Algorithme de la méthode de résolution

I. Résolution du problème résiduel à l’ordre 0 par homotopie

I1. Détermination de la paire(V

0

, γ

0)

à travers l’équation (3.29)

I2. Construction de la matrice tangente [A] selon l’équation (3.33)

I3. Construction du dénominateur de l’équation (3.36)

I4. Evaluation de T

0

I5. Calcul des séries γ

_n

et V

_n

pour n= 1,2, ..., N

I5.1. Evaluation de

S

_n|Vn=0

et

T

_n|Vn=0

par la DA

I5.2. Evaluation deγ

_n

selon l’équation (3.36)

I5.3. Evaluation deV

_n

selon l’équation (3.32)

I5.4. Actualisation de S

_n

et T

_n

par la DA

I6. Test de convergence pour le calcul d’homotopie

I6.1. Estimation du rayon de convergence selon l’équation (3.37)

I6.2. Si (3.38) n’est pas satisfaite, calcul de (U

₀

, λ

₀

) (3.39),

sinon retour à l’étape I2.

I7. Si l’intervalle d’étude est une constante, faire II.3

et arrêt de calcul sinon aller à II.

II. Résolution du problème résiduel à l’ordre n et continuation

II.1. Evaluation de la matrice linéaire tangenteK

_t

(équation 3.44)

II.2. Calcul des sériesλ

_n

etU

_n

pourn= 1,2, ..., N

II.2.1 Evaluation de

R

g1|U1=0,λ1=1

et

R

gn|Un=0,λn=0

par la DA

II.2.2. Evaluation de λ

_n

selon l’équation (3.46)

II.2.3. Evaluation de U

_n

selon l’équation (3.43)

II.2.4. Actualisation de R

gn

par laDA

II.2.5. Estimation du rayon de convergence (équation 3.47)

II.3. Test d’arrêt

Si (3.48) satisfaite (éventuellement 3.49) ou autres conditions

ajoutées satisfaites, arrêt de calcul, sinon initialisation des séries

(3.50, éventuellement 3.51) et retour à II.1

Tableau 3.1 – Algorithme de résolution de problème aux valeurs propres non linéaires

complexes à paramètres variables

Les formulations théoriques des sections 3.3.1,3.3.2,3.3.3 sont groupées dans un code

numérique programmé sous le logiciel Matlab. Utilisant la boite à outildiamant pour la

différentiation automatique des fonctions et séries, ce code permet une résolution

automa-tique des problèmes résiduels se présentant sous la forme de l’équation résiduelle (3.15).

Pour utiliser ce code, il faut lui fournir les entrées suivantes : les coefficients matriciels de

rigidité[K

_g

], de masse[M

_g

]et leurs fonctions à différentier associées

E

_g^∗

(λ, p)et[E

_m

(p)];

il faut également à l’entrée donner la première valeur à prendre pourp:p

i

=inf(I)

(éven-tuellement p

s

= sup(I)), les constantes

E

_g^∗

(0, p

i

) et [E

m

(p

i

)] sont également données

ainsi que le paramètre de précision ε, le nombre de troncature des séries N et l’intervalle

d’étude I. A la sortie, on recueille les résultats stockés dans des vecteurs et contenant

les valeurs des fréquences amorties, des amortissements et les valeurs correspondantes du

paramètre p . L’algorithme de résolution peut être résumé comme suit (tableau 3.1) .

Lorsque l’intervalle d’étude I est une constante c’est à dire p

_i

= inf(I) = p

_s

= sup(I),

l’algorithme de calcul s’arrête après avoir exécuté la technique de l’homotopie. Ce cas

particulier concerne surtout les calculs discrets.

3.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons développé une nouvelle méthode générique de résolution

de problème résiduel non linéaire aux valeurs propres complexes à deux paramètres dont

l’un est la fréquence et l’autre un paramètre physique de modélisation. Basée sur le

cou-plage entre la technique d’homotopie, la MAN et la DA, cette méthode est implémentée

sous Matlab et utilise la boite à outil diamant pour la différentiation des séries.

L’inté-rêt de cette méthode est qu’elle permet une étude continue des propriétés modales des

structures sandwichs viscoélastiques en fonction de la variation du paramètre physique.

Par ailleurs cette méthode prend en compte différentes lois viscoélastiques et son

auto-matisation permet de gagner en temps de calcul. Elle peut également être utilisée pour

étudier la sensibilité des propriétés modales par rapport à une variation des paramètres

physiques de la structure tels que : les coefficients de Poisson, les masses volumiques, les

modules d’élasticité, etc....

Dans les deux chapitres suivantes, la méthode développée dans ce chapitre sera utilisée

pour deux cas particuliers d’études à savoir l’orientation des fibres et les épaisseurs des

couches de la structure.

Chapitre 4

Calcul des propriétés modales de

plaques composites viscoélastiques en

fonction de l’orientation des fibres

4.1 Introduction

L’utilisation des structures sandwichs viscoélastiques pour l’amortissement passif est

fortement fonction de leurs propriétés modales . Pour les structures sandwichs

multi-couches à cœur viscoélastique dont les multi-couches sont constituées de stratifiés ou des

maté-riaux composites de type orthotrope, l’orientation des fibres des couches et les séquences

d’empilement de ces dernières influencent énormément les propriétés modales de ces

struc-tures [90, 91, 92,97, 99].

Nous proposons dans ce chapitre, différentes formulations éléments finis pour une étude

continue des effets de la variation de l’orientation des fibres des composites constituant les

faces sur les propriétés modales des plaques sandwichs composites à cœur viscoélastique.

Les composites de type orthotrope usuels tels que les monocouches unidirectionnelles, les

stratifiés antisymétriques et les stratifiés croisés symétriques ou antisymétriques seront

considérés. Pour ces types de composites considérés pour les faces du sandwich, les

formu-lations introduisent une nouvelle variable de non linéaritéθqui est l’orientation des fibres

dans le problème aux valeurs propres non linéaires complexes qui d’habitude ne présente

pour seule non linéarité que la dépendance en fréquence. Les nouveaux problèmes aux

valeurs propres complexes et fortement non linéaires à double dépendance (ω, θ) sont

résolus par la nouvelle méthode développée au Chapitre3. Pour les différentes structures

étudiées, les résultats obtenus par la nouvelle méthode seront confrontés à ceux de la

littérature [99] ou aux résultats obtenus de manière discrète par la méthode de référence

développée au Chapitre 2. Nous montrerons à travers les résultats numériques que les

variations des propriétés modales ne sont ni standards ni uniformes par rapport aux

di-mensions des structures, des conditions aux limites et des types de lois viscoélastiques.

En fin, nous présenterons brièvement l’intérêt de ces nouvelles formulations du point de

vue de temps de calcul.

Dans le document Modélisation et conception de structures composites viscoélastiques à haut pouvoir amortissant (Page 125-128)