Détermination des densités spectrales

La linéarisation stochastique du problème que nous étudions a permis de simplifier l’expression de la sollicitation à deux termes dont l’un deux est constant et peut être traité séparément. De l’expression complète de la sollicitation, il ne reste donc que :

f (t) = 2γ ¯U u (t) (3.57)

où u(t) est un processus aléatoire d’Orstein-Uhlenbeck, c’est-à-dire dont la densité spectrale de puissance s’exprime par :

Su(ω) =

σ2_uα

π (α2_{+ ω}2₎ (3.58)

La propriété 3.46 permet d’écrire :

Sf(ω) = 4γ2U¯2Su(ω) (3.59)

La densité spectrale de la réponse de l’oscillateur peut être obtenue en multipliant cette expression de l’effort par la norme au carré de la fonction de transfert :

Sx(ω) = 4γ2U¯2Su(ω) ( 2_{− ω}2₎2_{+ (2ξω )}2 = 4γ2U¯2σ2_u 4 1 πα³1 +¡ω_α¢2´ ∙³_{1 −}¡ω¢2´2+¡2ξω¢2 ¸ (3.60) Cette grandeur contient une quantité d’information assez importante, et de toute façon suffisante à la caractérisation complète du processus aléatoire gaussien que constitue la réponse du système.

La figure 3.6 représente les densités spectrales du déplacement obtenues pour diffé- rentes pulsations naturelles ( = 1, = 10 ou = 30) et pour deux valeurs du taux d’amortissement ξ = 0.01 et ξ = 0.05. . Pour le tracé de ces courbes, les paramètres 4γ2U¯2σ2_u et α ont été fixés à 1. Cette figure montre que les densités spectrales des dépla- cements présentent une valeur importante dans le voisinage de l’origine ainsi que dans le voisinage de la fréquence propre. On peut ainsi identifier assez facilement les densités spectrales associées aux différentes raideurs. L’effet du coefficient d’amortissement relatif est localisé dans la gamme de fréquence contrôlée par le terme de viscosité, c’est-à-dire le voisinage du pic de résonance. Conformément à l’intuition, une augmentation du taux d’amortissement va dans le sens d’une diminution de l’amplitude du pic.

On retrouve à la figure 3.6 la forme caractéristique des densités spectrales des dé- placements de structures souples soumises aux effets du vent turbulent : un contenu énergétique dans les basses fréquences (provenant de la sollicitation) et un contenu éner- gétique dans le voisinage de la fréquence naturelle (résonance). Cette distinction revêt une importance majeure dans l’interprétation des résultats issus d’une analyse au vent turbulent. En effet, si le concepteur de projet désirait réduire les déplacements obtenus, les mesures à prendre seraient différentes selon que le contenu fréquentiel se trouve dans les basses ou dans les hautes fréquences. Dans le premier cas, les modifications seraient à apporter au niveau de l’aérodynamique du profil tandis que dans le second cas, on imagine plus facilement une intervention visant à accroître l’amortissement global de l’ouvrage. Cette distinction entre la contribution aux basses fréquences et celle dans le

0 5 10 15 20 25 30 35 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 102 ω Sx (ω )

Fig. 3.6 — Exemples de densités spectrales de déplacements ( = 1rad/s, 10rad/s ou 30rad/s ; ξ = 0.01 ou 0.05)

voisinage du pic de résonance est également à la base d’une célèbre méthode approchée (voir ci-après). En ce qui nous concerne, même si cette méthode approchée ne donne pas des résultats tout à fait précis, nous recommandons tout de même cette décomposition en deux contributions pour obtenir une idée grossière de la répartition énergétique.

Lorsque est de l’ordre de α, soit sur le graphique ci-dessus lorsque = 1, on peut constater que les deux contributions distinguées se confondent. Ceci peut se remarquer par le fait que la densité spectrale ne présente plus de minimum entre le pic de résonance et la pulsation ω = 0. Ce genre de circonstance peut être assez désagréable car la dé- composition n’est alors plus envisageable. Dans le domaine qui nous intéresse, ces deux paramètres ( et α) prennent les ordres de grandeurs suivants :

— la fréquence minimale des structures étudiées ne peut raisonnablement pas des- cendre en dessous de 0.1Hz, soit = 0.63rad/s car sinon la structure étudiée serait vraiment trop souple et présenterait déjà des problèmes d’excès de déforma- tion sous poids propre ;

— il est par contre plus difficile de parler de fréquence maximale du contenu du vent. Certaines densités spectrales utilisées en pratique (Von Karman, entre autres) pré- sentent une densité spectrale monotonément décroissante alors que d’autres densités spectrales présentent un pic dans le voisinage des basses fréquences (Davenport). Dans ce dernier cas, l’estimation de la fréquence prépondérante du contenu du vent peut s’exprimer à partir de la position du pic. Le maximum de la densité spectrale de Davenport peut être obtenu assez facilement : fmax=

q 3 5 ¯ U L où L = 1200m est

du maximum s’exprime donc par 6.45.10−4_{U (avec ¯}¯ _{U en m/s) et prend ainsi des} valeurs de l’ordre de 0.02Hz pour les vitesses moyennes de vent rencontrées en pratique.

Ces ordres de grandeur montrent donc que la majeure partie des structures soumises au vent turbulent présente cette distinction entre les deux contributions. Nous porterons donc essentiellement notre attention aux cas où est plus grand que α.

0 5 10 15 20 25 30 35 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 ω Sx (ω ) 0 5 10 15 20 25 30 35 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 ω Sx (ω ) . ..

Fig. 3.7 — Exemples de densités spectrales de vitesses et accélérations ( = 1rad/s, 10rad/s ou 30rad/s ; ξ = 0.01 ou 0.05)

Les formules rappelées au paragraphe précédent permettent également d’établir les densités spectrales de la vitesse et de l’accélération. Quelques illustrations sont également

représentées à la figure 3.7. Leurs expressions analytiques respectives sont les suivantes : Sx˙(ω) = ω2Sx(ω) = 4γ2U¯2σ2_u 2 ω2 2 1 πα³1 +¡ω_α¢2´ ∙³_{1 −}¡ω¢2´2+¡2ξω¢2 ¸ (3.61) Sx¨(ω) = ω4Sx(ω) = 4γ2U¯2σ2u ω4 4 1 πα³1 +¡ω_α¢2´ ∙³_{1 −}¡ω¢2´2+¡2ξω¢2 ¸ (3.62)

Contrairement aux densités spectrales de déplacement qui présentent en règle géné- rale une contribution dans les basses fréquences, on peut par contre dire que les vitesses et davantage encore les accélérations voient la majeure partie de leur contenu énergétique dans une bande de fréquence proche du pic de résonance. Ceci provient de la multipli- cation du spectre de déplacement par ω2 et ω4, c’est-à-dire la traduction de l’opération de dérivation. Ceci permet de justifier que la vitesse moyenne et l’accélération moyenne prises sur une durée égale à quelques fois la période propre à peine doivent être très petites.