Pour éviter le phénomène de réabsorption à la longueur d’onde laser, nous sommes contraints de focaliser longitudinalement la pompe sur de petits diamètres. Un échauffement du cristal laser se crée alors à l’endroit même de la focalisation avec des contraintes thermiques fortes et de très forts gradients de température. Il faut impérativement que le cristal laser ait la capacité d’évacuer rapidement cette chaleur. La conductivité thermique apparaît alors comme le paramètre thermique le plus pertinent.
1.2.2.1- Définition de la conductivité thermique
La conductivité thermique κc est une quantification de la conduction de la chaleur à l’intérieur
du cristal laser. Les phonons (ou modes vibratoires du réseau cristallin) véhiculent la chaleur en se propageant dans la matrice cristalline. La conductivité thermique est un paramètre très important pour le développement de laser de puissance. En effet, elle montre la faculté du cristal laser à évacuer la chaleur. Plus la valeur de la conductivité thermique est élevée, plus l’échauffement thermique du cristal laser sera faible. L’échauffement entraîne des baisses d’efficacité laser, une déstabilisation de la cavité laser par la lentille thermique engendrée dans le cristal, des déformations du mode laser et à l'extrême la fracture du cristal laser. Les conséquences et les quantifications de ces effets thermiques seront étudiées et détaillées dans le chapitre 2.
On se rend compte que si le matériau présente un degré très élevé de désordre comme les matériaux amorphes, les phonons auront de grandes difficultés à se propager, ce qui diminue fortement la conductivité thermique. Par exemple, la conductivité thermique est inférieure à 1 W.m-1.K-1 pour le verre non dopé. Dans le cas contraire, une structure très organisée comme le YAG non dopé présente une valeur de la conductivité thermique de 10,7 W.m-1.K-1. On remarque alors de suite qu’il sera difficile pour un cristal laser de présenter non seulement un
spectre très large mais également une excellente conductivité thermique. Il faudra un compromis entre ces critères dans le choix du cristal laser.
Le choix d’un cristal avec une bonne conductivité thermique lorsqu’il est non dopé est un premier critère important à prendre en compte mais ce n’est pas le seul. En effet, précédemment, nous avons noté que la substitution des ions de la matrice cristalline par les ions dopants est à l’origine de l’apparition de désordre structural au sein du cristal laser dopé. Pour un cristal laser non dopé présentant déjà un grand degré de désordre, l’introduction supplémentaire n’aura pas énormément d’influence sur la valeur de la conductivité thermique déjà très basse. Par contre, introduire du désordre dans une matrice ordonnée aura pour conséquence de faire décroître de manière significative la valeur de la conductivité thermique. Il paraît alors évident que plus le taux de dopage est important, plus la valeur de la conductivité thermique diminuera. Ce critère est important et aussi à prendre en compte dans le choix du cristal. Quelle est alors l’évolution de la conductivité thermique en fonction du taux de dopage du cristal laser ? Comment estimer la baisse de la conductivité thermique en dopant le cristal? Pour cela une modélisation mathématique devient nécessaire.
1.2.2.2- Conductivité thermique et concentration du dopage
Durant ses travaux de thèse, R. Gaumé [Gaumé 03] s’est particulièrement intéressé à l’évolution de la valeur de la conductivité thermique en fonction du taux de dopage du cristal laser. La conductivité thermique, d’après l’expression simplifiée du modèle de P.G. Klemens [Klemens 60], s’écrit de la manière suivante3 :
κc= 1 π .a. 2.k B.ν.κ0 δ .A tanπ .a. κ0.δ 2.kB.ν (1.2) avec : δ = c i Mi− M M i
∑
2 M= c i.Mi a= 2. 3.Vm 4.π .Z.N 1 / 3 i∑
où a représente la distance moyenne entre proches voisins, kB la constante de Boltzmann, ν4 la
vitesse de son dans le cristal laser (c'est-à-dire les phonons), κo la valeur de la conductivité
thermique pour le cristal laser étudié non dopé, Vm le volume de la maille cristalline, Z le
nombre d’unités formulaires par maille cristalline, N le nombre d’atomes par unité formulaire. δ désigne la variance de la masse moyenne M des sites de substitutions où l’ion ytterbium vient se greffer avec une probabilité ci d’être occupé par un ion i de masse Mi.
Les évolutions de la conductivité thermique ont été tracées sur la Figure 1.6 en fonction du taux de substitution en ions ytterbium pour deux cristaux laser connus qui sont deux grenats très similaires: le cristal laser Yb:YAG et le cristal laser Yb:GGG (Gd3Ga5O12).
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Attention cette équation de la conductivité thermique ne reste qu’une tendance de l’évolution de la conductivité thermique et ne donne qu’une estimation de la valeur de la conductivité thermique.
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Des grandes incertitudes existent sur la valeur de la vitesse du son. Dans un contexte d’analyse des propriétés thermiques-structurales, la connaissance exacte de la valeur n’est pas cruciale. Une valeur moyenne de 7000 ms-
Immédiatement, nous remarquons que la baisse de la conductivité thermique n’est pas la même suivant les différents cristaux laser dopés en ions ytterbium. En effet, la différence de conductivité entre des échantillons non dopé et dopé à 5 % est de seulement 0,5 W.m-1.K-1 pour le cristal Yb:GGG alors que la différence vaut 4 W.m-1.K-1 pour le cristal pour le cristal Yb:YAG. De plus, on constate également que la conductivité thermique non dopé est plus importante pour le YAG que pour le GGG. Mais à partir d’une substitution proche de 4 % en ions ytterbium, la conductivité thermique du Yb:GGG devient plus élevée que celle du Yb:YAG.
Figure 1.6: Evolution de la conductivité thermique en fonction de taux de substitution en ions ytterbium pour le Yb:YAG et le Yb:GGG
Comment peut-on avoir une si grande différence d’évolution de la conductivité thermique entre ces deux grenats. En regardant l’équation (1.2), un seul terme tient compte de la présence des ions de la matrice hôte. Ce terme est le terme de variance de la masse moyenne
δ, proportionnel à la différence entre la masse de l’ion dopant et la masse de l’ion substitué. Pour minimiser au mieux la chute de la conductivité thermique, il faut en conséquent réduire la différence de masse entre les ions substituant et substitués5.
Le tableau 1.2 donne quelques exemples d’ions substitués par l’ion ytterbium ainsi que leur variation de masse. On constate que la variation de masse est beaucoup plus faible pour l’ion gadolinium que pour l’ion yttrium. Cette grande différence de variation de masse nous explique la chute plus brutale pour la conductivité thermique pour le cristal laser Yb:YAG comparée à celle du cristal laser Yb:GGG.
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Ce modèle de la conductivité thermique et ces remarques ne sont pas seulement attribuables à l’ion ytterbium mais s’appliquent également aux autres ions dopants comme le néodyme, l’erbium, le thulium…
Ion masse molaire de l’ion variation de masse / Yb Ytterbium -Yb 173,04 - Yttrium -Y 88,91 49 % Lutécium - Lu 174,967 1 % Gadolinium - Gd 157,25 9 % Scandium -Sc 44,95 74 %
Tableau 1.2: Rappel de la masse molaire de l’ion ytterbium et quelques exemples d’ions substitués ainsi que la différence de masse entre les ions substituant et substitué
1.2.2.3- Conclusion
Pour conclure, la conductivité thermique est un autre critère important pour les lasers de puissance et donc les lasers femtosecondes de puissance. Un cristal laser à la structure simple et ordonnée présente, s'il n'est pas dopé, des valeurs élevées pour la conductivité thermique. Cependant, le dopage en ions ytterbium introduit inévitablement du désordre au sein de la matrice. Ce dopage n’a que peu d’influence pour une matrice désordonné initialement. Par contre, pour un cristal laser non dopé présentant une bonne conductivité thermique, cette dernière décroit en fonction du taux de dopage. Pour minimiser cette chute de la conductivité thermique, une faible différence de masse entre les ions substitués et substituants quels que soient le dopant et la matrice cristalline permet l’association dopage et bonne conductivité thermique.
Après avoir discuté des trois principaux critères d’un cristal laser dopé ytterbium pour des sources laser femtosecondes, intéressons nous à la possibilité de cumuler justement ces trois critères de sélection au sein d’une même matrice hôte cristalline.