Une exposition réconciliatrice

O tratamento de problemas aeroel´asticos por meio de abordagens computacionais est´a sendo recentemente denominado de Aeroelasticidade Computacional. Um modelo t´ıpico da aeroelasticidade computacional ´e formado pelo acoplamento dos modelos dinˆamico-estrutural e de aerodinˆamica n˜ao estacion´aria.

No contexto de problemas da Aeroelasticidade Computacional, s˜ao encontrados trabalhos que envolvem os sistemas aeroel´asticos formados por modelos estruturais e aerodinˆamicos line- ares. Em Bendiksen e Friedmann (1980) foi obtida a resposta aeroel´astica com o acoplamento da soluc¸˜ao linear para escoamento incompress´ıvel n˜ao estacion´ario com um modelo estutural de sec¸˜ao t´ıpica com deslocamentos verticais e torcionais. Os resultados mostraram o acoplamento entre os dois graus de liberdade na fronteira de ocorrˆencia do flutter.

Com os avanc¸os nas t´ecnicas num´ericas e eficiˆencia dos computadores modernos, os pro- blemas aeroel´asticos assumem, com grande frequˆencia, modelos estruturais lineare e modelos aerodinˆamicos n˜ao lineares, e os fenˆomenos envolvidos nas respostas s˜ao associados ao tipo de escoamento em quest˜ao. Bennett e Edwards (1998) tratam do desenvolvimento em aeroelastici- dade computacional com ˆenfase nos modelos para o regime transˆonico. Dos primeiros c´alculos aerodinˆamicos `as mais recentes aplicac¸˜oes das equac¸˜oes de Euler e Navier-Stokes, o campo da aeroelasticidade computacional transˆonica vem progredindo rapidamente. O estado da arte em m´etodos de CFD, que tratam das soluc¸˜oes das equac¸˜oes de Euler para an´alise aeroel´astica transˆonica, indica que as ondas de choque na superf´ıcie da estrutura induzem os fenˆomenos n˜ao lineares que levam `as oscilac¸˜oes em ciclos limite (KOUSEN; BENDIKSEN, 1994). Identificar ciclos limite em regime transˆonico ´e o objetivo de muitos trabalhos como Alonso e Jameson (1994), Sedaghat, Cooper e Wright (2000), Kholodar et al. (2002), Thomas, Dowell e Hall (2002) e Kholodar et al. (2003). Estes trabalhos tratam do acoplamento entre o c´odigo aero- dinˆamico n˜ao estacion´ario, com a soluc¸˜ao das equac¸˜oes de Euler, com modelos estruturais que utilizam uma sec¸˜ao t´ıpica com dois graus de liberdade.

se preocupam em identificar fenˆomenos n˜ao lineares acrescentando n˜ao linearidades estrutu- rais (THOMAS; DOWELL; HALL, 2001). Em Borland e Rizzetta (1982) s˜ao identificadas oscilac¸˜oes em ciclos limite com modelo estrutural n˜ao linear em regime transˆonico, atrav´es da integrac¸˜ao no tempo do sistema aeroel´astico pelo m´etodo de Runge-Kutta. Nesse processo, s˜ao combinados os m´etodos de CFD n˜ao estacion´arios e t´ecnicas de movimento de malhas com as equac¸˜oes estruturais na forma de vari´aveis de estado. Yoo, Park e Han (2005) utiliza a an´alise de integrac¸˜ao no tempo para estudo do comportamento aeroel´astico de uma asa com modelo estrutural n˜ao linear dado pelo free-play no modo de torc¸˜ao e em regime transˆonico utilizando a formulac¸˜ao aerodinˆamica baseadas nas equac¸˜oes de pequenas perturbac¸˜oes.

Em uma simulac¸˜ao aeroel´astica t´ıpica, com m´etodos de integrac¸˜ao no tempo, a soluc¸˜ao do problema aerodinˆamico n˜ao estacion´ario deve, para cada passo no tempo, promover uma nova distribuic¸˜ao dos elementos de discretizac¸˜ao do escoamento. Neste processo ´e necess´ario uma rotina que permita o movimento dinˆamico da malha para acomodar a informac¸˜ao da deformac¸˜ao estrutural associada. Soma-se a isso a necessidade da organizac¸˜ao e armazenamento de uma enorme quantidade de dados. Por esta raz˜ao, m´etodos de marcha no tempo requerem um alto custo computacional para problemas que envolvem m´etodos de CFD em modelos da Aeroelas- ticidade Computacional (CHEN et al., 2004; ALONSO; JAMESON, 1994; LIU et al., 2001; BAE; YANG; LEE, 2002). Dowell e Tang (2002b) e Doi (2002) afirmam que, com os avanc¸os dos computadores modernos e das t´ecnicas em aerodinˆamica para minimizar os custos dos c´alculos dos c´odigos de CFD n˜ao estacion´arios, as metodologias de marcha no tempo tem ga- nhado destaque nas pesquisas em aeroelasticidade por oferecer um estudo completo do com- portamento do sistema.

Muitos esforc¸os tamb´em se concentram em obter outras formas de estudar o comportamento aeroel´astico, como o c´alculo da fronteira de flutter tentando evitar as soluc¸˜oes em marcha no tempo. Uma das alternativas apresentada por Dowell e Hall (2001) ´e a t´ecnica que calcula o comportamento aeroel´astico n˜ao estacion´ario com n´umero de modos relativamente reduzido, levando a modelos de ordem reduzida (LUCIA; BERAN; KING, 2003; THOMAS; DOWELL; HALL, 2001).

Munteanu et al. (2005) utilizam um modelo de ordem reduzida baseado na teoria das s´eries de Volterra para um modelo aeroel´astico com n˜ao linearidade no modelo estrututral em escoamentos subsˆonico e transˆonico. Esta metodologia foi aplicada ao perfil aerodinˆamico NACA0012 com n˜ao linearidades do tipo free-play nos dois graus de liberdade dados pelos deslocamentos vertical e de arfagem. Em Lieu e Fahat (2007), an´alises aeroel´asticas utilizando um modelo de ordem reduzida foram realizadas, atrav´es de um m´etodo de decomposic¸˜ao orto- gonal apropriado, para uma configurac¸˜ao completa da aeronave F-16 em regime de escoamento transˆonico.

Na literatura, s˜ao denominados tamb´em de modelos de ordem reduzidas algumas an´alises que tratam a aproximac¸˜ao dos coeficientes de influˆencia aerodinˆamicos no dom´ınio da fre- quˆencia. Neste contexto, um grande avanc¸o foi atingido no sentido da diminuic¸˜ao do custo computacional, com a utilizac¸˜ao do chamado m´etodo indicial ou impulsivo. Nesses m´etodos, os elementos da matriz dos coeficientes de influˆencia aerodinˆamicos s˜ao calculados, no dom´ınio da frequˆencia, a partir da resposta do escoamento a um deslocamento indicial ou impulsivo. Sendo assim, o n´umero de c´alculos aerodinˆamicos, para uma determinada condic¸˜ao de vˆoo, fica limitado ao n´umero de modos estruturais de interesse para obtenc¸˜ao da fronteira de flutter em escoamento transˆonico como foi discutido em Oliveira (1993), Marques e Azevedo (2007) e Lai e Tsai (2007).

Um outro caminho proposto por Morton e Beran (1999) ´e utilizar t´ecnicas da teoria de sis- temas dinˆamicos para caracterizar a natureza das instabilidades e usar esta informac¸˜ao adicional com os m´etodos de CFD. O fenˆomeno de flutter ´e tratado pela teoria linear como um problema de instabilidade aeroel´astica, j´a na an´alise n˜ao linear, este fenˆomeno ´e classificado por uma bifurcac¸˜ao de Hopf. Em outras palavras, o in´ıcio do flutter ´e caracterizado pela transic¸˜ao de uma soluc¸˜ao de ponto de equil´ıbrio est´avel para uma soluc¸˜ao oscilat´oria com amplitudes finitas, sobre a influˆencia de algum parˆametro do sistema.

Esta caracterizac¸˜ao da metodologia de bifurcac¸˜ao de Hopf que ´e identificada pela an´alise da matriz jacobiana do sistema linear associado ao sistema aeroel´astico n˜ao linear que possui um

par conjugado de autovalores imagin´ario puro foi tamb´em utilizada em Badcock, Woodgate e Richards (2004) com uma melhor aproximac¸˜ao dos termos da matriz jacobiana. A metodologia de bifurcac¸˜ao de Hopf comec¸ou a ser aplicada a escoamentos em regime transˆonico, descri- tos pelas equac¸˜oes de Euler, em Morton (1996) para um modelo estrutural com dois graus de liberdade dado por uma sec¸˜ao t´ıpica e, recentemente, tem sido aperfeic¸ada para tratar proble- mas em trˆes dimens˜oes por Badcock, Woodgate e Richards (2005). Com esta metodologia foi poss´ıvel obter a fronteira completa do flutter para um modelo linear de asa sim´etrica com custos computacionais bastante reduzidos.

Considerando as n˜ao linearidades estruturais em escoamentos transˆonicos observa-se a cres- cente preocupac¸˜ao da an´alise dos fenˆomenos n˜ao lineares envolvidos em aeroelasticidade n˜ao somente visando o c´alculo da fronteira de ocorrˆencia de flutter. A teoria de sistemas dinˆamicos n˜ao lineares oferece uma classe de m´etodos num´ericos para a classificac¸˜ao e an´alise de es- tabilidade de sistemas dinˆamicos (SEYDEL, 1994; DOWELL; VIRGIN, 1992; CASTILHO, 2004). M´etodos conhecidos como continuac¸˜ao num´erica de soluc¸˜oes s˜ao utilizados para a construc¸˜ao do diagrama de bifurcac¸˜ao de um sistema dinˆamico. Beran e Morton (1997) utili- zam os princ´ıpios dos m´etodos de continuac¸˜ao num´erica em regime transˆonico. O diagrama de bifurcac¸˜ao fornece o comportamento do sistema de acordo com a variac¸˜ao de um determinado parˆametro. Allgower e Georg (1990), Doedel et al. (1986), Dhooge et al. (2003) e Cummings (2004) descrevem esta classe de m´etodos em aplicac¸˜oes na dinˆamica de vˆoo de aeronaves e para problemas aeroel´asticos em geral.

Outra t´ecnica de sistemas dinˆamicos recentemente utilizada para analisar o comportamento aeroel´astico ´e a t´ecnica de centre manifold. Esta t´ecnica ´e aplicada para reduzir o sistema aeroel´astico original com n graus de liberdade para um sistema com dois graus de liberdade pr´oximo ao ponto de bifurcac¸˜ao. O modelo de ordem reduzida, atrav´es do teorema de cen- tre manifold, pode ser utilizado para explorar o comportamento das soluc¸˜oes convergentes e oscilac¸˜oes em ciclos limite de sistemas aeroel´asticos. Assim sendo, Lui, Wong e Lee (2000) uti- lizam essas t´ecnica em um sistema aeroel´astico com n˜ao linearidade estrutrural do tipo c´ubica para investigar as oscilac¸˜oes em ciclos limites pr´oximas `a ocorrˆencia de bifurcac¸˜ao de Hopf.

Woodgate e Badcock (2006) e Badcock e Woodgate (2007) aplicam a t´ecnica de centre ma- nifold para analisar as oscilac¸˜oes em ciclos limite em regime de escoamento transˆonico em um modelo estrutural linear dado por uma sec¸˜ao t´ıpica. A caracter´ıstica mais interessante da utilizac¸˜ao desta t´ecnica ´e o c´alculo do comportamento do sistema aeroel´astico com um n´umero relativamente reduzido de dimens˜ao original do sistema sem perda de precis˜ao na soluc¸˜ao.

O desenvolvimento da Aeroelasticidade Computacional est´a atrelada tamb´em `a disponibi- lizac¸˜ao de resultados experimentais para verificac¸˜ao dos programas. Existe um interesse muito grande em estudos aeroel´asticos em vˆoo transˆonico, j´a que nesse regime tende a ocorrer um m´ınimo na press˜ao dinˆamica de flutter (depress˜ao transˆonica de flutter). S˜ao poucos os resulta- dos experimentais publicados contendo todos os dados necess´arios para a simulac¸˜ao computa- cional de flutter transˆonico.

Existe uma concentrac¸˜ao de esforc¸os em experimentos de flutter transˆonico, com publicac¸˜ao de dados, no centro Langley da NASA (YATES; LAND; FOUGHNER, 1963; SANDFORD; RUHLIN; ABEL, 1974; SANDFORD; SEYDEL; ECKSTROM, 1989). Uma excec¸˜ao not´avel ´e o National Aerospace Laboratory (NLR) na Holanda que tem um n´umero bastante grande de publicac¸˜oes sobre ensaios transˆonicos em t´unel de vento. As publicac¸˜oes do NLR, no entanto, n˜ao incluem dados para simulac¸˜ao computacional de flutter transˆonico. O n´umero reduzido de t´uneis de vento transˆonicos existentes no mundo, o custo associado com os ensaios e, muitas vezes, a prioridade da utilizac¸˜ao industrial limitam bastante a publicac¸˜ao de dados em aeroelas- ticidade transˆonica.