Théorie de Galois
IX. Extensions galoisiennes
IX-A. Extensions normales Soitkun corps etΩune clôture algébrique dek.
Définition IX.1.Soit l/k une extension algébrique. Elle est dite normale si pour tout α∈ l, le polynôme minimal de α sur k est scindé sur l (on ne demande pas qu’il soit scindé à racines simples).
Étant donné α∈l, les conjugués deαsont les racines deµα,k dans Ω.
Exemple .Si k = Q, si d ∈ N est sans facteur carré, pour tout n ≥ 2 considérons l := Q(n√ d).
L’extensionl/kest-elle normale ? Si n= 2, oui. En revanche, sin≥3, l’extension n’est pas normale.
En effet,l ⊆Rmais, si n≥3, une des racines primitives n-èmes de l’unité est contenue dans Q\R. Ici encore, on a une caractérisation de cette propriété en termes dek-morphismes :
ThéorèmeIX.1. Soitl/k une extension algébrique. Les assertions suivantes sont équivalentes : i) L’extension est normale.
ii) Pour toutk-morphismeφ:l→Ω,φ(l)⊆l.
iii) Pour tout k-morphismeφ:l→Ω,φ(l) =l.
Démonstration du théorème.L’implicationi)⇒ii)est simple : soitφunk-morphisme del dans Ω. Six∈l, commeφest un morphisme de corps,φ(x)est encore racine deµx,k, le polynôme minimal dexsurk. Comme l’extension est supposée normale,lcontient tous les conjugués dex, donc contient φ(x), d’oùii).
Enfin, montrons l’implicationiii)⇒i). On va utiliser le théorème de prolongement de morphisme. Pour cela, on peut définirφ:k(x)→Ωfixantket envoyantxsury, oùyest un conjugué dex(on travaille avecx∈k, sinon le résultat est évident...) L’extensionl/k(x) est algébrique et ce morphisme induit donc unk-morphismeφ:l→Ω. Par hypothèse,φ(l) =l, doncy∈l, et l’extension est donc normale.
□ En particulier, on a le corollaire suivant :
Corollaire IX.1.Soit l/k une extension algébrique. Soit A ⊆l telle que l = k(A). Alors l/k est normale si et seulement si pour touta∈A, µa,k son polynôme minimal surkest scindé surl.
Pour montrer l’implication réciproque, il suffit de remarquer que si chacun des éléments deA est séparable, alors pour toutk-morphismeφ:l→Ω,φ(A)⊆A.
Proposition IX.1.Soit l/k une extension finie. Cette extension est normale si et seulement si il existe P∈k[X]tel queDk(P) =l oùDk(·)désigne le corps de décomposition surk.
Démonstration de la proposition.Pour l’implication directe : puisque l/k est finie, elle est a fortiori de type finie. Soit (α1, . . . , αd)un système générateur minimal. Pour i ∈ Nd, on note µi le polynôme minimal deαi surk. Chacun des µi est scindé sur l, donc µ:=∏
iµi l’est également, etl est engendré par les racines deµ. Ainsi,l=Dk(µ).
L’implication réciproque découle immédiatement du corollaire.
□ Proposition IX.2.Soit l/k une extension et l/m une extension intermédiaire. Si l/k est normale, alorsl/mest normale.
La réciproque est fausse : il suffit de considérer le cas l = Q(4√
2), m = Q(√
2) et k = Q. En revanche, sil1/ketl2/ksont deux extensions intermédiaires normales, alorsl1∩l2etl1l2/ksont deux extensions normales.
IX-B. Extensions galoisiennes
DéfinitionIX.2.Soitl/k une extension algébrique. Elle est dite galoisienne si elle est normale et séparable.
Ainsi, une extension galoisienne finie l/k correpond en fait à l’extension Dk(P)/k où P est un polynôme séparable surk. On peut également reformuler cela en termes d’éléments primitifs.à vérifier.
ThéorèmeIX.2.Soitl/k une extension finie. NotonsAutk(l)l’ensemble des k-automorphismes de corps de l. Alors
|Autk(l)| ≤[l:k]
avec égalité si et seulement si kest galoisienne.
Démonstration du théorème.Montrons l’implication réciproque : Supposons que l’extension l/k soit galoisienne. Comme l’extension est finie, l’inégalité
|Homk(l; Ω)| ≤[l:k]
est acquise. Par séparabilité,
|Homk(l; Ω)|= [l:k]
Par normalité,
Homk(l; Ω) =Autk(l) do’ù le résultat voulu.
Montrons l’implication directe : supposons donc
|Autk(l)|= [l:k]
Comme l’extension est finie, l’inégalité
|Homk(l; Ω)| ≤[l:k] =|Autk(l)| est acquise. Ainsi,
|Homk(l)|= [l:k]
donc l’extension est séparable. De même,
Autk(l) =Homk(l; Ω) donc l’extension est normale. L’extension est donc galoisienne.
□ On peut alors introduire la notion fondamentale de cette partie, la notion de groupe de Galois :
Définition IX.3.Soit l/k une extension galoisienne. On appelle groupe de Galois de l’extensionl/k l’ensemble des k-automorphismes del. On le noteGal(l/k).
On dispose d’une action naturelleGal(l/k)↷l. Moralement, ce groupe échange les racines d’un polynôme :
Proposition IX.3.Soit l/k une extension galoisienne et (x, y) ∈ l2. Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) xet y sont dans la même orbite sous l’action du groupe de Galois de l’extension.
ii) xet y ont même polynôme minimal surk.
Démonstration de la proposition.i)⇒ii) est immédiat : Il suffit de remarquer que pour tout polynômeP ∈k[X], P(σ(x)) =σ(P(x))siσ∈Gal(l/k).
L’implication réciproque se fait par prolongement de morphisme : k[x] et k[y] sont deux corps de rupture pour le polynôme irréductibleµx,k, et ils sont donc isomorphes viaf :x→y et qui est égal à l’identité surk(on supposex /∈k, sinon le résultat est évident). Ce morphisme se prolonge donc en un élément du groupe de Galois,σ, qui envoitxsury.
□ On obtient donc le corollaire suivant :
CorollaireIX.2. Pour toute extension galoisiennel/k,lGal(l/k)=k.
Théorème IX.3.Soitp un entier premier etn∈N∗. Soitq :=pf, f ∈N∗. L’extension Fqn/Fq
est galoisienne, de groupe de Galois cyclique d’ordrenengendré par le morphisme de Frobenius.
Démonstration du théorème.Il s’agit d’une extension finie d’un corps fini ; elle est donc séparable, par perfection des corps finis. Pour montrer qu’elle est normale, on va utiliser le théorème de l’élément primitif : il existe α ∈ Fqn tel que Fqn = Fq[α]. Soit P le polynôme minimal de α sur Fp. Il faut montrer que ce polynôme est scindé surFqn, ce qui montrera que l’extension est normale.
Notonsφle morphisme de Frobenius : supposons montré queφest d’ordren. Alors(φi(α))i∈Nnfournit nracines distinctes deP : en effet, siφj(α) =α,1≤j < n, on aboutit à une absurdité, puisqueαest d’ordreqn−1. Ceci conclut la preuve, une fois remarqué queφn=id.
□ Corollaire IX.3.Soit P un polynôme irréductible sur Fq[X] non constant. Alors P est scindé à racines simples dansFqdeg(P) et, siαest une racine deP, l’ensemble des racines deP est l’ensemble desφi(α).
Ce corollaire est simple à démontrer : On sait que si P admet une racine dans Fqd, les autres racines deP dansFqd forment l’orbite de la première sous l’action de groupe de Galois de l’extension.
CommeP est séparable par perfection des corps finis, ses racines sont distinctes, et comme l’extension est galoisienne toutes ses racines sont dansFqd. Toutes les racines sont dans l’orbite de la première sous l’action de Galois, et cette orbite est de cardinal inférieur àdeg(P). Il est donc égal àdeg(P).
IX-C. Groupe de Galois d’un polynôme
Définition IX.4.SoitP un polynôme séparable dek[X]. Son groupe de Galois est le groupe Galk(P) :=Gal(Dk(P)/k)
Ce groupe de Galois ne dépend pas du corps de décomposition choisi.
Lemme IX.1.SoitP ∈k[X]séparable.Soit l un corps de décomposition de P sur k. Soit Z(P) l’en-semble des racines deP dansl. Alors
Gal(l/k)·Z(P)⊆Z(P)
On a donc une action de groupe Gal(l/k) ↷ Z(P), c’est-à-dire un morphisme de groupes φ : Gal(l/k)→S|Z(P)|. Ce morphisme est injectif, indépendamment de la numérotation des racines, mais n’est en général pas surjectif.