Faces constituées de stratifié antisymétrique

4.4 Tests de validation et Résultats numériques

4.4.2 Cas des structures plaques sandwichs dont les faces sont en stratifié 126

4.4.2.3 Faces constituées de stratifié antisymétrique

Un autre exemple de cette étude continue des propriétés modales concerne une

struc-ture plaque rectangulaire dont les faces sont constituées de stratifié antisymétrique tant

au niveau des angles d’orientation qu’au niveau des épaisseurs des couches du stratifié. Le

stratifié antisymétrique en question est formé de quatre couches. Les angles d’orientation

additionnelle ont pour valeur :α

₁

= 0,α

₂

= 45. Dans le repère de référence de la structure

plaque sandwich ainsi constituée, ce stratifié a pour séquence [θ/θ+ 45/−θ−45/−θ].

La couche viscoélastique de cette plaque qui sera appelée plaque 9 est en PVB à 20°C (2.4).

La condition aux limites dissymétrique CFSF seule est représentée pour cette structure

plaque sandwich dont les caractéristiques sont représentées dans le tableau (4.5).

Caractéristiques Caractéristiques mécaniques

géométriques(mm) La couche du cœur Les couches de face

h

_f₁

=h

_f₄

= 0,2 E

_xx

= 119GP a,G

_yz

= 3GP a

h

_f₂

=h

_f₃

= 0,1 PVB à 20°C (2.4) E

_yy

=E

_zz

= 8,7GP a

h

= 0,4 Loi (2.52) G

_xy

=G

_xz

= 4GP a,

L= 300 ν

_xy

=ν

_xz

= 0,32

l = 200 ν

_yz

= 0,3, ρ

= 1560kg.m

⁻3

Tableau 4.5 – Caractéristiques géométriques et mécaniques de la plaque 9

La courbe de variation des propriétés modales (figure 4.15) de cette structure montre

une variation de ces derniers en fonction de l’orientationθ. On notera d’après ces courbes

de variation que pour avoir un amortissement optimal en moyenne pour ces trois premiers

modes, il faut fixer la valeur de cette orientation àθ = 145°.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 50 100 150 200 250 300 Angle θ° Fréquence amortie Ω (Hertz) CCNM mode 1 CDPM mode 1 CCNM mode 2 CDPM mode 2 CCNM mode 3 CDPM mode 3 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11^{x 10} −3 Angle θ° Facteur de perte η CCNM mode 1 CDPM mode 1 CCNM mode 2 CDPM mode 2 CCNM mode 3 CDPM mode 3

Figure 4.15 – Etude continue des propriétés modales de la plaque 9, CL : CFSF

4.5 Temps de calcul

L’un des intérêts de ce travail est le gain de temps de calcul ; pour cela il est important

de présenter les temps de calcul des deux méthodes. Ces temps de calcul sont résumés dans

le tableau (4.6) où CL, NIT, NIN et TC signifient respectivement : conditions aux limites,

nombre d’itération, nombre d’incrément et le temps de calcul CPU. Pour la nouvelle

méthode de résolution du Chapitre 3, le temps de calcul est fortement dépendant du

maillage de la structure mais surtout du type de fonction à différentier. Ainsi, le temps

4.5 Temps de calcul

de différentiation par la DA de la dépendance de l’ISD112 (2.4) est moindre que celui du

DYAD (2.4) alors que les deux matériaux sont représentés par le même type de loi, celle

de Maxwell généralisé (2.51). Cette différence est due au nombre de termes utilisé pour la

représentation de chacun de ces matériaux (n= 3 pour l’ISD112 etn = 5pour le DYAD).

Le temps de différentiation des lois des modèles fractionnaires de Maxwell est cependant

encore meilleur par rapport aux lois de type puissance telle que celle du PVB (2.52).

Globalement, plus les courbes de variation des propriétés modales présentent des formes

compliquées, plus le nombre d’itération est grand et plus le temps de calcul est également

important. Toutefois le temps de calcul par la nouvelle méthode est nettement meilleur

à un calcul incrémental. En effet, dans la résolution des problèmes aux valeurs propres

non linéaires complexes par la méthode d’homotopie [74], la résolution du problème initial

(3.29) appelant la méthode de Krylov-Arnoldi [69] implémentant la fonction "eigs" sous

Matlab constitue environs 80 à 90% du temps de calcul alors que cette méthode est

utilisée une seule fois dans le CCNM. De plus alors que la technique d’homotopie fait

une, deux, voir jusqu’à cinq itérations pour trouver la solution pour une valeur donnée de

l’angle d’orientation, une seule itération de la nouvelle méthode donne les solutions pour

un ensemble de valeurs de cet angle d’orientation. Par ailleurs les calculs élémentaires

d’intégration de Gauss, d’assemblage, d’application des conditions aux limites qui sont

répétés à chaque fois dans le CDPM sont effectués une seule fois dans le CCNM. Le gain

en temps de calculs est alors assuré dans tous les cas pour le CCNM par rapport au

CDPM. Rappelons que les valeurs du NIT du tableau (4.6) correspondent aux nombres

d’itération de chaque mode pour le CCNM. Nous pouvons voir dans le tableau (4.6) que la

nouvelle méthode a toujours permis de décrire correctement les variations des propriétés

modales en un temps moindre. Le cas le plus flagrant est celui de la plaque 7 pour les

conditions CCCC et SSSS. En effet un calcul pour une valeur de l’angleθ coûte environ

300 secondes par la méthode discrète. Pour une simple augmentation de 50%, la nouvelle

méthode permet de calculer les propriétés modales de toutes les valeurs deθ de 0 à 90°.

Nous rappelons une fois encore que les calculs sont faits sur l’ordinateur portable ASUS

Intel Core i3-2350M CPU @ 2.30GHz 2.30GHz.

CL CCCC SSSS CCFF CFCF CSCS CFSF

plaque 6 ^{CCNM NIT (5,5,5) (5,6,6) (12,12,13)}

- -

-TC 423 476 790 - -

-CDPM NIN_TC ₂₂₈₁¹⁷ ₂₂₅₅¹⁷ ₆₃₃₆³⁵ ^-_- ^-_- ^-

-Plaque 7 ^{CCNM NIT (5,5,5) (5,5,5) (12,12,12) (6,9,9)}

-

-TC 468 454 973 643 -

-CDPM NIN_TC ₃₀₅₈¹⁰ ₂₉₄₀¹⁰ ₆₂₁₂¹⁹ ₃₇₀₇¹⁰ ^-_- ^-

-Plaque 8 ^{CCNM NIT (6,6,6)}

- - - (6,5,9)

-TC 428 - - - 478

-CDPM NIN_TC ₃₇₈₁¹⁰ ^-_- ^-_- ^-_- ₄₀₂₀¹⁰ ^-

-Plaque 9 ^{CCNM NIT}

- - - - - (10,13,27)

TC - - - - - 1047

CDPM NIN_TC ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ₄₉₄₃¹⁹

Tableau 4.6 – Temps de calculs (en seconde) du CCNM et du CDPM

4.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons proposé différentes formulations éléments finis pour

étu-dier de manière continue les effets de l’orientation des fibres sur les propriétés modales des

structures sandwichs composites viscoélastiques. Nous avons étudier successivement : les

structures à faces monocouche unidirectionnelle, les stratifiés antisymétriques, les

strati-fiés croisés symétrique ou antisymétrique. La nouvelle méthode de résolution présentée au

Chapitre3a été utilisée et validée pour l’ensemble des structures étudié. L’intérêt de cette

étude réside dans le faite qu’à partir d’un seul assemblage on arrive à étudier les propriétés

modales sur un grand intervalle prédéfini pour l’angle θ. On supprime ainsi la répétition

des calculs élémentaires généralement effectués pour les calculs discrets par éléments finis.

De plus, on arrive à suivre rigoureusement la courbe de variation des propriétés modales

, peu importe sa complexité ; ce qui n’est pas le cas des calculs incrémentaux où on ne

peut envisager ce qui se passe entre deux valeurs consécutives. Le gain de temps de calculs

observé prouve l’intérêt de cette méthode.

4.6 Conclusion

méthode de résolution ne permet pas une classification des modes de vibration et que sur

certain intervalle un mode peut devenir un autre [114]. Le tracé des courbes de variation

permet de bien observer le phénomène.

A part l’orientation des fibres des composites par rapport à la structure globale,

d’autres paramètres de conception tel que les épaisseurs des couches influent également

sur les propriétés amortissantes des structures sandwichs viscoélastiques. Nous présentons

dans le chapitre qui va suivre, les effets de la variation des épaisseurs des couches sur les

propriétés modales des structures sandwichs viscoélastiques.

Chapitre 5

Calcul des propriétés modales des

plaques composites viscoélastiques en

fonction des épaisseurs des couches

5.1 Introduction

Les épaisseurs des couches constituant les structures sandwichs viscoélastiques ont

également une grande influence sur les propriétés modales de ces dernières. D’une

fa-çon générale, plus l’épaisseur de la couche viscoélastique du sandwich augmente, plus

l’amortissement est important. Cependant l’épaisseur des couches devient rapidement

une contrainte en ce sens ou plus les épaisseurs augmentent plus la structure est lourde.

Or la quête de la légèreté des infrastructures modernes est devenue une exigence très

im-portante dans les industries aéronautique, aérospatiale, automobile alors que la recherche

de structure à haut pouvoir amortissant n’a pas diminué pour autant. Pour concevoir des

structures sandwichs viscoélastiques répondant à la fois aux exigences de légèreté et d’un

haut pouvoir amortissant, il convient de maitriser les effets de la variation des épaisseurs

des couches des structures sandwichs viscoélastiques. Jusqu’à ce jour les études sur les

propriétés modales des sandwichs en fonction de la variation des épaisseurs des couches

sont, comme dans le cas des orientations des fibres des couches (Chapitre 4), limitées à

des calculs discrets pour certaines valeurs fixes des épaisseurs des couches [82, 99, 115].

Ce faisant on ne maitrise pas vraiment les effets de ces paramètres de conception sur les

propriétés modales . Par ailleurs, ces calculs discrets incrémentaux nécessitent un temps

de calcul assez considérable.

Dans ce chapitre, nous proposons une étude des effets de la variation des épaisseurs

des couches sur les propriétés modales des sandwichs viscoélastiques. Deux formulations

éléments finis seront proposées pour traiter les problèmes aux valeurs propres non linéaires

complexes avec variation d’épaisseur. La première pour étudier de manière continue les

effets de la variation de l’épaisseur de la couche viscoélastique du sandwich sur ces

pro-priétés modales et la seconde pour étudier les effets de la variation de toutes les épaisseurs

du sandwich dont l’épaisseur totale est supposée constante sur ses propriétés modales .

Nous montrerons une fois encore à travers les résultats numériques que les variations des

propriétés modales ne sont ni standards ni uniformes par rapport aux dimensions des

structures, des conditions aux limites et des types de lois viscoélastiques.

5.2 Variation de l’épaisseur de la couche du cœur

Dans le document Modélisation et conception de structures composites viscoélastiques à haut pouvoir amortissant (Page 157-164)