Exploitation du logiciel CADNA pour évaluer les erreurs d’ar-

vol en émission auquel s’ajoute un temps de vol en réception. Cette valeur est à comparer avec la temps entre deux échantillons de signal qui est de 2,0· 10−5ms. L’erreur peut donc dépasser l’échantillonnage des signaux, ce qui pourrait s’avérer problématique lors de la reconstruction, entraînant des artefacts.

0 2 4 6 8 10 0 200 400 600 0 2 4 6 8 x 10−5 d1 (mm) D2 (mm) Erreur (s)

FIGURE3.14 – Evaluation de l’erreur sur les temps de vol lors de la reconstruction FTP.

Nous avons vu que la résolution d’équations polynomiales en F32 pouvait être source d’er- reurs, même si l’on ne prend pas en compte les cas où la méthode retourne des racines réelles plutôt que complexes. De plus, en considérant une erreur relativement faible sur la précision des racines, on a vu que celle-ci pouvait avoir un impact important sur l’évaluation du temps de vol, ce qui pourrait impliquer dans certains cas des artefacts lors de la reconstruction. Nous pouvons donc conclure que la précision obtenue en F32 n’est pas utilisable de manière géné- rique pour l’algorithme FTP. Il va être nécessaire de se limiter en termes de dimensions de pièces. Nous allons maintenant affiner ces résultats en nous intéressant à la précision obte- nue de manière générale, en utilisant un logiciel qui permet d’évaluer les erreurs d’arrondis : CADNA.

3.4.3.3 Exploitation du logiciel CADNA pour évaluer les erreurs d’arrondis .

Lors des développements, nous avons rencontré plusieurs problèmes de précision, se tradui- sant sous forme d’artefacts sur les images reconstruites par l’algorithme FTP. Afin de détermi- ner leur origine, nous avons entrepris d’utiliser une méthode plus formelle que celle présentée dans la section précédente.

Les approches d’évaluation d’erreurs d’arrondi

erreur d’arrondi est introduite par chaque opération ou affectation. Il existe plusieurs types d’approches permettant d’évaluer les erreurs d’arrondi [Chesneaux, 1995] :

• l’analyse régressive ou inverse, • l’analyse directe,

• l’approche déterministe, • l’approche probabiliste.

Les deux premières approches sont basées sur une analyse statique tandis que les deux der- nières sont effectuées directement lors de l’exécution d’un code, exploitant la précision finie de la machine utilisée. L’analyse régressive est limitée à l’obtention de la majoration de l’erreur globale, tandis que l’analyse directe semble intéressante, mais est peu répandue. L’approche déterministe est, elle aussi, très intéressante, car elle permet d’encadrer dans un intervalle le résultat d’un calcul. Un intervalle correspondant à l’erreur est attribué à chaque opération et c’est la somme de ces intervalles qui permet d’encadrer le résultat. L’arithmétique d’intervalle est très utilisée, mais nécessite de manière générale de reprendre l’algorithme utilisé pour évi- ter une expansion de l’intervalle vers l’infini. Cette approche est donc coûteuse.

L’approche probabiliste permet de déterminer l’erreur d’arrondi engendrée lors de l’exé- cution d’un programme sur une machine quelconque. Chaque erreur d’arrondi est considérée comme une variable aléatoire ce qui permet de prendre en compte les compensations d’erreurs d’arrondis. Si la méthode est plus simple que les approches citées précédemment, elle n’est pas sans inconvénient : l’erreur obtenue est dépendante d’une probabilité.

Basée sur la méthode CESTAC qui permet d’estimer la propagation d’erreurs d’arrondi de tout résultat informatique, le LIP6 de l’Université Pierre et Marie Curie développe un logiciel permettant d’exploiter de manière relativement simple et transparente les erreurs d’arrondi d’un code Fortran, C ou C++. Les opérateurs mathématiques et d’affectation sont surchargés pour prendre en compte l’arithmétique stochastique et de donner une évaluation de la préci- sion des valeurs flottantes. Les valeurs flottantes sont évaluées à l’aide de trois valeurs, dit tri- plet stochastique. A chaque opération, chaque membre du triplet est évalué fonction d’un mode d’arrondi déterminé aléatoirement. Ce changement de mode d’arrondi permet à certaines opé- rations d’être plus justes et à d’autres d’être plus fausses, de telle sorte que les valeurs du triplet soit une probabilité différente de la valeur réelle.

L’intégration dans un code de calcul est relativement aisée et ne demande qu’à remplacer le type float ou double par un type CADNA float_st. Deux primitives sont ensuite mises à disposition pour indiquer le début de la zone à tester et la fin. Une fois la section terminée, CADNA affiche la somme des différentes erreurs d’arrondi rencontrées. C’est à l’utilisateur de remonter à la source des erreurs à l’aide d’un debugger pour comprendre d’où viennent les différents problèmes.

Utilisation de CADNA dans le cadre de l’algorithme de Laguerre

Nous avons intégré CADNA dans notre implémentation de Laguerre afin de mesurer la pré- cision des résultats suite aux multiples erreurs d’arrondis entraînées par les nombreuses itéra- tions de l’algorithme. Pour les reconstructions de cas plans et cylindriques, nous nous sommes contentés de faire une validation visuelle en comparant nos images de sortie. Allant jusqu’au degré 10, nous n’avons pas détecté de problème majeur parmi ces polynômes puisque aucun artefact n’est à noter.

En revanche, c’est sur le jeu de polynômes utilisé en section 3.4.3.1 et issu d’une recons- truction FTP d’une pièce torique que nous avons rencontré des problèmes plus intéressants. En degré, 16, les coefficients des polynômes atteignent une dynamique qui devient problématique pour certaines résolutions. Nous allons illustrer le cas avec le polynôme suivant :

P (x) = (0.732921501129208· 10−03)x16+ (−0.672281823587994)x15₊ (_{−0.804337686237056 · 10}03)x14+ (0.675419108059512_{· 10}06)x13+ (0.183294652820367_{· 10}09)x12+ (_{−0.133868348361080 · 10}12)x11+ (0.156823736024058· 1014)_x10_{+ (−0.137120196956186 · 10}14_)x9₊ (0.364797343912177· 1015)_x8_{+ (−0.791410972627428 · 10}14)_x7₊ (0.143226901768207_{· 10}16)_x6_{+ (−0.389889678919520 · 10}14)_x5₊ (0.576605068893468_{· 10}13)x4+ (_{−0.688809764675349 · 10}10)x3+ (_{−0.142834557867462 · 10}08)x2+ (0.989266544627827_{· 10}04)x1+ 0.116699379731214· 1002 (3.14)

Lorsque l’on va effectuer des opérations d’addition ou de soustraction entre des nombres de dynamique si différente, on va s’exposer à des erreurs d’absorption. En effet, lorsque l’on ajoute un nombre flottant A à un nombre flottant B, et que A est très supérieur à B, il est possible que la valeur de B soit ignorée par le calcul, entraînant une erreur qui peut s’avérer importante dans la suite des calculs.

De la même manière, si on soustrait un nombre A à un nombre B, avec A très proche de B, il est possible d’avoir une erreur dite de cancellation. Le résultat est donc très petit par rapport aux deux opérandes, et il est possible que la valeur réelle soit complètement ignorée, entraînant une cancellation catastrophique.

Sur le polynôme ci-dessus, on peut observer que les coefficients vont, pour le plus petit de 0,73E-3 au plus grand à 0,14E16 pour respectivement l’ordre 16 et l’ordre 6. Cela représente un écart de 19 chiffres significatifs. Les opérations réalisées entre ces nombres risquent d’entraîner des erreurs d’absorption.

L’exécution avec CADNA nous montre immédiatement une erreur très importante sur la première racine trouvée nous affichant le résultat suivant : @.0. Ce symbole est utilisé pour dire que le résultat obtenu n’a aucun chiffre significatif et on parle de zéro computationnel dans ce cas. Cela veut tout simplement dire que l’ensemble des racines trouvées par la suite n’ont elles- même aucune validité du fait de l’utilisation de cette racine pour factoriser le polynôme. Nous allons donc nous concentrer sur ce résultat pour essayer de comprendre d’où vient le problème.

Nous avons tracé la perte de précision en observant le comportement de la racine à chaque itération de Laguerre. La valeur initiale de la racine est 0 dans la mesure où nous n’avons pas d’apriori particulier des racines à trouver. Voici les valeurs obtenues pour les différentes itérations :

Itération 0 : x = 0.0000000E+000 Itération 1 : x = 0.5780986E+003

Itération 2 : x = 0.8852555E-003 Itération 3 : x = 0.968208E-003 Itération 4 : x = 0.974948E-003 Itération 5 : x = 0.97507E-003 Itération 6 : x = 0.973E-003 Itération 7 : x = 0.10E-002 Itération 8 : x = @.0

Nous pouvons observer que le critère de Adams n’est pas suffisant dans ce cas et ne per- met pas de sortir suffisamment tôt. La valeur sur laquelle Laguerre converge est la suivante : ( 0.0009749561892 , 0 ) (obtenue en F64). A l’itération 4, la valeur est donc précise à 4 chiffres significatifs près ce qui est suffisant et n’a perdu à ce moment qu’un seul chiffre significatif sur sa valeur initiale ce qui est très correct. En revanche, le fait de continuer à itérer entraîne la perte d’un chiffre significatif à l’itération 5, un à l’itération 6, un à l’itération 7 puis les deux derniers à la dernière itération.

Nous allons donc essayer de déterminer d’où viennent ces erreurs et s’il est possible de les minimiser en utilisant le debugger comme expliqué précédemment. Le rapport d’erreur du run précédent nous précisant un grand nombre d’erreurs, nous sélectionnons uniquement les cancellations à l’aide de la primitive cadna_init. Les deux cancellations détectées se trouvent dans l’évaluation de Horner. En effet, Laguerre cherchant une racine qui annule le polynôme, l’évaluation de celui-ci arrive logiquement à une valeur proche de zéro quand la racine est suf- fisamment précise. C’est exactement ce qui se produit ici, entraînant une erreur de cancellation pour l’opération suivante et les valeurs des triplets stochastiques suivants :

b += x*b + poly[j] avec b = {x = -0.751752734, y = -0.751753151, z = -0.751752555, accuracy = 6} x = {x = 0.000974948634, y = 0.000974947994, z = 0.000974948925, accuracy = 6} poly[j] = {x = 0.00073292153, y = 0.00073292153, z = 0.00073292153, accuracy = 7} et le résultat de l’opération

b = {x = 1.22236088e-09, y = 1.3387762e-09, z = 1.16415322e-09, accuracy = -1}

Cette erreur ne devrait pas être importante si l’on réussit à la détecter et sortir de la boucle de Laguerre. Cependant, les critères que nous utilisons ne sont pas capables de le faire et nous continuons le calcul de Laguerre avec cette valeur de b très petite et surtout fausse. Heureu- sement pour nous, le delta calculé par Laguerre pour itérer est d’autant plus faible que cette valeur l’est, ce qui permet, bien que b soit faux, de ne pas modifier la valeur de la racine de manière significative. On sort donc de la boucle à l’aide du critère de Adams, mais seulement 3 itérations plus tard. Ces erreurs de cancellation ne sont donc pas nécessairement problématiques pour nous.

L’ensemble des autres erreurs, multiplication, branchement et division, arrivent après cette 5e itération. Cela nous montre que finalement, l’ensemble des erreurs détectées par CADNA ne

sont a priori pas critiques et ne devraient pas avoir d’impact sur notre racine. Si maintenant, on exécute le code sans CADNA, on observe que la valeur de racine obtenue en F32 est identique jusqu’au dernier chiffre significatif à celle obtenue en F64 :

Racine F32 : 0.000974956 Racine F64 : 0.0009749561892

Etant donné que l’étude a été réalisée sur la première racine trouvée, il n’est pas forcément surprenant d’obtenir un résultat identique, d’autant plus que les calculs ont été réalisés en réel. Dans le cas de racines complexes, la quantité de calcul est significativement supérieure et donc source de plus d’erreurs d’arrondis. Les factorisations nécessaires à la recherche des zéros am- plifient donc ces erreurs. En pratique, sur les polynômes parmi les plus mal conditionnés de notre jeu de données, nous perdons jusqu’à 3 chiffres significatifs (sur un total de 7).

CADNA nous permet de formaliser en partie le fait que la simple précision suffit de ma- nière générale, et ce même pour des polynômes de degré 16. La raison pour laquelle la valida- tion n’est que partielle est que CADNA ne permet de valider qu’un jeu de donnée numérique donné. Il existera toujours des polynômes dont le conditionnement les rend très complexes à résoudre, tel que le polynôme de Wilkinson [Wilkinson, 1959] par exemple. Nous pouvons tout de même conclure que nous pouvons utiliser la simple précision pour l’algorithme de résolu- tion de Laguerre.