de l’Équation 5-6, les définitions classiques de variance, covariance et espérance sont appliquées, ainsi que le remplacement des termes de R* et Yi donnés par l’Équation 5-2 et l’Équation 5-1. Les détails du développement sont illustrés dans l’Équation 5-7.
É entre la variable R et l’erreur ' et l’indépendance des erreurs d’un profil à l’autre :
=T 5& ;%Z<, ' ;%Z<6 = =T 5' ;%Z<, '4;%Z4<6 = 0
La dérivée de la fonction « Φ » en fonction du pondérateur de Lagrange
µ
et en fonction des pondérateurs Z, donne les équations du système de krigeage (Équation 5-10 et Équation 5-11).ÉqÉquuaattiioonn 55--1100
⇒ =1r: est la covariance de l’erreur lorsqu’un couple appartient au même profil i.
⇒ Z et n4 : sont les poids attribués aux données lors de l’estimation dans un point localisé en %`.
La deuxième équation du krigeage (Équation 5-11) spécifie que lorsqu’un couple analysé appartient au même profil la somme de la covariance du résidu et de l’erreur associée au profil doit être utilisée. Par contre si le couple analysé appartient à deux profils différents seule la covariance du résidu doit être utilisée dans la résolution des équations.
Étant donné que les ajustements ont été faits en variogrammes il peut être intéressant d’écrire le système de krigeage en variogrammes. L’Équation 5-8 est reprise, et tous les termes correspondant aux covariances sont remplacés par les termes des variogrammes suivant la définition donnée par
Pour alléger la lecture, les notations de l’Équation 5-14 sont remplacées par leurs équivalences données par l’Équation 5-15:
De cette manière la variance de l’erreur d’estimation écrite de façon plus simple en fonction de
Sous la condition donnée par la première contrainte qui impose que la somme des poids soit égale à 1 et en prenant en compte la décomposition de sommes, les équivalences données par l’Équation 5-17 seront utilisées pour simplifier quelques termes de l’Équation 5-16.
É qu’ils s’annulent les uns avec les autres comme détaillé dans l’Équation 5-18.
ÉqÉquuaattiioonn 55--1188
Dans la variance de l’erreur d’estimation (Équation 5-19) il ne reste alors que les termes des variogrammes et un terme de la variance des erreurs ( 9: ' = =1 0 ).
ÉqÉquuaattiioonn 55--1199
En utilisant à nouveau la décomposition de sommes écrite précédemment (Équation 5-17) et après regroupement des termes communs, la variance de l’erreur d’estimation en fonction des l’Équation 5-20 pour former la fonction Φ à minimiser (Équation 5-21).
ÉqÉquuaattiioonn 55--2211
La dérivée de Φ en fonction du paramètre µ et des poids Z, donne les équations de krigeage illustrés par l’Équation 5-22 et l’Équation 5-23.
Les équations de krigeage fournies par l’Équation 5-23, reviennent à dire que lorsqu’un couple analysé appartient au même profil, il faut utiliser la somme des variogrammes du résidu R et de l’erreur du profil. Au contraire, dès que le couple analysé appartient à deux profils différents il faut utiliser le variogramme du résidu R plus la variance de l’erreur.
Finalement, la variance de l’erreur d’estimation en fonction des variogrammes, réécrite en utilisant l’Équation 5-23, est donnée par l’Équation 5-24 : identique pour tous les profils. Le variogramme des erreurs (1r Équation 5-23 est donc égal à zéro et la variance des erreurs 9: ' est égale à 9: ' . Les équations du krigeage pour le cas particulier des erreurs constantes le long d’un profil sont donc données dans l’Équation 5-25 et l’Équation 5-26.
ÉqÉquuaattiioonn 55--2255
ÉqÉquuaattiioonn 55--2266
En reprenant la modélisation des variogrammes expérimentaux, le modèle utilisé pour l’ajustement du variogramme le long des profils correspond au variogramme du résidu « (0 » ; et la constante additionnelle utilisée pour la modélisation du pseudo-variogramme croisé correspond à la variance de l’erreur « 9: ' ».
5.1.4. Voisinage
Une ellipse de recherche isotrope a été choisie pour l’estimation des résidus des horizons S0, S1 et S2. Le rayon de cette ellipse est égal à la portée maximale donnée par les modèles des résidus.
L’ellipse divisée en huit secteurs, inclut 320 échantillons au total (40 échantillons par secteur comme nombre optimal), chaque point est estimé avec au moins 50 échantillons. De plus, la contrainte de prendre au moins 30 échantillons par profil a été imposée, cela pour assurer un nombre suffisant de couples appartenant à différents profils.
5.1.5. Résultats du filtrage
En appliquant les équations précédentes, l’estimation des résidus filtrés (car l’erreur est enlevée) a été réalisée le long des profils. Les résultats de l’estimation du résidu filtré et de l’écart-type d’estimation associé sont montrés dans la Figure 5-1 pour l’horizon S0.
F
Fiigguurree 55--11 :: CCaarrttee dd’’eessttiimmaattiioonn dduu rrééssiidduu ddee llaa ssuurrffaaccee SS00 aauuxx ppooiinnttss ddeess ddoonnnnééeess ((àà ggaauucchhee)) eett ccaarrttee ddee ll’’ééccaarrtt--ttyyppee dd’’eessttiimmaattiioonn aassssoocciiéé ((àà ddrrooiittee)).. CCaallccuull ffaaiitt aavveecc ll’’hhyyppootthhèèssee dd’’eerrrreeuurrss ccoonnssttaanntteess..
Pour mieux illustrer l’effet du filtrage des données, la Figure 5-2 montre en parallèle les écarts des résidus aux croisements des profils, avant et après le filtrage. La diminution des écarts est clairement visible aux croisements, passant d’une moyenne des écarts de – 0,3 ms à une moyenne égale à 0 ms, et d’un intervalle de variation entre – 2,5 ms et 3,7 ms, à un intervalle compris entre -0,4 ms et 0,2 ms.
N N
F
Fiigguurree 55--22 :: ÉÉccaarrttss ddee rrééssiidduu ddee llaa ssuurrffaaccee SS00 aauxux ccrrooiisseemmeennttss ddeess pprrooffiillss.. ÀÀ GGaauucchhee :: aavvaanntt ffiillttrraaggee.. ÀÀ ddrrooiittee :: aapprrèèss ffiillttrraaggee,, àà ppaarrttiirr ddee ll’’hhyyppootthhèèssee dd’’eerrrreeuurrss ccoonnssttaanntteess..
La somme des résidus filtrés et des dérives fournit donc les horizons filtrés aux points de données. Ces horizons, appelés dorénavant S0*, S1* et S2* (le symbole « * » est utilisé pour faire référence au filtrage) constituent les données pour la cartographie des surfaces dans la zone de transposition.