Extension à une sollicitation quelconque

Introduction

Nous venons de voir, dans le cadre strict d’une sollicitation par un processus d’Ornstein- Uhlenbeck, que le terme non linéaire de chargement affectait de manière presque insigni- fiante les caractéristiques de second ordre de la réponse d’un oscillateur simple.

L’objectif de ce paragraphe est d’élargir le domaine de validité des conclusions tirées à d’autres types de sollicitations, et essentiellement aux densités spectrales de sollicita- tion rencontrées dans le domaine du vent. Les conclusions qui doivent être tirées des développements à venir doivent permettre :

— de justifier de manière précise la nécessité ou non de recourir à la prise en compte du terme quadratique ;

— d’aborder avec une bonne maîtrise du problème l’étude d’un système soumis au carré d’un processus aléatoire caractérisé par une densité spectrale quelconque. Nous allons baser nos développements sur l’approximation en bruit blanc car cette méthode est immédiate, donc idéale pour cette discussion. Il va de soi que si l’autocon- volution de la densité spectrale de vent peut être établie, une approche plus rigoureuse pourrait être obtenue par intégration numérique. Les quatre méthodes qui ont été pré- sentées au chapitre précédent pourraient en réalité être appliquées.

Admettons, à partir de ce point, que la turbulence du vent soit caractérisée par une densité spectrale de puissance quelconque. L’application de l’approximation en bruit blanc, qui semble donner une bonne estimation de l’erreur réalisée, nous apprend que le terme quadratique de chargement aura d’autant plus d’importance que :

— d’une part, la variance associée au complément de densité spectrale de sollicitation est importante vis-à-vis de la variance de la partie linéarisée de l’effort ; nous avons vu dans un raisonnement tout à fait général que l’erreur commise sur la variance de la sollicitation et donc également sur la variance de la réponse quasi-statique était systématiquement égale à Iu2

2, quelle que soit la répartition fréquentielle de l’énergie

contenue dans la sollicitation.

Les mêmes conclusions que celles tirées précédemment peuvent donc être générali- sées : l’effet des termes quadratiques sur la contribution quasi-statique de la variance peut être négligé pour les intensités de turbulence rencontrées en pratique.

— d’autre part, la valeur de la densité spectrale au niveau du pic de résonance est importante dans le complément de densité spectrale vis-à-vis de la valeur correspon- dante dans la densité spectrale linéarisée (au sens stochastique). Il est assez difficile de démontrer que 4Su( )_U¯2 est beaucoup plus important que

2 ¯

U4

R_+∞

−∞ Su(ω1)Su( −

1 1_{Le modèle utilisé pour le calcul du facteur de pointe est identique à celui qui est présenté depuis} le début du document. Maintenant que le processus étudié n’est plus gaussien, ce modèle n’est plus d’application. Nous verrons au paragraphe 4.9 que le caractère non gaussien de la réponse se manifeste essentiellement par des modification du facteur de pointe.

ω1)dω de manière tout à fait générale. Cela est même impossible en réalité. En

effet, il existe certains cas pour lesquels l’autoconvolution de la densité spectrale adimensionnelle (Su(ω)/ ¯U2) est beaucoup plus importante que la densité spectrale

adimensionnelle elle-même. Nous allons démontrer ceci à l’aide d’un exemple (pa- ragraphe suivant).

Etant donné que le terme de chargement non linéaire peut modifier significativement la contribution dynamique de la réponse, nous ne pouvons donc pas conclure pour l’ins- tant que, quelle que soit la densité spectrale de sollicitation choisie, le terme quadratique n’a qu’une influence limitée sur la variance de la réponse d’un oscillateur simple.

Interprétation physique de l’autoconvolution

Au paragraphe 4.5.1, nous avons constaté que prendre en compte le terme quadratique du chargement revenait à ajouter un complément d’autocorrélation :

∆Rf(τ ) = 2γ2R2u(τ ) (4.143)

à la fonction d’autocorrélation obtenue en pratiquant la linéarisation stochastique. L’équivalent dans le domaine fréquentiel consiste à ajouter un complément de densité spectrale : ∆S (ω) = 2 Z _+∞ −∞ Su(ω1) ¯ U2 Su(ω − ω1) ¯ U2 dω1 (4.144)

à la densité spectrale de force obtenue sans prendre en compte le terme quadratique. Il serait intéressant de pouvoir interpréter physiquement ce passage au carré dans la fonction d’autocorrélation, ou cette convolution de la densité spectrale.

La figure 4.13 illustre l’opération d’autoconvolution. Cette opération consiste à re- copier la fonction Su(ω1)_U¯2 en la décalant d’une pulsation ω. L’intégrale du produit des

deux fonctions ainsi obtenues (surface sous la courbe en gras) correspond à la valeur de l’autoconvolution pour cette pulsation ω. A la figure 4.13, nous avons représenté le calcul de l’autoconvolution pour quatre pulsations discrètes (ω = 1, ω = 2, ω = 3, ω = 4).

-4 -2 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 ω ω = 1 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 ω ω = 2 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 ω ω = 3 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 ω ω = 4 -100 -5 0 5 10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ω Autoconvolution

On comprend à l’aide de cette figure pourquoi l’autoconvolution doit présenter des valeurs importantes dans le voisinage de l’origine.

Lorsque le processus aléatoire étudié est un processus réel, c’est-à-dire que sa densité spectrale est symétrique, seul le résultat des décalages positifs suffit. En effet :

Z _+∞ −∞ Su(ω1)Su(−ω − ω1)dω1 = Z _+∞ −∞ Su(ω1)Su(ω + ω1)dω1 (4.145) = Z _+∞ −∞ Su(Ω − ω)Su(Ω)dΩ = Z _+∞ −∞ Su(Ω)Su(ω − Ω)dΩ

ce qui montre que si la densité spectrale est symétrique, il en est alors de même de son autoconvolution. Ceci semble de toute façon assez logique dans la mesure où nous savons que cette autoconvolution représente la densité spectrale d’un processus réel (le carré du processus u) et doit donc être symétrique. Nous ne traiterons donc dans la suite que les décalages positifs.

Continuons notre apprentissage de l’opération d’autoconvolution en considérant le processus aléatoire en bande étroite caractérisé par :

Su(ω) =

½

S _{si |ω ± ω}A| ≤ ∆ω₂

0 sinon (4.146)

Cette densité spectrale de puissance présente donc deux pics centrés en ω = ±ωA.

L’illustration de la figure 4.13 permet de comprendre facilement que, dans le cas de ce processus en bande étroite, le résultat de l’autoconvolution ne peut être non nul que :

— si le décalage ω est plus petit que ∆ω et donc qu’il persiste un recouvrement entre les pics initiaux et décalés ;

— si le décalage ω est de l’ordre de 2ωA de sorte que le pic en pulsations négatives

vienne recouvrir le pic en pulsations positives.

Plus précisément, l’expression analytique de l’autoconvolution de la densité spectrale Su(ω) prise pour exemple s’écrit :

Z _+∞ −∞ Su(ω1)Su(ω − ω1)dω1= ⎧ ⎨ ⎩ 2S2_{(∆ω − ω) si 0 ≤ ω ≤ ∆ω} S2_{(∆ω − |2ω}A− ω|) si 2ωA− ∆ω ≤ ω ≤ 2ωA+ ∆ω 0 sinon (4.147) Elle est représentée graphiquement à la figure 4.14. On constate que l’énergie contenue dans le processus résultant de la mise au carré d’un processus en bande étroite se compose de deux contributions équivalentes (du point de vue énergétique) :

— l’une est centrée en ω = (±) 2ωA. Ceci montre que la période dominante du signal

étudié est divisée par 2 (ce que l’on peut observer en élevant au carré un signal sinusoïdal) ;12

1 2_{Il est primordial que les développements soient réalisés sur la densité spectrale complète, définie} depuis -∞ jusque +∞. Si nous avions utilisé la densité spectrale définie sur [0; +∞], la rencontre entre les deux pics pour un décalage ω ∼ 2ωAne se serait pas produite. Cette contribution énergétique centrée sur 2ωA n’aurait donc pas pu être mise en évidence.

ω_A -ω_A ∆ω S(ω) 2ω_A -2ω_A 2∆ω 2∆ω Autoconvolution

Fig. 4.14 — Autoconvolution d’un processus en bande étroite. Représentation du spectre du processus de départ et du processus autoconvolué.

u u2 m0: 2S∆ω 4S2∆ω2 m2: 2S∆ω ³ ω2_A+∆ω₁₂2 ´ 8S2∆ω2 ³ ω2_A+∆ω₁₂2 ´ m4: 2S∆ω ³ ω4_A+ω2A∆ω 2 2 + ∆ω4 80 ´ 4 15S 2_∆ω2¡_120ω4 A+ 30ω2A∆ω2+ ∆ω4 ¢ ω+₀ : ωA+_24ωA∆ω ∆ω √ 2ωA+₁₂√∆ω_2ωA∆ω ωµ: ωA+_24ωA5∆ω∆ω 2ωA+_6ωA∆ω∆ω ε : ∆ω_3ω22 A 1 2 + ∆ω2 24ω2 A

Tab. 4.10 — Moments spectraux et paramètres spectraux d’un processus en bande étroite et de son autoconvolution

— l’autre contribution se trouve dans les basses fréquences. Elle s’accompagne d’une augmentation de la moyenne du signal (à moyenne nulle au départ) qui a été élevé au carré.

Elever un signal au carré a donc pour effet de modifier assez sérieusement sa forme. Si cette constatation est évidente en observant le signal dans le domaine temporel, elle l’est certainement moins dans le domaine fréquentiel. En termes de moments spectraux et paramètre spectral, quelques grandeurs sont résumées au tableau 4.10. L’analyse du paramètre spectral ε montre de manière assez significative le passage d’une processus en bande étroite (ε ∼ 0) à un processus en bande large (ε > 0.5). Les résultats donnés pour ω+₀, ωµ et ε sont des développements en série au premier ordre en ∆ω_ωA.

Revenons maintenant à la discussion sur l’influence du terme quadratique de charge- ment sur la réponse d’un oscillateur simple. Nous avions décomposé la réponse en deux contributions dont la première, la partie quasi-statique a déjà été largement discutée. Aussi, nous avions vu que la correction (représentant l’influence du terme quadratique) à apporter à la partie dynamique ne dépendait que de l’importance du résultat de l’autocon- volution estimée pour la pulsation propre de l’oscillateur. Le rapport entre cette grandeur et la valeur de la densité spectrale initiale estimée pour la même pulsation constitue un indicateur d’importance des termes quadratiques. Nous voyons que ce rapport peut être aussi grand que l’on veut. En effet, dans l’exemple présenté, il suffirait que la pulsation

propre de la structure étudiée soit = 2ωA, ce qui maximiserait l’importance du terme

quadratique du chargement.

Nous venons donc ainsi de prouver, à l’aide d’un contre-exemple, que la condition Iu << 1 ne suffit pas à certifier que les termes quadratiques de chargement apportent

des modifications non significatives à la variance de la réponse.

Afin d’illustrer concrètement le genre de situation qui vient d’être présenté, nous avons réalisé l’étude par simulations de Monte Carlo13 _{de la réponse d’un oscillateur}

simple (fnat = 1.5Hz, ξ = 0.01) sollicité par un chargement aérodynamique :

f (t) = γ ¯U³1 + u_¯ U

´2

(4.148)

où γ ¯U = 1 et où la densité spectrale de _Uu_¯ est donnée par :

Su ¯ U (f ) = 2I_u2 √ 2π∆e −(f−f0)2 2∆2 (4.149)

dont on peut vérifier que l’intégration sur les fréquences depuis 0 jusque +∞ permet bien d’obtenir le carré de l’échelle de turbulence. Cette sollicitation est une sollicitation en bande étroite, centrée sur la fréquence principale f = f0. Pour l’application numérique,

nous avons choisi : f0 = 0.6Hz et ∆ = 0.1Hz. On peut donc ainsi constater que le contenu

fréquentiel de la vitesse du vent est faible dans le voisinage de fnat mais présente une

valeur bien plus importante dans le voisinage de fnat/2. En accord avec le raisonnement

plus général qui vient d’être présenté, ceci laisse donc présumer une certaine importance du terme quadratique de chargement. La figure 4.15 présente, sur la gauche, la densité spectrale de la composante turbulente du vent (Iu = 20%). On peut constater que la

vitesse de vent générée (10 échantillons de vitesse de 4096 points chacun, ∆f = 4.5E − 3) présente un contenu fréquentiel assez proche de la cible fixée. Pour chacun des échantillons de vitesse générés, la force appliquée sur la structure peut être calculée en conservant ou en négligeant le terme de chargement non linéaire. Les densités spectrales de force ainsi obtenues sont représentées sur la partie droite du graphique. L’ajout du terme non linéaire de chargement ne modifie donc presque pas le contenu énergétique de la sollicitation (surface sous la densité spectrale). Au vu des développements préalables, nous sommes maintenant en mesure de comprendre pourquoi ce terme de chargement modifie le contenu de la sollicitation dans les basses fréquences ainsi que dans le voisinage de 2f0 = 1.2Hz.

La figure 4.16 représente des morceaux d’échantillons des forces générées ainsi que les déplacements de l’oscillateur correspondant. On peut de nouveau constater que la diffé- rence entre les sollicitations exacte et linéarisée est très faible. L’augmentation du contenu fréquentiel de la sollicitation dans les basses fréquences se traduit, sur ce graphique, par un décalage vers le haut de certains pics de l’échantillon généré.

Bien que la sollicitation soit visiblement plus ou moins identique, la réponse obtenue en conservant ou en négligeant le terme quadratique du chargement peut être substantiel- lement différente. La présence d’un contenu fréquentiel plus important dans le voisinage de la fréquence propre (lorsque le terme non linéaire est conservé) permet ainsi, bien qu’il

1 3_{Le chapitre 6 est dédié à la présentation de critères et conditions d’application de la méthode de} Monte Carlo. L’exposé complet de la méthode d’analyse par simulation sera donc présenté dans ce chapitre ; l’exemple qui suit doit simplement être considéré comme une illustration.

0 0.5 1 1.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 f [Hz] Densité spectrale de u/U

Cible Générée 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 f [Hz] Densité spectrale de force

Linéaire Exacte 0 0.5 1 1.5 0 0.02 0.04

Fig. 4.15 — Densité spectrale de la sollicitation : valeur cible, échantillons sans et avec le terme non linéaire de chargement

100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 -1 0 1 2 3 Sollicitation Temps [s] 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Temps [s] Réponse Effort linéarisé Effort exact

soit très faible, d’exciter suffisamment la structure pour qu’elle présente une réponse à cette fréquence.

La figure 4.17 représente la densité spectrale de la réponse obtenue en conservant ou en négligeant les termes de chargement non linéaire. L’examen de cette figure confirme le raisonnement qui vient d’être avancé. En termes de variances, nous avons calculé, en prenant une moyenne sur les dix échantillons, que l’écart type de la réponse passe de 0.0078m, sans le terme non linéaire à 0.0103m avec le terme non linéaire, soit une modification de l’ordre de 30%. 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10 -3 f [Hz] Densité spectrale de la réponse

Linéaire Exacte

Fig. 4.17 — Densité spectrale de la réponse : avec ou sans le terme non linéaire de chargement

Exemple de processus à contenu fréquentiel monotone

On comprend bien maintenant pourquoi et de quelle manière la contribution dyna- mique peut prendre assez rapidement de l’importance. D’un autre côté, l’exemple qui vient d’être présenté est sans doute un peu extrême dans la mesure où, en imposant = 2ωA, on choisit un contenu fréquentiel de sollicitation nul dans le voisinage de la

pulsation propre de la structure mais une autoconvolution du spectre maximale. Ceci ne peut bien sûr se produire qu’avec la sollicitation particulière en bande étroite choisie.

Restreignons à partir de maintenant notre étude aux densités de probabilités mono- tones (décroissantes pour assurer la signification physique) telles que rencontrées dans le domaine du vent. Etudions la répartition fréquentielle de l’autoconvolution d’un tel spectre. Intuitivement, on peut également pressentir une forme monotone dans la mesure où le contenu de l’autoconvolution dans la bande [ω1; ω1+ dω1] provenant du contenu

du spectre de base dans la bande h ω1 2 ; ω1 2 + dω1 2 i

sera, par comparaison de leurs ori- gines, certainement plus important que le contenu de l’autoconvolution dans la bande [ω2; ω2+ dω2] avec ω2> ω1 provenant d’une bande moins alimentée en énergie.

A titre d’exemple, considérons la densité spectrale suivante :

Su(ω) =

σ2_u 2 βe

−β|ω| _(4.150)

Son autoconvolution peut être assez facilement calculée : Z _+∞ −∞ Su(ω1)Su(ω − ω1)dω1= σ4_uβ 4 (β |ω| + 1) e −β|ω| _(4.151)

La fonction ainsi obtenue est toujours monotone mais décroît moins vite que Su(ω).

Nous avons vu que le rapport

2 ¯ U4 R_+∞ −∞ Su(ω1)Su( − ω1)dω 4Su( ) ¯ U2 = σ 2 u 4 ¯U2 (β |ω| + 1) = I_u2 4 (β |ω| + 1) (4.152) permettait d’exprimer l’erreur commise sur la variance de la réponse en négligeant les termes de sollicitation quadratiques. A nouveau l’intensité de la turbulence joue un rôle important mais on constate également que la pulsation propre de l’oscillateur compte également pour beaucoup. On peut comprendre que les structures les plus raides devraient être les plus affectées.

Application au domaine du vent turbulent

Nous venons de voir comment quantifier de façon très simple et probablement un peu approchée (puisque l’on se base sur l’approximation en bruit blanc) l’erreur commise sur la variance de la réponse. Pour les quelques densités spectrales traitées ci-avant (proces- sus d’Ornstein-Uhlenbeck, processus monochromatique, processus à contenu fréquentiel exponentiel), les développements analytiques sont assez simples et ont pu être menés à bien. Dans ce paragraphe, nous proposons des méthodes d’application aux densités spectrales de vent.

Approche analytique Parmi toutes les méthodes que l’on pourrait mettre en oeuvre, il demeure bien sûr évident que les développements analytiques sont les plus avantageux. En effet, il faut garder à l’esprit que si une forme analytique de l’autoconvolution peut être déterminée, la nouvelle densité spectrale ainsi obtenue peut être utilisée avantageusement pour calculer les caractéristiques statistiques de la réponse. Si une formulation analytique de l’autoconvolution est connue,

— la valeur de cette fonction pour une pulsation particulière (la pulsation propre de l’oscillateur) peut être déterminée, ce qui permet l’application de la méthode d’approximation en bruit blanc ;

— l’écart type de l’autoconvolution est de toute façon connu (σ4

u), ce qui permet éga-

lement l’approche de cette densité spectrale par un processus aléatoire d’Ornstein équivalent ;

— plusieurs fréquences représentatives peuvent être choisies et la fonction peut être calculée pour ces différentes fréquences, ce qui permet l’application de l’intégration numérique avec répartition optimale des points d’intégration, ou l’approche de la fonction par une succession de fonctions-impulsions.

La premier avantage de la formulation analytique réside donc en la richesse d’infor- mations et en la liberté d’exploiter la relation analytique obtenue à une fin quelconque. De plus, il convient de remarquer que les développements ne se font qu’une seule fois, lors de l’élaboration de la formule.

Commençons par exemple par le calcul analytique de l’autoconvolution du spectre proposé par Von Karman :

Su(ω) = 1 4π 4Lxu ¯ Uσ 2 u µ 1 + 70.8³Lxu ¯ U ω 2π ´2¶5/6 (4.153) Le changement de variable ω1 = _Lx2πt ¯U u √ 70.8 et ω = 2πy ¯U Lx u √ 70.8 permet d’écrire : Z _+∞ −∞ Su(ω1)Su(ω − ω1)dω1 = Z _+∞ −∞ 2Lxu π ¯U 2_σ4 u √ 70.8 dt (1 + t2₎5/6³_{1 + (y − t)}2´5/6 (4.154)

La formulation analytique présente un nombre assez important d’avantages... à condi- tion de pouvoir dégager l’autoconvolution analytiquement. Dans le cas de la densité spec- trale proposée par Von Karman, les développements débouchent sur l’estimation d’une intégrale indéfinie, ce qui ne permet pas d’obtenir la relation analytique idyllique. Des développements similaires montrent des conclusions identiques pour la densité spectrale de Davenport.

Puisque la méthode la plus rigoureuse ne peut pas être appliquée, il ne reste plus qu’à se tourner vers des méthodes approchées. Ci-dessous, nous présentons plusieurs méthodes pour prendre en compte les effets du terme quadratique de chargement. Nous avons vu que ce terme complémentaire peut se traduire par un complément de sollicitation tout à fait indépendant de la sollicitation proposée dans la linéarisation stochastique. Deux possibilités s’offrent alors :

— soit ce complément de sollicitation est ajouté à la sollicitation de base et elles sont ensuite traitées simultanément pour la détermination de la variance de la réponse. L’une ou l’autre des quatre méthodes proposées au chapitre précédent peut être appliquée ;

— soit ce complément de sollicitation est traité séparément et donne donc également lieu à un complément de réponse, c’est-à-dire un complément de variance et de moments spectraux d’ordres supérieurs. Dans ce cas, des méthodes d’intégration différentes peuvent être utilisées pour déterminer les réponses associées au charge- ment linéaire et non linéaire. Par exemple, il paraîtrait assez logique d’utiliser une méthode procurant une meilleure précision pour la première partie et une méthode plutôt approchée (approximation en bruit blanc, approche par un processus d’Orn- stein) pour la seconde partie qui nécessite indiscutablement moins de précision. Dans la suite, nous présentons quelques combinaisons de méthodes numériques per- mettant d’estimer l’effet du terme non linéaire.

Intégration numérique Le calcul numérique d’une autoconvolution est assez coûteux en effort de calcul. En effet, le résultat de l’intégrale de convolution doit être calculé

pour un certain nombre de fréquences discrètes ωk et, pour chacune de ces fréquences,

l’intégrale numérique suivante doit être estimée : Z +∞ −∞ Su(ω1)Su(ωk− ω1)dω1 ' X i Su(ωi)Su(ωk− ωi)∆ω (4.155)

Le problème de la précision associée à l’estimation d’intégrales a déjà été longuement discuté. La mise en oeuvre d’une méthode d’intégration numérique nécessite un choix judicieux des points d’intégration. Sans rentrer dans les détails, la méthodologie devrait comporter les points suivants :

— le choix judicieux des points d’intégration pour représenter correctement la den- sité spectrale de vitesse Su(ω1). Au chapitre précédent, nous avions recommandé

l’utilisation de 120 points d’intégration sur l’intervalle [0, fmax]. Il convient donc ici

d’utiliser 239 points d’intégration répartis de façon optimale sur [−fmax, fmax] ;

— le choix judicieux des points d’intégration pour représenter correctement Su(ωk−

ω1), soit un simple décalage des points d’intégration déterminés ci-avant ;

— une mise en commun par la méthodologie présentée au chapitre précédent de ces deux séries de fréquences. Ceci permet de former une série de fréquences représenta- tives dont la taille est comprise entre 239 et 478 valeurs selon le décalage fréquentiel ωk choisi ;

— finalement, l’intégration numérique (certainement par la méthode du trapèze) peut être entreprise avec ces points d’intégration.

Cette méthode pourrait sembler assez laborieuse à appliquer si l’autoconvolution devait être estimée pour un nombre important de fréquences. Admettons maintenant que le complément de sollicitation provenant du terme quadratique du chargement soit pris en compte séparément14 et par une méthode d’approximation en bruit blanc ou par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Il suffirait alors de connaître uniquement le résultat de l’autoconvolution pour une seule fréquence (ωk = , correspondant à la pulsation

propre de l’oscillateur), ainsi que la variance (pour la contribution quasi-statique) de ce complément de fréquence. Or, nous avons déjà démontré que cette variance était égale, en toute généralité à σ4_u, ce qui rend cette approche numérique assez intéressante.