Filtrage de la carte topographique

La figure4.13(b) montre un d´etail d’une carte topographique d’une image (figure 4.14(a)). On remarque que les lignes de niveau, mˆeme si elles sont C^∞presque partout, restent bruit´ees au sens o`u elles sont tr`es oscillantes dans une zone de l’image o`u l’on s’attendrait `a ce que les lignes de niveau soient droites.

Le bruit de ces lignes de niveau est dˆu tout d’abord `a l’interpolation, comme le montre la figure 4.13(c) dans le cas de l’interpolation constante par morceaux, les lignes sont tou-jours parall`eles `a un des axes de coordonn´ees. Dans le cas de l’interpolation bilin´eaire ce ph´enom`ene de pixelisation est moins flagrant, mais les lignes de niveau dans les domaines de la forme ]n, n + 1[×]m, m + 1[ sont n´ecessairement des hyperboles. En effet l’´equation (4.9) devient

C₀.xy + C₁.x + C₂.y + C₃= λ, (4.10) o`u λ est le niveau de gris de la ligne que l’on cherche `a connaˆıtre. Cette ´equation est celle d’une hyperbole dont les asymptotes sont les axes de coordonn´ees. Elles ne sont droites que

Etude et estimation du flou dans les images num´eriques

(a)

(b) (c)

Figure 4.13: Cette planche montre les lignes de niveau apr`es interpolation bilin´eaire (b) ou constante

par morceaux (c). Le simple choix de l’interpolation bilin´eaire fait que les lignes sont plus r´eguli`eres (b)

alors qu’avec l’interpolation constante par morceaux les lignes consistent en des segments horizontaux

ou verticaux dont l’orientation change tr`es rapidement (c).

dans le cas d´eg´en´er´e et peu probable o`u l’image prend aux quatre coins de ce domaine les mˆemes valeurs qu’une fonction affine (Dans R³ quatre points ne sont g´en´eralement pas sur un mˆeme plan).

L’autre cause du bruit dans la carte topographique est le bruit de l’image elle mˆeme. Le bruit se traduit par des oscillations rapproch´ees des lignes de niveau comme le montre la figure 4.15. Ce bruit peut ˆetre un bruit d’acquisition ou une texture. Rappelons ´egalement que la pr´esence de texture nette peut ˆetre observ´ee dans une zone de flou, comme nous l’avons vu `a la figure 4.9, ce qui signifie que ces oscillations peuvent interagir avec notre calcul de flou.

Si l’on veut d´etecter les bords droits de l’image par l’interm´ediaire de la carte to-pographique, il nous faut donc la filtrer. Or, le bon cadre pour un tel filtrage est celui des transformations morphologiques. En effet, ces transformations ont la particularit´e de commuter avec les changements de contraste, ce qui a comme cons´equence que leur action peut ˆetre d´efinie sur les ensembles de niveau et donc sur les lignes de niveau. En choisis-sant une transformation morphologique nous garantisssons la consistance, apr`es filtrage, de la carte topographique. En effet, soit un op´erateur morphologique T et un changement de

(a)

(b) (c)

Figure 4.14: Cette planche montre une image accompagn´ee de sa carte topographique. la figure (b)

pr´esente les lignes de niveaux variant de 1 en 1, alors que la figure (c) pr´esente seulement les lignes

dont les niveaux sont multiples de 20. Nous observons que les l´eger d´egrad´es correspondent `a des lignes

parall`eles et distantes (´epaule) alors que les transitions brutales correspondent `a des paquets de lignes

parall`eles tr`es rapproch´ees.

contraste g (fonction croissante de R dans R) alors T v´erifie la propri´et´e : T (g◦ u) = g ◦ T (u).

Ceci a pour cons´equence l’existence d’un op´erateurT agissant sur les lignes de niveau et tel^v que

χ_λ(T (u)) =T (χ^v λ(u)).

Ainsi `a chaque op´erateur morphologique on fait correspondre un op´erateur qui agit sur les lignes de niveau, de sorte que l’on peut accomplir le filtrage indistinctement sur les lignes ou sur l’image elle mˆeme.

Etude et estimation du flou dans les images num´eriques

(a) (b)

(c) (d) (e)

Figure 4.15: Evolution des lignes de niveau d’une transition. En l’absence de bruit la carte

to-pographique est r´eduite `a un ensemble de droites parall`eles (c). En pr´esence de bruit ces lignes

pr´esentent des oscillations. La derni`ere figure montre le r´esultat d’un filtrage AMSS qui permet de

revenir `a des lignes droites.

Pour accomplir le filtrage, nous avons donc choisi un op´erateur morphologique. Plus pr´ecis´ement, nous utilisons le scale space affine morphologique ou Affine Morphological Scale Space (AMSS) ( [Alvarez et al., 1993] et [Alvarez and Morel, 1994]). L’´equation aux d´eriv´ees partielles qui r´egit cette ´evolution est

∂u ∂t ^{= c}

1

3(t, x).Du, (4.11)

o`u c(t, x) est la courbure de la ligne de niveau de u(t) qui passe au point x consid´er´e. En tant qu’op´erateur morphologique son action peut aussi ˆetre d´efinie sur les lignes de niveau et l’´equation qui le r´egit est la suivante

∂C ∂t ^{= c}

1

3−→_{v (s, t). (4.12)}

C(s, t) est la courbe `a faire ´evoluer dans le temps, s ´etant le param`etre qui d´ecrit la courbe `

a chaque instant t, c est la courbure de C au point consid´er´e et −→_{v (s, t) est le vecteur} orthogonal `a C(., t) dirig´e vers l’int´erieur de la courbure en s. Faire ´evoluer l’image suivant

4.11 est th´eoriquement ´equivalent `a faire ´evoluer chacune de ses lignes de niveau suivant l’´equation4.12. N´eanmoins, num´eriquement les sch´emas approch´es diff`erent. En particulier, le choix d’un bon sch´ema pour 4.12 permet de pr´eserver la structure d’inclusion des C_λ et

(a) (b)

Figure 4.16: Evolution des lignes de niveau par AMSS. Remarquer l’´elimination du bruit alors que

les lignes droites de l’image restent bien droites. Cependant les lignes tr`es courbes de d´eplacent. Par

exemple la jonction en T en haut `a droite disparaˆıt.

donc la structure de la carte topographique. Un tel sch´ema num´erique est pr´esent´e par L. Moisan dans [Moisan, 1998]. Un exemple d’´evolution par AMSS d’un ensemble de ligne de niveau est donn´e `a la figure 4.16. Nous verrons plus loin une comparaison entre filtrage morphologique et filtrage lin´eaire.