Nous avons présenté, dans ce chapitre, différentes méthodes d’application de l’analyse stochastique d’un oscillateur simple soumis à un chargement aléatoire stationnaire.
Les premiers développements que nous avons présentés relevaient d’une approche analytique de la réponse du système simple étudié. Outre la présentation de la métho- dologie à suivre pour une analyse stochastique, les développements de ce premier para- graphe visaient également à l’obtention d’une formulation analytique relativement simple de la réponse d’un oscillateur soumis à un processus aléatoire à corrélation exponen- tielle (Ornstein-Uhlenbeck). L’éventail des grandeurs statistiques obtenues est exhaustif et s’étend de la variance de la réponse à l’estimation de ses valeurs extrêmes.
Etant donné que les applications réalistes que nous devons traiter présentent une for- mulation analytique plus compliquée (ne serait-ce que les formes des densités spectrales de Von Karman, Davenport, ...), il ne fait nul doute que les applications moins acadé- miques doivent passer par une approche numérique. Cela signifie donc que les densités spectrales doivent alors être intégrées numériquement pour pouvoir obtenir une expres- sion précise des variances. A cet effet, nous avons présenté une méthode d’intégration particulièrement efficace, basée sur un schéma d’intégration à pas simple mais dont la particularité réside dans la disposition optimale des points d’intégration. Les développe-
2 4 6 8 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 ω ξ Intégr.Num - Variance Dépl. 0 0 0.05 0.05 0.1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.2 0.25 0.25 0.3 0.3 0.350 4 0 350 4 2 4 6 8 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 ω ξ Intégr.Num - Dépl.Ext 9.2519e-018 0.05 0.05 0.1 0.1 0.15 0.15 0 2 0 2 2 4 6 8 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 ω ξ
Intégr.Num - Variance Vit.
0.1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.2 0.25 0.25 0.0.350.430 45 0.30.350 40 45 2 4 6 8 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 ω ξ
Intégr.Num - Variance Acc.
0.1
0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
0.4 0 4
Fig. 3.49 — Erreurs réalisées sur le déplacement, la vitesse et l’accélération obtenus par l’intégration numérique développée (modifiée pour prendre en compte de façon plus pré- cise le comportement inertiel aux hautes fréquences)
ments qui ont mené à l’obtention de la méthode retenue sont assez longs mais en font un algorithme bien réfléchi et étonnamment robuste. La simple connaissance de la fréquence propre de l’oscillateur et de son taux d’amortissement permettent d’obtenir la disposition optimale des points d’intégration.
Il peut être éventuellement intéressant de concéder une certaine précision sur le calcul de l’intégrale à condition d’obtenir une approche numérique plus rapide. C’est ce que conseille l’approximation en bruit blanc généralement appliquée dans le domaine étudié. Cette seconde approche numérique est particulièrement attractive dans la mesure où elle ne nécessite l’estimation des densités spectrales que pour deux seules valeurs (dont la variance en réalité). En outre, l’approche analytique que nous avons donnée au premier paragraphe nous a permis d’élaborer une troisième approche numérique. Celle-ci consiste à remplacer la sollicitation appliquée, non plus par un bruit blanc, mais bien par un processus à corrélation exponentielle. Nous disposons donc ainsi de deux paramètres et non plus un seul pour représenter le mieux possible la sollicitation appliquée. Cette méthode ne demande pas d’effort supplémentaire par rapport à l’approximation en bruit blanc et fournit des résultats légèrement plus précis. Nous avons également mentionné une quatrième approche numérique qui consiste à remplacer la densité spectrale de la sollicitation par une succession de fonctions-impulsions. Cette méthode est intermédiaire entre les deux extrêmes numériques présentés, tant du point de vue de la philosophie que de la précision et de la rapidité offertes.
Dans un ultime paragraphe, nous avons réalisé une étude comparative des précisions offertes par chacune de ces méthodes. Il nous semble qu’au terme de ce premier chapitre, les interprétations physiques (voire topologiques) de chacune des méthodes présentées
Approche fréquentielle exacte
"Il est prouvé que fêter les anniversaires est bon pour la santé. Les statistiques montrent que les personnes qui en fêtent le plus deviennent les plus vieilles."
S. DEN HARTOG, Ph D. Thesis Universtity of Groningen
4.1
Introduction
Pour rappel, après avoir supprimé les termes d’excitation paramétrique et d’amor- tissement non linéaire (que nous traiterons, vu leur caractère assez spécifique dans un chapitre ultérieur), la forme de l’équation du mouvement se réduisait à :
¨
x (t) + 2ωξ ˙x (t) + ω2x (t) = γ£U + u (t)¯ ¤2 (4.1) où ξ = C+ρCdA ¯U
2√KM regroupe l’amortissement structurel et la partie visqueuse de l’amor-
tissement aérodynamique. ¯U et u (t) représentent respectivement la vitesse moyenne du vent et la composante turbulente. Dans le contexte de la théorie des signaux et des sys- tèmes, le système caractérisé par la relation 4.1 est non linéaire dans la mesure où l’entrée du système u (t) est élevée au carré avant d’être introduite dans le filtre linéaire de se- cond ordre. Au chapitre précédent, nous avons appliqué une linéarisation stochastique, ce qui a permis de rendre linéaire l’entièreté de ce système. La solution consistait in fine à supprimer le terme en u2(t).
La connaissance des caractéristiques statistiques du processus aléatoire u2(t) semble être la seule étape différente de la résolution. En effet, étant donné que la structure étudiée est toujours linéaire, la méthode d’analyse au second ordre, basée sur les densités spectrales, que nous avons présentée au chapitre précédent est toujours d’application. La seule difficulté consistera en l’établissement de la densité spectrale associée au terme supplémentaire de la sollicitation u2(t).
Le nouveau processus aléatoire de sollicitation γ£U + u (t)¯ ¤2 est obtenu en élevant au carré un processus aléatoire gaussien et ne possède donc plus cette caractéristique avantageuse. Nous verrons également que des développements supplémentaires sont né- cessaires pour pouvoir déterminer les caractéristiques d’ordres supérieurs de la réponse (qui est donc aussi non gaussienne).
Afin de simplifier les interprétations physiques mais surtout afin de cerner l’entièreté des comportements que l’on pourrait rencontrer, nous allons dans un premier temps mener des développements analytiques, en supposant que la composante turbulente du vent peut être caractérisée par un processus aléatoire à corrélation exponentielle. Pour rappel, ce processus est le processus autorégressif le plus simple qui soit ; il est obtenu par le filtre suivant :
du (t)
dt = −αu (t) + σu √
2αdB(t)
dt (4.2)
Après cette première approche analytique, nous présenterons des méthodes numé- riques, similaires aux quatre méthodes numériques présentées au chapitre précédent, qui permettrons d’établir les caractéristiques d’ordre 3 et plus des réponses de structures soumises à des densités spectrales de sollicitation quelconques.
On peut comprendre dès à présent que le terme qui est responsable de la non gaus- sianité de la sollicitation est le terme de chargement quadratique (terme en u2(t)). La
réponse de la structure sera donc également d’autant moins gaussienne que ce terme de chargement est important. En termes statistiques, ceci s’exprime par le fait que l’écart type de la composante turbulente du vent σu est grand vis-à-vis de la vitesse moyenne
¯
U . Il n’est donc pas illogique de retrouver, tout au long de ce chapitre, l’intensité de la turbulence, définie par Iu= σu/ ¯U , comme un des paramètres les plus importants.
Avant de nous plonger directement dans les mathématiques de la dynamique des phénomènes non gaussiens, nous allons d’abord présenter quelques notions élémentaires concernant les moments de variables aléatoires et puis les fonctions moments des pro- cessus aléatoires. A la suite de ces deux paragraphes, nous serons en mesure d’aborder l’étude des caractéristiques (en termes de fonctions moments) d’ordres supérieurs de la réponse d’une structure soumise à une sollicitation non gaussienne.