Exponentielles d’endomorphismes, de matrices

Tout ceci s’applique à l’algèbre de Banach LLLL(E) des endomorphismes continus d’un espace de Banach E, pour la norme subordonnée ||| u ||| .

En particulier, si E est un C-espace de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes et tous les endomorphismes de E sont continus. L’algèbre LLLL(E) des endomorphismes de E peut être munie d’autant de structures d’algèbres de Banach qu’il y a de normes sur E.

Si l’on identifie LLLL_(Cⁿ_{) à Mn}(C), on voit que M_n(C) est muni d’autant de structures d’algèbres de Banach qu’il y a de normes sur Cⁿ. En particulier, si Cⁿ est muni des deux normes ||x||_∞ et ||x||₁, la matrice A = (aij^{) ∈ Mn}(C) a pour normes :

||| A |||_∞ = max

1≤i≤n

∑

= n

j

aij 1

et ||| A |||

1 = max

1≤j≤n

∑

= n

i

aij 1

. A ces normes usuelles s’ajoute la norme ||| A |||

2 subordonnée à la norme hermitienne standard de Cⁿ, qui est étudiée dans le chapitre sur les espaces hermitiens.

Ces normes sont équivalentes. La suite A_k = (aij^k) de matrices de M_n(C) tend vers la matrice A = (aij) ssi, pour tout couple (i, j), la suite (aij^k)_k tend vers aij.

Méthodes pratiques de calcul de l’exponentielle.

1) Si les puissances de A montrent une périodicité, on peut éviter de réduire A.

2) Lorsque A est diagonalisable dans M_n(C), ∃P ∈ Gl_n(C) P⁻¹.A.P = diag(λ1, λ2, …, λn).

Alors P⁻¹.exp(A).P = diag( exp λ₁ , exp λ₂ , … , exp λn ).

Remarque : On peut aussi dire que si A =

∑

= r

i i iP

1

λ. est la décomposition de A à l’aide des projecteurs propres, exp A =

∑

= r

i

i

i P

1

).

exp(λ . Rappelons que les P_i sont les polynômes de Lagrange évalués en A.

3) Dans le cas général, A est trigonalisable : ∃P ∈ Gln(C) P⁻¹.A.P = T, trigonale supérieure.

Alors P⁻¹.exp(A).P = exp(T). Cela a une conséquence théorique : Proposition 4 : Le spectre de exp A est l’image par exp du spectre de A.

Corollaire : det(exp A) = exp(tr A).

Cependant, il n’est pas facile de calculer l’exponentielle d’une matrice trigonale supérieure générale, car elle s’écrit naturellement T = D + N, D diagonale, N nilpotente, mais D et N ne commutent pas, de sorte qu’on n’a pas exp T = exp D. exp N. Cette même difficulté avait été rencontrée lors du calcul des puissances de A.

Il faut donc recourir à des outils plus puissants que la trigonalisation simple :

• La forme trigonale supérieure réduite, qui passe par la détermination des sous-espaces carac-téristiques, convient bien, puisqu’elle fournit une (la) décomposition A = D + N, où D est diagonalisable, N nilpotente, D et N commutent.

• La réduction de Jordan décompose A en tableau diagonal de blocs de Jordan, dont l’exponentielle est facile à calculer.

Avec Maple, pour calculer exp(A), taper :

with(linalg) ; ouvre le package d’algèbre linéaire A := matrix(n, n, […]) ; entre la matrice

exponential(A) ; affiche l’exponentielle de A

exponential(A, t) ; affiche l’exponentielle de t.A 7.3. Exponentielles de matrices et systèmes différentiels.

Proposition 5 : Le système différentiel linéaire homogène à coefficients constants : X'(t) = A.X(t) , où A ∈ M_n(C) (1) a pour solution générale : X(t) = exp(t.A).X(0) (∀t ∈ R) (2) ou encore : X(t) = exp((t − t0).A).X(t₀) (∀t ∈ R) (3)

Preuve : Cela se montre par variation des constantes, i.e. en cherchant X(t) sous la forme : X(t) = exp(t.A).C(t) ,

On a : X’(t) = A.exp(t.A).C(t) + exp(t.A).C’(t) = A.X(t) + exp(t.A).C’(t).

Comme l’exponentelle est inversible, (1) ⇔ exp(t.A).C’(t) = 0 ⇔ C’(t) = 0 ⇔ C(t) = cste.

Cette méthode de variation des constantes permet également de résoudre :

X'(t) = A.X(t) + b(t) (4)

où b est une fonction continue I → C (I intervalle de R).

Posons X(t) = exp(t.A).C(t). On a X’(t) = A.exp(t.A).C(t) + exp(t.A).C’(t) = A.X(t) + exp(t.A).C’(t).

Alors (4) ⇔ exp(t.A).C’(t) = b(t) ⇔ C’(t) = exp(−t.A).b(t) ⇔ C(t) =

∫

^{exp(−t.A).b(t).dt ,}

formule que l’on peut préciser si l’on introduit une condition initiale.

Les exponentielles de matrices fournissent donc une expression analytique exacte des solutions de (1) et (4). Cette expression n’est pas indispensable : on peut résoudre un système différentiel sans recourir aux exponentielles de matrices, par réduction directe de A.

_________

Exercices et problèmes

Exercice 1 : Calculer les exponentielles de J =

 On évitera de diagonaliser les matrices. Intégrer les systèmes différentiels associés.

Exercice 2 : Calculer l’exponentielle de



Exercice 3 : Comparer exp



Exercice 5 : Calculer les exponentielles des matrices suivantes :

Exercice 6 : Calculer l’exponentielle d’un quaternion A = 

 

Exercice 7 : Calculer cos A et sin A, où A =

Application : Montrer que les matrices

 Exercice 12 : Montrer que exp A est un polynôme de A (dépendant de A, bien sûr).

Exercice 13 : 1) Montrer l’équivalence dans M_n(C) : A diagonalisable ⇔ exp A diagonalisable.

[ Indication : utiliser une décomposition de Dunford de A. ] 2) Trouver les matrices A ∈ M_n(C) telles que exp A = I_n . 3) Trouver les matrices A ∈ Mn(R) telles que exp A = I_n . Exercice 14 : Stabilité des solutions d’un système différentiel.

1) Soient E un C-ev de dimension finie m, u ∈ LLLL(E), r = min_λ∈Sp(u) Re λ.

Montrer que : ∃ a ≥ 0 ∀t ≥ 0 ||| e^−t.u ||| ≤ a.( 1 + t^m−1 ).e^−tr .

2) Indiquer une cns pour que toutes les solutions du système différentiel Y’ = A.Y tendent vers 0 quand t tend vers l’infini.

3) Soient A, B, C trois éléments de M_n(C). On suppose que toutes les valeurs propres de A et B ont leurs parties réelles < 0. Montrer que A.M + M.B = O implique M = e^tA.M.e^tB , puis M = O.

Montrer qu’il existe une unique matrice M telle que A.M + M.B = C, et qu’elle est donnée par : M = −

∫

₀^{+∞exp(tA).C.exp(tB).dt.}

Exercice 15 : Soient X, Y ∈ M_n(C). Montrer que X.Y = Y.X ⇔ (∀t ∈ R) e^t.X.e^t.Y = e^t.(X+Y) . Exercice 16 : Soient A, B, C ∈ M_n(C) telles que AB − BA = C , AC = CA et BC = CB.

On définit la fonction f(t) = exp(−t.(A + B)).exp(t.A).exp(t.B).

Montrer que f est C¹ et que f’(t) = exp(−t.(A + B)).ϕ(t).exp(t.A).exp(t.B), où ϕ(t) est à préciser.

En déduire f(t), et conclure que : exp(A + B) = exp B. exp A. exp 2 AB−BA_. Exercice 17: 1) Soit A ∈ Mn(C). Montrer que lim_p→∞ ( I +

A )p ^p = exp A . 2) Soient A, B ∈ Mn(C). Montrer que lim_p→∞ (exp

p A_.exp

B )p ^p = exp (A + B) . et que lim_p→∞ ( exp

p A_.exp

p B _.exp

p

−A_.exp p

−B )^p² = exp (A.B − B.A) .

3) Soit G un sous-groupe fermé de Gl_n(R). Montrer que A = { M ∈ Mn(R) ; ∀t ∈ R exp(t.A) ∈ G}

est un sous-espace de M_n(R). Par quelle autre opération est-il stable ?

Exercice 18 : Montrer que A → exp A de M₂(C) dans Gl₂(C) est surjective et non injective.

Décrire l’image de M₂(R) par l’exponentielle.

Exercice 19 : Montrer que A → exp A de M_n(C) dans Gl_n(C) est surjective et non injective.

[ Indication : Soit B∈Gln(C) ; décomposer B = D + N, D diagonale, N nilpotente, D.N = N.D ; écrire B sous la forme B = D.( I + N’), et substituer N’ à X dans l’identité formelle I + X = exp ln ( I + X). ] Exercice 20 : Soient A et B deux matrices diagonalisables dans M_n(R).

Montrer que exp A = exp B ⇒ A = B

Exercice 21 : Monter que l’application A → exp A induit une bijection continue de l’espace des matrices symétriques (resp. hermitiennes) sur le cône convexe des matrices symétriques (resp.

hermitiennes) définies positives.

Exemple : résoudre l’équation exp A =











 2 1 0

1 2 1

0 1 2

, avec A symétrique réelle.

Exercice 22 : Monter que l’application A → exp(iA) de M_n(C) dans Gl_n(C) induit une surjection continue de l’ensemble des matrices hermitiennes sur l’ensemble des matrices unitaires.

Exercice 23 : Matrices antisymétriques et matrices de rotation.

1) Exponentielles de 

 − 0 0 a

a et













− − − 0 0 0

p q

p r

q r

. Intégrer les systèmes différentiels associés.

2) Montrer que l’exponentielle d’une matrice antisymétrique réelle est une matrice de rotation, et que exp induit une surjection de l’espace vectoriel A_n(R) des matrices antisymétriques réelles d’ordre n sur le groupe compact O_n⁺(R) des matrices de rotation.

Exercice 24 : Soit f : R → Gl_n(R) une fonction de classe C¹ telle que ∀(s, t) ∈ R² f(s + t) = f(s).f(t).

Montrer qu’il existe A ∈ M_n(R) telle que (∀t ∈ R) f(t) = exp(t.A).

Exercice 25 : Soit f : R → M_n(R) une fonction de classe C¹ telle que ∀(s, t) ∈ R² f(s + t) = f(s).f(t).

Montrer qu’il existe P, A ∈ Mn(R) telles que P² = P , P.A = A.P = P et (∀t ∈ R) f(t) = P.exp(t.A).

Problème 1

On se propose d’étudier la suite (f_n) de fonctions définies par : f_n(x) = ( 1 +

n

x₎ⁿ _{pour x ≥−n , f}

n(x) = 0 pour x ≤−n.

1) a) Montrer que la suite (f_n) converge simplement sur R vers une fonction que l’on déterminera.

b) Montrer que (f_n) est une suite croissante de fonctions croissantes. Graphes avec Maple ? 2) a) Etudier les variations de g_n(x) = e^x − fn(x) sur R.

[ On pourra utiliser ∀A, B > 0 , sgn(A − B) = sgn(ln A − ln B). ] b) En déduire max_{x ≤ 0} g_n(x) = g_n(a_n) = −

n a an.exp( n)

≤ n.e

1 , puis que g_n→ 0 uniformément sur toute demi-droite ]−∞, A].

3) On rappelle que a_n ∈ ]−n, −1[ est tel que exp a_n = (1 + n

an )ⁿ⁻¹. On cherche un équivalent des suites (a_n) et (g_n(a_n)). Vérifier qu’en posant a_n = − n.u_n , on a ϕ(u_n) =

n

1 _{, où ϕ(x) = 1 +}

) 1 ln( x

x− ^. Etudier les variations de ϕ sur [0, 1]. Monotonie, limite et équivalent de (u_n) ? Conclusion ?

4) Applications : Trouver lim_n→∞ e dt n

n t

t n. . ) 1

0(

∫

^{+ −}2 ^{, limn→∞}

∫

₀ⁿ⁽¹⁻_n^t)n.t3.dt.

Problème 2

Pour tout α réel, on définit la fonction de variable réelle f_α(x) =

α

_α ) 1 (1

xx ++ _. 1.a) Quel est le domaine de définition commun à toutes les fonctions f_α ? b) Etudier les variations des fonctions f_α .

c) Déterminer les points d’arrêt, ainsi que les tangentes en ces points.

2) Déduire de l’étude précédente les majorations suivantes :

• Si α≥ 1, ∀x ≥ 0 1 + αx ≤ ( 1 + x )^α

• Si 0 ≤α≤ 1, ∀x ≥ 0 ( 1 + x )^α≤ 1 + αx

3) Représenter sur un même graphique les graphes C_α des fonctions f_α pour α = −2 , −1 , − ½ , 0 , ½ , 1 , 2.

4) Etudier la concavité des fonctions.

Quel est le lieu des points d’inflexion ? Etude et représentation de ce lieu.

5) Discuter selon la position du point M(x, y) le nombre des C_α qui passent par M.

Construire le régionnement correspondant.

6) Déterminer l’enveloppe y = ϕ(x) des courbes C_α . Etudier les variations, et représenter le graphe de ϕ.

7) Trouver la partie principale de f_1/2(x) −ϕ(x) quand x → 0.

Problème 3

Soit q un réel > 0. On définit la fonction exp_q x =

∑

^+∞

=₀ 1.(1+ )...(1+ +...+ −¹)

n

n n

q q q

x .

Discuter selon les valeurs de q le domaine de définition de exp_q. Représenter sur un même graphique les fonctions exp_0.5 , exp₁ et exp₂ Quelle est la q-dérivée de exp_q ? Réciproque ?

(On nomme q-dérivée de f la fonction (D_q f)(x) =

x q

x f qx f

) 1 (

) ( )

( −− si q ≠ 1, sa dérivée usuelle si q = 1).

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A little stupid …

Exponentielle et le polynôme x² + 3x + 5 sont sur un bateau. Le polynôme s’affole : « Aie ! Aie ! Aie ! On dérive ! Au secours ! ». Exponentielle répond : « Je m’en fous ! ».

C’est exponentielle à la soirée des fonctions. Tout le monde s’amuse sauf elle. Cosinus vient la voir et lui dit : « Participe ! ». Exponentielle répond : « Bof ! Que je m’intègre ou pas, c’est pareil ! »

The guy gets on a bus and starts threatening everybody : “ I’ll integrate you ! I’ll differentiate you !!! “ So everybody gets scared and runs away. Only one person stays. The guy comes up to him and says : “Aren’t you scared, I’ll integrate you, I’ll differentiate you!!!” And the other guy says :

“No, I am not scared, I am e^x.”

Exponentielle et logarithme vont au repas de classe. Qui est-ce qui paie ? ¹⁴ Bibliographie

L. Chambadal & J.-L. Ovaert : Cours de mathématiques, t. 1, chap. VI (Gauthier-Villars) R. Godement : Analyse mathématique (Springer)

J. Lelong-Ferrand & J.-M. Arnaudiès : Cours de maths, t. 4 (Dunod) J.-M. Arnaudiès & H. Fraysse : Cours de maths, t. 4 (Dunod)

I. Glazman & Y. Lioubitch : Analyse linéaire dans les espaces de dimension finie, p. 124 (Mir) V. Smirnov : Cours de math sup, t. III, p. 317-353 (Mir)

V. Arnol’d : Equations différentielles ordinaires, p. 102-122 (Mir)

14 Réponse : l’exponentielle, parce que le logarithme nepérien…

L. Pontriaguine : Equations différentielles ordinaires, p. 98-157 (Mir) A. Kirillov : Eléments de théorie des représentations, p. 119-122 (Mir) R. Mneimné : Groupes de Lie classiques (Hermann)

A. Delachet : Les logarithmes et leurs applications (Que sais-je n° 850) D. Leborgne : Calcul différentiel complexe (Que sais-je n° 2560) E. Hairer & G. Wanner : L’analyse au fil de l’histoire (Springer 2001)

P.-J. Hormière : Equations fonctionnelles, Notes sur les exponentielles itérées.

Problèmes ESIM 1982, ENS Lyon 1988, Mines-Ponts 1991, Centrale 2001.

B. Rittaud : La peur exponentielle (Puf 2015) L. Adler : Marguerite Duras (Folio)

P. Serraino : Eero Saarinen (Taschen) Encyclopedia Universalis :

Exponentielle, Calcul infinitésimal, Calcul numérique, Séries, Euler, etc.

Benoît Rittaud : Magnifiques logarithmes youtube (cnrs, Audimath)

Dans le document Exponentielles & logarithmes (Page 29-35)