t1 t2 t3 t4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (b)
Figure 4.5 – Scénarios de création de contacts sociaux dans le modèle ER
(a) Trajectoires (b) Liens créés
ou égale à un seuil minimal, fixé à 1 dans nos expériences.
Sur la Figure4.5, nous montrons comment des contacts de proximité instantanés sur-viennent et évoluent selon le modèle ER.
Typiquement, à t1, aucun individu n’est suffisamment proche pour créer de contacts. À l’instant t2, les agents 1 et 2 sont suffisamment proches pour entrer en contact, donc un lien est créé ; alors qu’à l’instant t3 ce lien est supprimé et un lien est crée entre les agents 1 et 3. À l’instant t4 plus aucun individu n’est en contact, tous les liens sont ainsi supprimés. La mobilité conduit ainsi à un réseau de contacts sociaux dont la dynamique est une carac-téristique très importante. En effet, à chaque mouvement des agents, de nouveaux contacts peuvent être créés ou supprimés, ce qui peut modifier considérablement la structure globale du réseau à chaque itération.
Nous définissons le réseau social de proximité basé sur la mobilité, mSPNT (Mobility-Based Social Proximity Network), comme étant le réseau cumulé de tous les contacts de proximité instantanés distincts entre les agents. Plus précisément, le réseau cumulé mSPNT représente le réseau de contacts de proximité maximum dans lequel chaque agent est lié à tous ceux qu’il rencontre sur son trajet. Ainsi à chaque instant t, le réseau de contacts de proximité instantanés, décrits sur la Figure 4.5(b), est un sous-graphe décon-necté du mSPNT, et représente à l’instant t, les contacts de proximité dans lesquels les agents sont impliqués.
Évidemment, mSPNT est un réseau beaucoup plus dense que le réseau de contacts de proximité instantanés.
Plus formellement, soit T = ht0, t1, ..., tmi la séquence de temps sur laquelle les agents sont en mouvement.
Nous notons le réseau de contacts de proximité instantanés à l’instant tjpar Gtj = (V, Etj), ou V est l’ensemble des agents et Etj l’ensemble des contacts de proximité survenus à l’instant tj.
4.3. Réseau de proximité basé sur la mobilité 87
proximité instantanés, de l’instant t0 à l’instant tm, c.-à-d. :
ET =
m
[
j=0
Etj (4.3)
Quand le fT L est constant, le mouvement périodique généré par le modèle ER garantit qu’il y a convergence du mSPNT vers un état de stabilité G∗= (V, E∗), pour le lequel plus aucun contact ne peut être créé.
Cet état de stabilité est atteint quand tous les agents sont retournés à leur point de départ, c.-à-d. quand tj = f T L. E∗= f T L [ j=0 Etj (4.4)
Sur la Figure 4.6, trois exemples de mSPNT obtenus avec δ = 15% et (a) fT L = 3, (b) fT L = 10 et (c) fT L = 20, sont représentés.
Comme attendu, la mobilité a un impact direct sur le nombre global de contacts, puisque nous pouvons observer que la densité du réseau s’accroît clairement avec le fT L.
Finalement, le mSPNT peut être vu comme un réseau qui résume la dynamique de l’ensemble des contacts survenus lors des déplacements des agents. Par conséquent, ses propriétés donnent une idée de ce que pourra être l’évolution d’un phénomène de diffusion lors de déplacements selon le modèle ER.
Typiquement, nous pouvons observer que des populations ayant une faible mobilité ne garantissent pas la connectivité du mSPNT (voir Figures4.6(a) et (b)). Dans la Section4.4.1, nous étudions plus formellement ce phénomène et montrons que cela induit une incapacité du système à "percoler".
4.3.2 Distribution des agents dans l’espace
Dans le cas d’agents immobiles, si nous supposons qu’il n’y a aucune superposition des agents, le nombre de visiteurs par cellule est 0 ou 1.
Puisque la distribution des agents sur la grille est aléatoire (voir Section 4.2), le nombre moyen de visiteurs par cellule correspond à la densité d’agents δ dans le monde.
Cependant, quand les agents se déplacent dans un espace spatio-temporel, la situation devient plus complexe. En effet, le nombre total d’agents-visiteurs dans un intervalle de temps pour une cellule peut, évidemment, être supérieur à 0 et plus.
Pour une cellule ci, nous définissons Vi comme l’ensemble des agents ak qui visitent ci, c.-à-d. Vi = {ai
k}. #Vi est donc le nombre de trajectoires-polygones qui passent par la cellule ci. Ainsi, certaines cellules peuvent ne pas avoir du tout de visiteurs, alors que d’autres peuvent en avoir un nombre élevé.
Dans le cas particulier où la mobilité est identique pour tous les agents, les résultats obtenus par simulation permettent d’établir que #Vi suit approximativement une loi de poisson.
Par exemple, sur la Figure 4.7, nous montrons la distribution du nombre de visiteurs par cellule quand la densité est fixée à 10% et que le fT L est égal à 10 (courbe bleue), 20 (courbe rouge), 100 (courbe verte) et 360 (courbe violette).
Dans ces quatre cas, nous pouvons observer que, quelle que soit la mobilité, les distri-butions peuvent être approchées par des lois de poisson. Ainsi, le nombre de visiteurs #V sur les zones géographiques suit une loi de poisson avec une queue connaissant une décrois-sance rapide. Nous observons en effet un pic atteint à #V = hV i, puis une décroisdécrois-sance exponentielle avec #V .
(a)
(b) (c)
Figure 4.6 – Exemples de mSPNs obtenus avec δ = 0.15
quand (a) fT L = 3, (b) fT L = 10 et (c) fT L = 20
Cependant, en comparant les résultats obtenus entre les différentes mobilités, nous obser-vons que la courbe s’aplatit quand la mobilité augmente : la valeur du pic diminue alors que hV i augmente. Typiquement, si les agents sont sédentaires (fT L = 20), de nombreuses cel-lules ont peu de visiteurs, alors qu’à l’inverse, dans le cas d’agents voyageurs (fT L = 360), les cellules ont globalement un nombre élevé de visites.
Ce résultat constitue un argument fort pour démontrer la validité du modèle de mobilité ER. En effet, des études menées en géographie ont montré que les statistiques sur les régions peuvent souvent être décrites par une loi de Poisson quand les individus sont indépendants et que les régions ont des probabilités équivalentes d’être visitées [Simon 2006,Vaillant 2011]. Ainsi, bien que notre modèle repose sur des règles de déplacement très simples, nous ob-servons qu’il est tout de même en mesure de reproduire les résultats observés dans des situations réelles.
4.3. Réseau de proximité basé sur la mobilité 89
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Nb . c el lu le sNombre de visiteurs par cellule fTL=10 fTL=20 fTL=100 fTL=360
Figure 4.7 – Distribution du nombre de visiteurs par cellule quand δ = 0.1
avec fT L = 10 (bleu), fT L = 20 (rouge), fT L = 100 (vert), fT L = 360 (violet)
Pour compléter cette étude, nous agrégeons les données obtenues en simulation pour comprendre comment évolue le nombre de visiteurs moyen selon la densité. Sur la Figure4.8, nous comparons donc pour différents fT L, l’évolution de la moyenne du nombre de visiteurs par cellule, moy.
i
#Vi, en fonction de la densité δ, avec moy.
i #Vi= P#Vi L1×L2. y = 0.95 * 90x y = 0.95 * 180x y = 0.95 * 360 * x 0 50 100 150 200 250 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 No m b re d e v is iteu rs m o y en Densité
Figure 4.8 – Nombre de visiteurs moyen par cellule selon la densité
De haut en bas : fT L = 360, 180, 90, 45, 3
Sur cette figure, nous observons une corrélation linéaire entre ces deux variables, puisque le nombre de visiteurs moyen croît linéairement avec la densité. Ces résultats nous ont permis de mettre en évidence l’équation 4.5, qui suggère que le nombre moyen de visites mean
i #Vi est proportionnel au produit du fT L par la densité δ moy.
i
#Vi≈ 0.95 × fT L × δ (4.5) Ainsi, nous en déduisons que le nombre moyen de visiteurs est proche de k si δ = k
Cet autre résultat fournit un argument supplémentaire de la pertinence du modèle ER. La dépendance linéaire entre le nombre de visiteurs moyen et à la fois la mobilité et la densité est en effet attendu, puisque avec un fT L constant pour tous les agents, chaque agent visite fT L cellules. Le nombre de visiteurs sur une cellule devrait donc être égale à f T L×δ. L’écart de 5% observé expérimentalement peut être expliqué par les co-occurrences d’agents sur les cellules.
De la même façon, on peut établir que l’écart-type est approché par√
0.95× fT L × δ. Nous obtenons finalement :
P(#V = k)≈ (−0.95 × fT L × δ)
k× e−0.95×f T L×δ
k! (4.6)
Enfin sur la Figure4.9, nous montrons comment évolue la densité δ des agents selon la mobilité pour différents nombres moyens de visiteurs par cellule. Du haut vers le bas, nous pouvons observer les quatre hyperboles qui correspondent respectivement aux valeurs #V = 1, #V = 2, #V = 3 et #V = 4. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 20 40 60 80 100 Den si té Mobilité (fTL) #V=1 #V=2 #V=3 #V=4
Figure4.9 – Densité δ vs. Mobility fT L pour un nombre moyen de visiteurs donné
4.3.3 Répartition des contacts par agent
Pour chaque agent, nous considérons son nombre total de contacts dans le temps. Ce nombre correspond au degré du noeud correspondant dans le mSPNT. Nous avions déjà pu observer sur la Figure4.6 que la mobilité impactait directement la connectivité du réseau. Dans cette deuxième étude menée sur le modèle ER, nous cherchons à comprendre plus formellement l’influence de la mobilité sur le nombre de contacts.
A un instant donné, un agent aj est dans le voisinage de l’agent ai, si aj est dans le disque circulaire de rayon 1 centré en ai. Dans une telle situation, nous supposons qu’il y a un contact social fortuit entre les agents ai et aj.
Ainsi, pour chaque agent ai, nous notons Ci l’ensemble de tous les agents aj, avec j 6= i, dans son voisinage au cours du temps, c.-à-d. Ci ={ai
j}. Le nombre total de contacts de l’agent ai dans le temps est donc le cardinal de Ci, que l’on note #Ci.
Précisons tout de même qu’un contact social nécessite une forme de coïncidence spatio-temporelle, dans le sens où le contact ne survient que si les deux agents sont au même endroit, au même moment.
4.4. Mobilité et phénomènes de diffusion 91
Dans le cas d’agents immobiles, le nombre de contacts sociaux moyen est donné par l’Équation4.7. Comme précédemment, ce résultat a été obtenu par des simulations menées sur 1000 agents et moyennées sur 100 exécutions.
moy.
i
#Ci≈ 0.4 × δ (4.7) Sur la Figure4.10, nous montrons comment évolue le nombre moyen de contacts sociaux selon deux points de vue : (a) en fonction de la densité pour différentes valeurs de mobilité et (b) en fonction de la mobilité pour différentes densités.
y = 132,24x + 1,0045 y = 448,49x + 22,386 R² = 0,995 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0,2 0,4 0,6 0,8 No m b re d e co n tac ts m o y en Densité fTL=10 fTL=40 fTL=80 fTL=180 fTL=270 fTL=360 (a) y = 0,4623x + 2,268 y = 1,0552x + 11,659 R² = 0,9931 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 100 200 300 No m b re d e co n tac ts m o y en Mobilité (fTL) (b)