VI-A. Limites Projectives VI-A- 1. Propriétés générales
DéfinitionVI.1. SoitCune catégorie, et soit(I,≤)un ensemble totalement ordonné. Un système projectif indexé par(I,≤)à valeurs dansCest la donnée de
(
Les morphismes σi,j sont appelés morphismes de transition.
Remarque.Si (I,≤) est muni de sa structure naturelle de catégorie, alors la donnée d’un espace projectif indexé par (I,≤) à valeur dansC est la même chose que la donnée d’un foncteur covariant de(I,≤)dansC.
Définition VI.2.Soit (
(Si)i∈I,(σi,j)i≤j∈I )
un système projectif indexé par(I,≤). à valeur dans C. On note S ce système projectif. Une limite projective de S est la donnée d’un objet S deC, et de morphismes {si} deHomC(S,Si) vérifiant les propriétés suivantes :
(1) ∀i≤j∈I, σi,j◦sj =si
(2) Si M est un objet de C et {µi} est une famille de morphismes avec µi un morphisme de HomC(M,Si), et vérifiant que ∀i≤j ∈I, σi,j◦µj =µi, alors il existe un unique morphisme µdeHomC(M, S) et vérifiant que∀i∈I, µi=si◦µ.
Remarque.La deuxième condition de la définition VI.2 affirme que (S,{si})i∈I est un objet final pour une certaine catégorie appropriée associée àC. En particulier si(S,{si})i∈I existe, il est unique à unique isomorphisme près.
On notera lim←−i
∈I
Si, ou plus simplementlim←−Si la limite projective deS.
Proposition VI.1.SoitS un système projectif indexé par (I,≤) à valeurs dansC. On suppose que S:= lim←−Si existe. Alors pour tout objetM deC, et pour tous morphismesf, gdeHomC(M, S),f =g projectifs indexés par(I,≤)à valeur dansC. Un morphisme de systèmes projectifs indexés par(I,≤) deS dansT est une famille{fi} de morphismes deHomC(Si,Ti)telle que pour touti≤j ∈I, le diagramme suivant commute :
Lemme VI.1.Supposons que les systèmes projectifs S et T admettent des limites projectives S et T.
Tout morphisme{fi} deS dansT se relève en un unique morphismef deS dansT, avec pour tout i∈I,ti◦f =fi◦si (oùti etsi sont les morphismes de T dansTi et deS dansSi respectivement).
Démonstration du lemme.Soit{fi} un morphisme deS dansT. Alors{fi◦si}est une famille de morphismes qui vérifie que pour touti, j,θi,j◦fj◦sj=fi◦sicarθi,j◦fj =fi◦σi,jetσi,j◦sj =si. Donc il existe un uniquef, morphisme deS dansT, tel que pour touti,fi◦si=ti◦f. C’est exactement ce que l’on voulait.
VI-A- 2. Existences de limites projectives
ThéorèmeVI.1. Les limites projectives existent dans la catégorie des ensembles.
Démonstration du théorème.Soit(Ei, ϵi,j)un système projectif d’ensembles, indexé par(I,≤).
On peut considérer son produit cartésienE˜ := Π
i∈IEi, et les projections canoniquesΠ˜i: ˜E→Ei pour touti∈I. PosonsE:={(xi)i∈I ∈E, x˜ i =ϵi,j(xj)}. On vérifie queE muni deei:= ( ˜Πi)|E convient.
Lorsque lesSiseront en plus topologiques, on pourra munirS de la topo la plus petite rendant les si continues.
Proposition VI.2.Le foncteur lim←−est covariant et exact à gauche.
Démonstration de la proposition.Soient E = ((Ei)i∈I,(ϵi,j)i,j), F = ((Fi)i∈I,(φi,j)i,j) et G = ((Gi)i∈I,(γi,j)i,j) trois systèmes projectifs indexés par (I,≤) à valeur dans C et tels que les limites projectives existent. On noteE,F et Gces limites projectives (avec des notations évidentes).
Supposons que l’on ait une suite exacte courte
0→ E → F → G →0,
c’est à dire une famille de suites exactes courtes compatibles avec les morphismes de transition : 0→Ei→fi Fi→gi Gi→0.
Alors d’après le lemme VI.1 appliqué aux morphismes de systèmes projectifs (fi)et (gi), il existef un morphisme deE dansF etg un morphisme deF dansG, uniques, vérifiant que pour touti∈I, φi◦f =fi◦ϵi, etγi◦g=gi◦φi. On montre que la suite0→E→f F →g Gest exacte.
• Sixest dans le noyau def, alors pour touti,φi(f(x)) =fi(ϵi(x)) = 0, donc, commefiest injective, ϵi(x) = 0, et donc x= 0. DoncKer(f) ={0}.
• On sait que pour tout i,gi◦fi = 0, donc pour touti,γi◦g◦f =gi◦φi◦f =gi◦fi◦ϵi = 0, et doncg◦f = 0.
• Enfin sixest dans le noyau deg, alorsg(x) = 0, doncγi◦g(x) =gi◦φi(x) = 0. Doncφi(x)est dans le noyau degi, donc dans l’image de fi, donc il existeyi∈Ei, tel queφi(x) =fi(yi) =fi◦ϵi(y) = φi◦f(y), doncx=f(y). Ainsi,Im(f) =Ker(g).
On fera attention au fait que ce foncteur n’est en général pas exacte. Par exemple, on considèreK un corps, etA=K[X]l’anneau des polynômes surK. On noteIl’idéal engendré parX. On considère aussiIn=⟨Xn⟩. On noteπn la projection deAsurA/In. Alors commeIn+1⊂In, on peut factoriser πn par πn+1. On note donc φn :A/In+1 → A/In. On a aussi des morphismes (l’inclusion) de In+1 dansIn. Or la limite projective des In est nulle (exercice) et la limite projective deA/In s’identifie avec l’anneau des séries formellesK[[X]](exercice). Donc on a une suite exacte0→In →A→A/In, alors que la suite0→0→A→K[[X]]→0n’est pas exacte.
VI-B. Modules noethériens et artiniens VI-B- 1. Longueur d’un module et suites de (dé)composition
Définition VI.4.Soit A un anneau commutatif et M un A-module. On dit que M est un A-module simple s’il admet exactement deux sous-A-A-modules, à savoir{0}etM. Plus généralement, la longueur d’unA-moduleM est définie par le plus grand entierntel qu’il existe une suite strictement croissante de sous-A-modules deM de longueurn, ou par+∞si cet ensemble est non borné.
Lemme VI.2.La fonction lA est additive. Soit 0 → N →M →M/N → 0 une suite exacte de A-modules. Si deux parmi M, N et M/N sont de longueur finie, alors le troisième aussi, et dans ce cas,
lA(M) =lA(N) +lA(M/N).
Démonstration du lemme.On montre d’abord que si deux desA-modules sont de longueur finie, le troisième aussi. On montre même un peu mieux :
• Si N est un sous-A-module deM, alors les sous-A-modules de N sont des sous-A-modules de M. Donc siM est de longueur finie,N aussi, etlA(N)≤lA(M).
• Si N est un sous-A-module deM, on note P le quotient M/N. Il y a une bijection qui préserve l’inclusion stricte entre les sous-A-modules de P et les sous-A-modules de M qui contiennent N, donc siM est de longueur finie,P aussi etlA(P)≤lA(M).
• Enfin siN est un sous-A-module deM, on noteP le quotientM/N et on suppose queN etP sont de longueur finienetp. Par l’absurde on montre queM est de longueur inférieure àn+p. Soit donc une suite de sous-A-modules deM strictement croissante de longueurn+p+kaveck >0. On peut en extraire une sous-suite donc on peut très bien supposer quek= 1 pour simplifier les notations.
On a doncM0⊊...⊊Mn+p+1des sous-A-modules deM. On considère les sous-A-modulesN∩Mi, on a une suite de sous-A-modules deN, donc il y en a au plus ndisctincst. On regroupe donc par paquets égaux dansN ces sous-A-modules. On introduit la notation suivante : lesk1premiers sont égaux, puis les k2 suivants sont distincts, puis les k3 suivants sont égaux, ... enfin les kd derniers sont soit égaux et dest impair, soit distincts etdest pair (on suppose bien sûr les ki strictement positifs). On a alorsk1+...+kd=n+p.De telsMi égaux dansnsont distincts hors deN, puisque la suite est strictement croissante, donc leur projection dansP sont distinctes. Dans le premier cas, on a donc k1+k3+...+kd−d−21 sous-A-modules distincts deP Or k2+k4+...kd−1+d+12 =n.
Donck1+k3+...+kd−d−21 > p. Ceci est absurde car on a une suite strictement croissante de sous-A-modules deP de longueur strictement plus grande que p. Le deuxième cas se traite de manière similaire.
Enfin il nous reste à montrer l’égalité de la somme des longueurs dans le cas fini. On a déjàlA(M)≤ lA(N) +lA(M/N). C’était l’inégalité difficile, car si on a une suite strictement croissante de sous-A-modules de N de longueur n et une suite strictement croissante de sous-A-modules de M/N de longueur p, par la même construction que dans le deuxième point, on trouve une suite strictement croissante de sous-A-modules deM de longueurn+p.
ThéorèmeVI.2 :Jordan-Holder.SoitM un A-module de longueur finie, etM0⊊...⊊Mn une suite strictement croissante de sous-A-modules de M. Nécessairement, M0 = {0} et Mn =M. Alors on a les propriétés suivantes :
• la longueur deM est n,
• pour touti,Mii+ 1/Mi est unA-module simple,
• l’idéal annulateur de Mi+1/Mi ne dépend pas desMi.
Démonstration du théorème.Par maximalité, pour touti,Mi+1/Miest simple, et doncMi+1/Mi
est de longueur 1. Donc par additivitéM est de longueurn. Maintenant, siRest unA-module simple, alors l’idéal annulateur de R, Ann(R), est un idéal maximal de A, et A/Ann(R) ≃ R. En effet, si J est un idéal tel que Ann(R) ⊂ J ⊂ A, alors J R est un sous-A-module de R, donc J R = 0 ou J R=R. On suppose que J est différent de Ann(R), alors J R=R. On a par ailleurs que R est de type fini, car il est simple. En effet si xest dans R non nul, alors le sous-A-module de R engendré parxest nécesserairementR tout entier. On peut appliquer le lemme de Nakayama pour en déduire
qu’il existe y dans J tel que (1 +y)R= 0. Alors1 +y est dans Ann(R), donc dans J, donc 1 ∈J, doncJ =A. Ainsi, on a la maximalité deAnn(R). D’autre part on a montré queRétait de type fini, engendré par un élément, que l’on notex. Donc l’applicationa7→ax deAdansR est surjective. Son noyau estAnn(R), on a donc qu’en tant queA-module,R est isomorphe àA/Ann(R). On note alors mi =Ann(Mi+1/Mi). C’est un idéal maximal deA. D’autre part, le foncteur de localisation enm est exact, donc (Mi+1)m/(Mi)m ≃Am/(mi)m. Ainsi, sim ̸=mi, alors (Mi+1)m = (Mi)m, et si m=mi, alors(Mi+1/Mi)mi ≃Ami/mi est simple. On localise alors la suite des sous-A-modules enm, on a :
{0} ⊂(M1)m⊂...⊂(Mn−1)m⊂Mm.
Dans cette suite,m est l’un desmi si et seulement si il existe au moins une inclusion stricte. Dans ce cas, on alAm(Mm) =Card{i,m=mi} et le membre de gauche ne dépend pas desMi.
VI-B- 2. Modules noethériens
Définition VI.5. Un A-module est dit noethérien s’il satisfait une des conditions suivantes qui sont équivalentes :
i) Toute suite croissante de sous-A-modules deM est stationnaire,
ii) Tout ensemble non vide de sous-A-modules deM admet un élément maximal.
Proposition VI.3.Soit M un A-module. Alors M est noethérien si et seulement si tout sous-A-module de M est de type fini.
Démonstration de la proposition.On commence par prouver l’équivalence des deux conditions de la définition. Il est clair que la deuxième condition implique la première. Supposons alors que toute suite croissante de sous-A-modules deM est stationnaire. Soit alors un ensembleEde sous-A-modules deM non vide. Alors il est inductif. Donc par le lemme de Zorn, il admet un élément maximal.
Maintenant supposons qu’il existe un sous-moduleNdeMqui ne soit pas de type fini. On construit une suite croissante de sous-modules deN de la manière suivante : Soitx0∈N quelconque. Alors si on noteN0 le module engendré parx0, il n’est pas égal à toutN, car N n’est pas de type fini, donc il existe x1 ∈N tel que ξ1 ne soit pas dans M0. On suppose construits M0, ...Mn avec Mi ⊊Mi+1, et Mi engendré par des éléments x0, ...xi. AlorsMN est de type fini donc ce n’est pas toutN. Donc il existe xn+1 qui n’est pas dans Mn. On considère alors le sous-A-module engendré par x0, ...xn+1
qu’on note Mn+1. Cette suite est strictement croissante et n’est donc pas stationnaire. Ce sont des sous-modules deN, donc deM, doncM n’est pas noethérien.
Réciproquement, s’il exite une suite de sous-A-modules de M croissante et non stationnaire, on peut en extraire une sous-suite strictement croissante, qu’on noteM0, ...Mn, ... Alors on aMk ̸=M pour toutk, et comme il existexk ∈Mk qui n’est pas dansMk−1, l’union desMn, qui est encore un sous-modules car ils sont tous inclus les uns dans les autres, n’est pas de type fini.
Lemme VI.3.Soit 0 → M1 → M → M2 → 0 une suite exacte courte de A-modules. Alors M est noethérien si et seulement siM1 et M2 le sont.
Démonstration du lemme.SiM est noethérien, alors tout sous-module deM est de type fini, donc siM1 est un sous-module deM, alors tout sous-module deM1 est un sous-module deM donc est de type fini, etM1 est noethérien. Si à présentM2 est le quotientM/M1, les sous-modules deM2 sont les projections dans le quotient M/M1 des sous-modules deM qui contiennent M1. Ils sont de type fini, donc leur projection aussi, etM2 est noethérien.
Réciproquement, supposons queM1 etM2 sont noethériens. Alors soitN un sous-module de M. AlorsN∩M1 est de type fini engendré par x1, ...xn et la projection deN dans M2 est de type fini
Corollaire VI.1.Toute somme directe finie de modules noethériens est nothérien. Tout module de type fini sur un anneau noethérienA est unA-module noethérien.
Définition VI.6.UnA-module est dit artinien s’il satisfait une des conditions suivantes qui sont équivalentes :
i) Toute suite décroissante de sous-A-modules deM est stationnaire,
ii) Tout ensemble non vide de sous-A-modules deM admet un élément minimal.
On a la même preuve que précédemment pour l’équivalence de ces deux conditions. Par contre, on n’a pas d’équivalent de la proposition II.2 pour les modules artiniens.
Lemme VI.4.Soit 0 → M1 → M → M2 → 0 une suite exacte courte de A-modules. Alors M est artinien si et seulement si M1 etM2 le sont.
Démonstration du lemme.Par contre, on ne peut pas adapter cette démonstration, puisque qu’on n’a pas la proposition II.2. On va faire une autre démonstration qui s’adaptera elle aux modules noethériens (ce qui donne une autre preuve du lemme VI.3). On suppose queM est noethérien. Alors soit une suite décroissante de sous-modules deM1. C’est une suite décroissante de sous-modules deM, donc elle est stationnaire. De même, soit une suite décroissante de sous-modules deM2,N0, ..., Nn, ....
On noteπla projection canoniqueM →M2. Alorsπ−1(N0), ..., π−1(Nn), ...est une suite décroissante de sous-modules deM. Elle est donc stationnaire. Donc la suiteN0, ..., Nn, ... aussi.
Réciproquement, supposons que M1 et M2 soient artiniens. Soit une suite décroissante de sous-modules de M, N0, ..., Nn, .... Alors, si on note Ni ∩M1 = Pi, la suite Pi est décroissante et dans M1, donc elle est stationnaire à partir d’un rang qu’on note n0. Si on note encore π la projection canoniqueM →M2, alors la suiteπ(N0), ..., π(Nn), ... de sous-modules deM2 est décroissante donc stationnaire à partir d’un rangn1. Si n2 est le maximum entren0 et n1, alors soitn≥n2. Comme, π(Nn) =π(Nn2), six∈Nn2,π(x)∈π(Nn), donc il existey∈Nn,x−y∈M1. Alorsx−y∈Pn2=Pn, doncx−y∈Nn, doncx∈Nn. Ainsi Nn2 =Nn. Donc la suiteN0, ..., Nn, ...est stationnaire, et M est artinien.
CorollaireVI.2. Toute somme directe finie de modules artiniens est artinien.
Théorème VI.3.SoitM un A-module. AlorsM est de longueur finie si et seulement si M est noethérien et artinien.
Démonstration du théorème.On suppose que M est de longueur finie. Alors, si M0, ..., Mn, ...
est une suite croissante ou décroissante de sous-modules de M, elle est stationnaire, sinon on peut en extraire une suite strictement croissante de longueur infinie, ce qui contredit le fait queM est de longueur finie.
Réciproquement, si M est noethérien et artinien, et si M est non nul (sinon il n’y a rien à faire), alors considérons l’ensemble des sous-modules non nuls deM, dont on note M0 un élément minimal (M est artinien et non nul donc ces ensemble est non vide), puis l’ensemble des sous-modules de M qui contiennent strictementM0, siM0̸=M, dont on noteM1un élément minimal. On construit ainsi une suite de sous-modules croissanteM0, ..., Mn, .... Alors elle est stationnaire carM est noethérien.
Si elle stationnait àN un sous-module strict deM, alors on aurait encore l’ensemble des modules qui contiennent strictementN qui serait non vide et on pourrait poursuivre la construction. Donc la suite stationne à M. Or par construction, les quotients Mi+1/Mi sont simples. Donc M est de longueur finie par le lemme VI.2.
VI-C. Complétion I-adique Dans toute cette partie,Aest anneau commutatif etI un idéal deA.
VI-C- 1. filtrationI-bonnes
Définition VI.7.SoitM un A-module. Une filtration deM est une suite décroissante (Mn)n∈N
de sous-A-modules deM, avec M0=M.
• Une telle filtration est une I-filtration si IMn ⊂Mn+1
• Une I-filtration estI-bonne s’il existe n0 tel que pour toutn≥n0,IMn=Mn+1.
Par exemple,{InM}est une filtrationI-bonne deM.
Lemme VI.5.Deux filtrations (Mn) et ( ˜Mn) I-bonnes de M sont de différence bornée, ie∃n0,∀n≥ n0, Mn+n0⊂M˜n,M˜n+n0 ⊂Mn.
Démonstration du lemme.être de différence bornée est une relation d’équivalence parmi les fil-trationsI-bonnes, donc on peut se ramener à l’une des filtrations qui estInM. Le résultat est alors évident.
Définition VI.8.La topologie I-adique sur M est la topologie dont un système fondamental de voisinages de 0 est donnée par une filtration I-bonne.
Remarque.Attention à la définition de la topologieI-adique. On ne demande pas qu’une base d’ou-verts soit donnée par une filtrationI-bonne mais bien un système fondamental de voisinages. C’est-à-dire tout voisinage de 0 contient un des voisinages du système fondamental.
VI-C- 2. lemme d’Artin-Rees
Lemme VI.6 : Artin-Rees.Soit A un anneau noethérien. Alors pour tout A-module de type finiM, pour tout sous-moduleNdeM, la topologieI-adique deNest induite par celle deM. Plus précisément, il existe un entierr >0, tel que pour toutn≥r,InM∩N =In−r(IrM∩N).
Théorème VI.4 : Krull.Si A est noethérien, M est un A-module de type fini, et N le sous-A-module défini par ∞∩
Remarque.Ce sont en fait les deux dernières assertions qui sont dues à Krull dans le théorème.
Remarque.Dire que ∞∩
n=0
InM = 0 revient à dire que la topologie I-adique est séparée. En effet si cette topologie est séparée, alors six∈ ∞∩
n=0
InM, soitV un voisinage de 0, il contient unInM, donc x∈V. Doncxest tout voisinage de 0, d’où x= 0. Réciproquement, si ∩∞
n=0
InM = 0, soient xet y deux points deM, alors si y est dans tous les voisinages dex, en particulierx−y est dans tous les voisinages de 0 donc dans tous lesInM. Doncx−y= 0d’oùx=y.
Remarque.On a bien dans le lemme d’Artin-Rees que la deuxième partie du lemme implique la première. En effet s’il existe un entierr >0, tel que pour tout n≥r,InM ∩N =In−r(IrM ∩N), alors comme In−r(IrM ∩N) ⊂ N, pour n ≥ r, InM ∩N ⊂ In−rN. D’autre part, pour tout n, InN ⊂N, etInN ⊂InM carN ⊂M. DoncInN ⊂InM ∩N. En particulier siV est un voisinage de 0 pour la topologie I-adique sur N, il contient un InN (par définition de système fondamental de voisinage), donc il contient InM ∩N, donc c’est un voisinage pour la topologie induite par M. Réciproquement, siV est un voisinage de 0 pour la topologieI-adique induite parM, alors il contient unIkM ∩N, donc un InM ∩N avec n≥r, car la suiteInM est décroissante. Donc il contient un IpN et c’est un voisinage de 0 pour la topologieI-adique surN.
On va suivre la preuve du Matsumura pour le lemme d’Artin-Rees. C’est également la preuve proposée en TD. On commence par prouver le théorème de Krull en admettant le lemme.
Démonstration du théorème. Si A est noethérien, M est un A-module de type fini, et N le sous-A-module défini par ∩∞
n=0
InM, alors déjà IN ⊂N. D’autre part, N = InM ∩N, donc pour n assez grand, N ⊂In−r(IrM ∩N) ⊂ IN, où l’entier r est donné par le lemme d’Artin-Rees. Donc on a bienIN =N. Ensuite, comme N est de type fini, car sous-A-module deM, etM est de type fini avec A noethérien, donc noethérien, on peut appliquer le lemme de Nakayama, il existe donc x∈I,(1 +x)N = 0. On rappelle qu’on définitrad(A)comme l’intersection des idéaux maximaux de A. Alors si I ⊂rad(A), x∈m pour tout idéal maximalm deA. Donc 1 +xest inversible, sinon il serait dans un idéal maximalm0, etxaussi, donc 1 serait dansm0 ce qui est absurde. Enfin, siAest intègre etI est un idéal propre, on applique le résultat précédent auA-moduleA: il existex∈Itel que (1 +x)∞∩
Démonstration du théorème.Tout d’abord, sans supposer Anoethérien, siM =M0⊃M1⊃...
est uneI-filtration, avec tous lesMi de type fini surA, on poseX une indéterminée,A′ =∑
Maintenant, on suppose que A est noethérien, que M est de type fini sur A, et que N est un sous-A-module de M. Il s’agit de montrer qu’il existe un entier r > 0, tel que pour tout n ≥ r, InM ∩N =In−r(IrM ∩N). En d’autres termes, il s’agit de montrer que la filtration (InM ∩N) type fini surA′. Donc la filtration estI-bonne.