B.1- Le seuil de transparence, phénomène de réabsorption
Dans un schéma électronique quasi-trois niveaux, le niveau bas de la transition laser correspond à un niveau d’énergie très proche du fondamental. A température ambiante, de part les lois statistiques, le niveau fondamental et les niveaux d’énergie proches du fondamental sont peuplés thermiquement. Dans de telles conditions, les photons laser peuvent être réabsorbés permettant d’exciter les électrons du niveau bas de la transition laser vers le niveau haut de la transition laser. On parle alors du phénomène de réabsorption. Un schéma quasi-trois niveaux, représentatif de l’ion ytterbium Yb dans le cadre de nos travaux, est schématisé Figure Annexe B.1.
Figure Annexe.B.1: Schéma électronique quasi-trois niveaux de l’ion ytterbium
Pour s’affranchir du phénomène de réabsorption, il faut apporter une certaine intensité de pompe, appelé intensité de transparence. Pour des intensités supérieures à l’intensité de transparence, le cristal laser devient transparent et apporte du gain à la longueur d’onde laser et donc participe au rayonnement laser. Il est possible de définir l’intensité de transparence d’un cristal laser dopé ytterbium Itrans.
Pour cela, il faut chercher les expressions des populations en régime stationnaire des deux niveaux de la transition laser. Les évolutions temporelles des populations du niveau bas de la
transition laser N1 et du niveau haut de la transition laser N2 s’expriment de la manière
suivante :
(B.1)
où σep, σel, σap et σal sont respectivement les sections efficaces d’émission de la pompe et du
laser et les sections efficaces d’absorption de la pompe et du laser, Ip et Il les intensités de
pompe et intracavité laser et τ le temps de vie du niveau haut de la transition laser. En utilisant le principe que ce système étudié est un système fermé, à savoir N1+N2=N, l’inversion de
population β a pour expression :
(B.2)
où Ilsat et Ipsat sont les intensités de saturation de l’onde de pompe et de l’onde laser. Ils ont
pour expressions :
(B.3)
L’évolution de l’intensité de l’onde laser suivant les axes radial r et de propagation z laser
dIl(r,z)/dz = gl(r,z).Il(r,z) permet de définir le gain linéique qui s’écrit de la manière suivante :
(B.4)
où σg est une section efficace de gain. A partir de cette expression, on peut définir l’intensité
nécessaire pour rendre transparent le milieu. Pour cela, il faut chercher l’expression de Ip
lorsque la section efficace de gain est nulle pour une intensité laser nulle. L’intensité de transparence Itrans s’écrit comme suit :
(B.5)
En résumé, il faut donner une intensité de pompe supérieure à l’intensité de transparence pour éviter les problèmes de réabsorption et commencer à avoir du gain à la longueur d’onde laser. De plus, il faut conserver une intensité de pompe supérieure à l’intensité de transparence sur toute la longueur du cristal pour éviter les problèmes de réabsorption à la longueur d’onde laser à la fin du cristal laser. Finalement, il faut faire particulièrement attention aux fortes absorptions au début du cristal laser. La pompe est alors intégralement absorbée au début du cristal laser et il n’est plus possible de rendre transparent la fin du cristal laser. Des problèmes de réabsorption à la longueur d’onde laser sont dans ces conditions inévitables à la fin du cristal laser.
B.2- La saturation d’absorption
Pour décrire la saturation d’absorption, il faut s’intéresser à l’évolution de la pompe Ip(r,z)
dans le cristal suivant les axes radial r et de propagation z :
(B.6)
où αp(r,z) est le coefficient d’absorption de la pompe suivant les axes r et z. En l’absence
d’effet laser, l’évolution de la pompe peut s’écrire comme suit :
(B.7)
où αNS = σap.N est le coefficient d’absorption non saturé à la longueur d’onde de pompe. Pour
réaliser cette mesure, il suffit d’atténuer significativement la puissance de pompe et mesurer ainsi le coefficient d’absorption du cristal.
Par contre, en présence de l’effet laser, il faut tenir compte que l’émission laser va permettre un débit de désexcitations d’électrons du niveau haut vers le niveau bas de la transition laser. L’évolution de l’intensité de la pompe a alors l’expression suivante :
(B.8)
où αl
NS = σal.N est le coefficient d’absorption non saturée à la longueur d’onde laser. Le débit
supplémentaire responsable du dépeuplement du niveau haut de la transition laser est pris en compte dans l’expression (B.8). Ce débit permet une « désaturation » de l’absorption.
En remplaçant αl
NS = σal.N = σal. αNS /σap et l’expression de Itrans, l’équation (A.8) peut alors
prendre la forme suivante :
(B.9)
B.3- Simulation numérique sous mathematica
Pour faire des calculs de la puissance de pompe absorbée par le cristal par simulation numérique, nous avons fractionné le cristal en N tranches fines d’épaisseur dz. On calcule
alors l’absorption dans une première tranche grâce à l’équation (B.9) et ainsi de suite. On peut alors savoir la puissance incidente sur la tranche suivante en tenant compte bien entendu de la divergence du faisceau de pompe. Ainsi de suite, il est possible de savoir la valeur de la puissance absorbée par le cristal laser et calculer le dP(z)/dz en z = 0 grâce à la formule suivante :
(B.10)
où αp est le coefficient tenant compte de la saturation d’absorption en l’absence d’effet laser,