cos z=
Ces quatre séries convergent uniformément sur tout disque de C. On a les formules suivantes ; ch iz = cos z , sh iz = i.sin z , ch z = cos iz , sh z = − i.sh iz
Les applications z → ch z et z → sh z sont continues surjectives de période 2iπ de C dans C.
De plus ch z’ = ch z ⇔ z’ ≡ z mod 2iπ ou z’ ≡ −z mod 2iπ sh z’ = sh z ⇔ z’ ≡ z mod 2iπ ou z’ ≡ iπ− z mod 2iπ Preuve laissée en exercice.
Définition 2 : On définit les fonctions tangente, cotangente, tangente et cotangente hyperboliques par les formules : L’étude de ces fonctions est laissée au lecteur. Il montrera que :
a) tan et cotan sont π-périodiques, th et coth sont iπ-périodiques ;
Exercice 5 : Etudier le représenter avec Maple les courbes de Gomes Teixeira (1897) d’équations respectives :
|
sin(x + i.y)|
= a ,|
sh(x + i.y)|
= a ,|
cos(x + i.y)|
= a ,|
ch(x + i.y)|
= a.Exercice 6 : (Avec Maple). Etudier et représenter les surfaces d’équation :
f(x, y) =
|
sin(x + i.y)|
= sin²x+sh²y et g(x, y) =|
cos(x + i.y)|
= ch²y−sin²x. 6. Introduction au logarithme complexe.De ces obscurités terribles, de ces vides, Les logarithmes sont les pléïades livides ;
Victor Hugo, Toute la Lyre, II, 67 Si l’extension de l’exponentielle au champ complexe ne pose guère de problèmes, et permet d’unifier les trigonométries circulaire et hyperbolique, les tentatives pour étendre le logarithme aux nombres négatifs, puis complexes, furent à l’origine d’une controverse qui opposa les plus grands mathématiciens du début du XVIIIème siècle. Jean Bernoulli admettait leur existence, et s’en servait pour calculer les intégrales
∫
xdx−a, a ∈ C. Il soutenait que Log(−1) = 0, alors que Leibniz pensait qu’il n’était pas réel.6.1. Mise en bouche.
Le logarithme complexe n’est pas au programme de taupe. Les taupins curieux peuvent se contenter de croquer les exercices suivants.
Exercice 1 : Que penser des formules suivantes :
Log(−1) = 0 , car 2.Log(−1) = Log(−1)2 = Log 1 = 0 (Jean Bernoulli) Du coup, Log(−x) = Log x pour tout x réel ≠ 0 ;
Log i = 0 , car 2.Log i = Log(i2) = Log(−1) = 0.
Leibniz soutenait que les logarithmes des nombres négatifs ne peuvent être réels. Qu’en penser ? Exercice 2 : Montrer qu’il n’existe pas de fonction f : C* → C telle que ∀z ∈ C f(exp z) = z.
On pourra également résoudre le problème situé à la fin du chapitre sur les séries entières.
6.2. Arguments et logarithmes : le point de vue d’Euler.
Dès 1728, Euler pressentit qu’il fallait abandonner l’unicité de la détermination si l’on voulait développer une théorie non contradictoire du logarithme complexe. Dans un mémoire de 1749, intitulé De la controverse entre Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires, il expose une théorie complète, en montrant que tout nombre non nul a une infinité de logarithmes.
Définition 1 : Soit z ∈ C*. On appelle :
• logarithme de z tout complexe ζ tel que exp ζ = z ; on note : log z = { ζ ∈ C ; exp ζ = z } • argument de z tout réel θ tel que exp(iθ) =
z
z ; on note : arg z = { θ ∈ R ; exp(iθ) = z z }.
Soit z ∈ C*. Comme θ → exp(iθ) est un morphisme continu surjectif de (R, +) sur (U, ×), de noyau 2πZ, il existe θ0 ∈ arg z, et alors arg z = θ0 + 2πZ.
Soit ζ = x + iy. On voit aussitôt que : exp ζ = z ⇔ x = ln |z| et y ∈ arg z.
Ainsi, log z et arg z sont des fonctions « multivoques », c’est-à-dire pouvant prendre plusieurs valeurs, ou, pour mieux dire, des fonctions C* →P(C).
Proposition 1 : On a arg(z.z’) = arg z + arg z’ et log(z.z’) = log z + log z’ pour tout (z, z’) ∈ C2, en tant que sommes de parties de C.
6.3. Arguments et logarithmes principaux : le point de vue de Cauchy.
Une approche purement ensembliste des arguments et des logarithmes ne rend pas compte de leurs continuités géométriques. Il revint à Cauchy de chercher systématiquement des ouverts maximaux de C sur lesquels on peut inverser l’exponentielle : les « plans fendus » de Cauchy.
Notons L le plan fendu L = C − R−. Définition 2 : Soit z ∈ L. On appelle :
• argument principal de z l’unique élément de arg z ∩ ]−π, π[ ; on le note Arg z ; • logarithme principal de z le complexe Log z = ln |z| + i.Arg z.
Proposition 2 : Si z = x + i.y ∈ U−{−1}, Arg z = 2.Arctan +1 x
y et Log z = 2i.Arctan +1 x
y . Plus généralement si z = x + iy ∈ L,
Arg z = 2.Arctan
²
² y x x
y +
+ et Log z = 2
1.ln( x2 + y2 ) + 2i.Arctan
²
² y x x
y +
+ .
Il résulte de ces formules que la fonction z ∈ L → Arg z ∈ ]−π, π[ est continue, et même C∞, et surjective. De plus, Arg z = Arg z’ ⇔ ∃λ > 0 z’ = λ.z.
Proposition 3 : Le logarithme principal induit un homéomorphisme de L sur ΛΛΛΛ = { u + i.v ; u ∈ R, v
∈ ]−π, π[ }, dont la réciproque est expLΛ. Propriétés du logarithme principal :
a) La demi-droite R*+.exp(i.θ0) (−π < θ0 < π) a pour image la droite R + i.θ0 ;
b) Le cercle épointé { z ; |z| = r, z ≠ r } a pour image l’intervalle vertical ln r + i.]−π, π[ ; c) Log i = − Log(−i) = i
π
2 ;d) Log(z) = Log(z) pour tout z ∈ L ;
e) Log z = Log(−z) + ε.iπ , où ε = sgn(Im z), pour tout z ∈ L−R ; f) Log(z−1) = −Log z pour tout z ∈ L ;
g) La propriété Log(z.z’) = Log(z) + Log(z’) est fausse, car L n’est pas stable par multiplication.
Exercice 5 : Montrer cependant que si Im z.Im z’ ≤ 0, alors Log(z.z’) = Log(z) + Log(z’).
h) Pour tout k ∈ Z, notons ΛΛΛΛk la bande ouverte 2ikπ + ΛΛΛΛ. Alors L
Λk
exp est un homéomorphisme ΛΛΛΛk → L, de réciproque z → Log(z) + 2ikπ.
i) Pour tout k ∈ Z, notons ΛΛΛΛ’k la bande ouverte (2k + 1)iπ + ΛΛΛΛ, et L’ = −L.
Alors ' expL'
Λk est un homéomorphisme ΛΛΛ’Λ k → L’, de réciproque z → Log(−z) + (2k + 1)iπ.
j) L’exponentielle est un homéomorphisme local de C sur C*.
6.4. Déterminations du logarithme et de l’argument.
Définitions : On appelle domaine un ensemble ouvert connexe par arcs non vide de C.
Soit Ω un domaine de C*. On appelle :
• détermination du logarithme sur Ω toute fonction continue ϕ : Ω → C telle que : (∀z ∈Ω) exp(ϕ(z)) = z.
• détermination de l’argument sur Ω toute fonction continue θ : Ω→ R telle que : (∀z ∈Ω)
z
z = exp(iθ(z)).
Il découle de ceci que :
i) ϕ est une détermination du logarithme sur Ω ssi Re(ϕ) : z ∈Ω → ln |z| ∈ R et Im(ϕ) est une détermination de l’argument sur Ω.
ii) Il n’existe pas de telles déterminations sur C* en vertu de 4.1.
iii) Le logarithme principal, l’argument principal sont des déterminations du logarithme et de l’argu-ment sur Ω = L.
iv) La fonction z → Log(−z) + iπ est une détermination du logarithme sur L’.
Théorème : Soient Ω un domaine de C*, ϕ une détermination du logarithme, θ une détermination de l’argument sur Ω.
− Les déterminations du logarithme sur Ω sont les fonctions ϕk : z ∈Ω→ϕ(z) + 2ikπ (k ∈ Z).
− Les déterminations de l’argument sur Ω sont les fonctions θk : z ∈Ω→θ(z) + 2kπ (k ∈ Z).
Corollaire : Soient Ω un domaine de C*, ϕ une détermination du logarithme, θ une détermination de l’argument sur Ω. Fixons z0 ∈ Ω, t0 ∈ log(z0), θ ∈ arg(z0). Il existe une et une seule détermination du logarithme Φ, resp. de l’argument Θ, sur Ω, telles que Φ(z0) = t0, resp. Θ(z0) = θ0 .
Remarque finale : Il résulte de i) qu’il n’y a pas toujours de détermination du logarithme sur un domaine. On peut montrer qu’une telle détermination existe sur tout ouvert « simplement connexe » de C*. C’est le point de départ de la topologie algébrique.
6.5. Développement en série du logarithme complexe.
Lemme : Soit Ω un domaine de C, f : Ω→ C une fonction C-dérivable. Pour que f soit constante, il faut et il suffit que sa C-dérivée soit nulle.
Théorème : Pour tout z ∈ C tel que |z| < 1, Log(1 + z) =
∑
+∞=
−
1
) 1 (
n
n n
n z . Preuve : La série entière du second membre a pour rayon de convergence 1.
Soit f(z) sa somme dans le disque D = { z ; |z| < 1 } ; elle vérifie f’(z) = +z 1
1 . La fonction g(z) = exp(f(z)) est C-dérivable dans D et vérifie g’(z) =
z z g
+ 1
) ( .
Cela équivaut à ) 1
) ( (
z z g dz
d + = 0, i.e. à z z g+ 1
)
( = cte (lemme). Evaluant en 0, il vient g(z) = 1 + z.
f(z) est une détermination du logarithme sur D. Le corollaire du théorème 6.4 montre que ∀z ∈ D f(z) = Log(1 + z).
Variante plus élémentaire : Fixer z ∈ D et considérer la fonction t ∈ [0, 1] → f(t.z).
Proposition : Le logarithme principal Log : L → C est une fonction C-dérivable telle que
∀z ∈ L f’(z) = z
1. Elle est également analytique.
Preuve : 1) Soit z0 ∈ L. Pour |h| < d(z0, R−) = r0, on a, avec d’évidentes notations :
h
z Log h z
Log( 0+ )− ( 0) =
0 0
exp
expZ Z
Z Z
−− → exp(−Z
0) =
0
1 z .
2) Soit D0 = D(z0, r0), où r0 = Im|z0| si Re(z0) ≤ 0, r0 = |z0| si Re(z0) ≥ 0. On a D0⊂ L.
z → Log z et z → Log(z0) + Log(1+
0 0
z z
z− ) sont deux déterminations du logarithme sur D0 (passer à l’exponentielle) qui coïncident en z0. Donc :
∀z ∈ D0 Log z = Log(z0) + Log(1+
0 0
z z−z
) = Log(z0) +
∑
+∞=
− −
−
1 0
0 1
) ) (
1 (
n
n n
z z z
n .
Proposition : Soient Ω un domaine de C*, f une détermination du logarithme sur Ω. Alors f est C-dérivable, telle que ∀z ∈Ω f’(z) =
z
1 ; et f est analytique.
Preuve : (L, L’) est un recouvrement ouvert de C*.
Si z0 ∈Ω, on peut choisir r > 0 tel que v = { z ; | z − z0 | < r } vérifie V ⊂ L ou V ⊂ L’.
Si V ⊂ L, f|V et Log|V étant deux déterminations du logarithme sur V, diffèrent d’une constante.
Si V ⊂ L’, f|V et z ∈ V → Log(−z) diffèrent de même d’une constante.
Comme ces propriétés sont locales, il suffit de montrer le résultat pour Ω = L et f = Log, ce qui a été fait précédemment.
6.6. La surface de Riemann du logarithme.
De ce qui précède, il résulte qu’on ne peut définir de manière univoque le logarithme complexe que sur des parties de C, et que si l’on veut le définir sur C alors c’est une fonction multivoque. Riemann a résolu cette difficulté, et unifié ces points de vue, en montrant qu’en réalité le « bon » domaine de définition du logarithme complexe est une surface, dite surface de Riemann du logarithme. Nous allons donner une construction élémentaire de cette surface, attachée au seul logarithme complexe.
Considérons dans R3 = C×R la surface hélicoïdale définie par : S = { (z, θ) ∈ C*×R ; z = |z|.eiθ }.
> with(plots):plot3d([r*cos(t),r*sin(t),t],r=0..4,t=0..25,numpoints=4000, axes=boxed,color=blue);
L’immeuble sans escaliers, Auguste Bossu (St-Etienne) a) S est un sous-groupe de (C*, .)×(R , +) pour la loi (z, θ).(z’, θ’) = (z. + z’, θ + θ’)
et l’application L : S → C définie par L(z, θ) = ln |z| + i.θ
est un isomorphisme du groupe S sur le groupe additif C, dont l’isomorphisme réciproque est l’application E donnée par E(z) = (exp z, Im z).
On a ainsi, pour tous (z, θ), (z’, θ’) ∈ S, L((z, θ).(z’, θ’)) = L(z, θ) + L(z’, θ’) Ce qui n’était pas le cas pour une branche du logarithme ; par exemple Log j2≠ 2.Log j.
b) Notons p : S → C* la projection canonique p(z, θ) = z.
p−1(L) est réunion disjointe des ouverts connexes Uk de S :
U0 = { (z, θ) ∈ S ; θ ∈ ]−π, π[ } et Uk = U0 + (0, 2kπ), k ∈ Z.
p−1(L’) est réunion disjointe des ouverts connexes Vk de S :
V0 = { (z, θ) ∈ S ; θ ∈ ]0, 2π[ } et Vk = V0 + (0, 2kπ), k ∈ Z.
Chacun des ouverts Uk (resp. Vk) est homéomorphe à L (resp. L’) via p.
Dans ces conditions, l’application L : S → C sera dérivable si l’on convient naturellement que la composée de deux fonctions dérivables est dérivable et que les homéomorphismes canoniques Uk → L et Vk → L’ sont dérivables.
Remarque : Une construction plus abstraite repose sur la notion de germe, clef de la théorie moderne des surfaces de Riemann : cf. Leborgne, QSJ, p. 50, Godement, Cartan VI.5.1., Smirnov 3, p. 82-95.
7. Exponentielles de matrices.
Si, comme nous l’avons vu, le chat a une exponentielle, les matrices en ont une aussi13. Et ce n’est pas Lewis Carroll qui me contredira !
7.1. Exponentielles dans les algèbres de Banach.
Définition 1 : On appelle algèbre de Banach toute K-algèbre L associative et unifère d’unité I, munie d’une norme a → || a || vérifiant : ∀(a, b) ∈ L2 || a.b || ≤ || a ||.|| b || et || I || = 1 , et pour laquelle L est un espace complet (K = R ou C).
Cette structure est l’une des plus riches (en axiomes) des mathématiques.
Exemples :
1) R et C sont des algèbres de Banach commutatives.
2) Si X est un ensemble ; l’ensemble BBBB(X, K) des fonctions bornées de X dans K est une algèbre de Banach pour les lois usuelles, et la norme uniforme.
3) Soit E un K-espace de Banach. L’algèbre LLLL(E) des endomorphismes continus de E, est une algèbre de Banach pour la norme subordonnée ||| u ||| .
En particulier, si E est un espace de dimension finie sur K, toutes les normes sur E sont équivalentes et tous les endomorphismes de E sont continus. L’algèbre LLLL(E) des endomorphismes de E peut être munie d’autant de structures d’algèbres de Banach qu’il y a des normes sur E.
4) En particulier, Mn(K) ≈LLLL(Kn) est une K-algèbre de Banach pour l’une quelconque des normes subordonnées à une norme sur Kn, ||| A ||| = sup X ≠ 0
X X A. .
Proposition 1 : Soit L une algèbre de Banach. Pour tout élément a de L, la série
∑
+∞=0 !
n n
n
a converge
dans L, vers un élément appelé exponentielle de a : exp a =
∑
+∞=0 !
n n
n a .
NB : Si l’on remplace la norme de L par une norme équivalente, la série converge aussi pour cette norme et aura même somme.
Proposition 2 : Si a et b commutent dans L, exp(a + b) = (exp a).(exp b).
Pour tout a ∈ L, exp a est inversible dans L, et ( exp a )−1 = exp (− a).
Proposition 3 : ∀n ∈ N ∀a ∈ L || exp a − En(a) ||≤ a n
an exp )!. 1 (
1
+
+
. Corollaire 1 : La convergence de En(a) vers exp a est rapide.
Corollaire 2 : La convergence de En(a) vers exp a est uniforme sur toute boule DA = { a ; ||a|| ≤ A }, en ce sens que : ∀A ≥ 0 ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 ∀a ∈ DA | exp a − En(a) | ≤ ε.