Exercice 1Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants : 1. a3×a2
2. aa53
3. (a×b)3 4. (a
b
)4
5. (a3)2
Exercice 2Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants : 1. x3×x2
2. 3a×2a2 3. −3x2×4x3 4. 2x2y3×3xy4 5. 8a4b3c2×2ab2c3 6. 25a3b2×−85a2b
Exercice 3Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants : 1. a5÷a2
2. 12a6÷4a4 3. 15x5÷ −3x5 4. −12a3a2
5. −18a36a24bb23
6. 16x−32x5y42
0.5. EXERCICES 11
Exercice 4Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants : 1. (2a)3
Exercice 5Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants : 1. (2
Exercice 6Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants : 1.
Exercice 7Calculer : 1. 2−3
Exercice 8Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants (a̸= 0, b̸= 0) : 1. 23×2−4×22
2. (5−2)3×58 3. (2−3)2×(2−3)−4 4. (a2b−4)−1×(a−3b)−2
5. (−2a2b−1)−2×(2a−1b)2
Exercice 9Simplifier les expressions suivantes en utilisant les lois des exposants (a̸= 0, b̸= 0) : 1. (2a4b−2)−1
Exercice 10Calculer, quand c’est possible : 1. √
Exercice 11Calculer `a l’aide de la calculatrice (arrondir le r´esultat au centi`eme pr`es) : 1. √
Exercice 12Pour quelles valeurs r´eelles dex les expressions suivantes sont-elles d´efinies ? 1. √
0.5. EXERCICES 13
Exercice 13Simplifier √ x2 si :
Exercice 14Calculer, quand c’est possible 1. 2512
Exercice 15Calculer, quand c’est possible 1. 1632
Exercice 16Soit aun nombre r´eel positif. Effectuer les calculs suivants : 1. a12 ×a23
Exercice 17Soit aun nombre r´eel positif. Effectuer les calculs suivants : 1. a−23 ×a−34
2. a52 ÷a−53 3. a−32 ×a56
4. a−12 ÷a−13
Exercice 18Soient a etb deux nombres r´eels positifs. Simplifier les expressions suivantes en appliquant les lois des exposants :
1. (a2b3)16
Exercice 19Effectuer les op´erations suivantes : 1. √
Exercice 20Effectuer les calculs suivants : 1. 2√
Exercice 21Effectuer les calculs suivants : 1. 3√3
Exercice 22Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme´ a√n
b, o`u b est le plus petit entier pos-sible.
0.5. EXERCICES 15
Exercice 23Identifier les monˆomes parmi les expressions alg´ebriques suivantes : 1. 5x
Exercice 24Exprimer par un monˆome chacun des ´enonc´es suivants : 1. Le p´erim`etre d’un carr´e de cˆot´e x.
2. L’aire d’un disque de rayonr.
3. Le volume d’une sph`ere de rayon r.
4. L’aire lat´erale d’un cylindre droit de rayonr et de hauteurh.
5. Le volume d’un cylindre droit de rayon r et de hauteur h.
Exercice 25Evaluer chacun des monˆ´ omes suivants selon les valeurs indiqu´ees des variables.
1. −3x2 lorsquex=−5
Exercice 26Dans chacun des cas suivants, d´eterminer le monˆome qui n’est pas semblable aux autres.
1. 3x2,−5x2, πx2,−3x,−32x2
Exercice 27R´eduire chacune des expressions suivantes `a un seul monˆome.
1. 2x3−5x3+ 7x3 2. 4x2y−6x2y+x2y 3. 34x2+23x2−x2 4. −23xy2+34xy2−56xy2
Exercice 28Effectuer les op´erations suivantes : 1. −3x2×4x3
2. 2x2y3× −3xy2 3. −17x2× −3x 4. −7x2y×5x2y2
5. 3x2y× −5xy× −2xy2 6. 20x2y2× −0,5x× −1,2y2 7. 34x2y×25xy2×109x 8. −53x2y3× 23xy× −25xy2
Exercice 29Effectuer les op´erations suivantes : 1. (3x2y)2
2. (−2xy3)2 3. (−2x2y3)3 4. (
−34x2y3)2
5. 3x2(−2x)3 6. (−2x2)2×(3x3)2
Exercice 30Effectuer les op´erations suivantes, puis indiquer si le r´esultat est un monˆome : 1. −12x4÷3x6
2. 18x6÷12x4 3. 18x6y4÷9x2y2 4. −12x2y4÷6x3y 5. (−5x3)2÷10x4 6. (4x2y3)3÷(2xy2)4
Exercice 31R´epondre aux questions tout en justifiant.
1. La somme de deux monˆomes est-elle toujours un monˆome ? 2. Le produit de deux monˆomes est-il toujours un monˆome ? 3. Le quotient de deux monˆomes est-il toujours un monˆome ?
Exercice 32Parmi les expressions alg´ebriques suivantes, identifier les polynˆomes, ordonner les selon les puissances d´ecroissantes de la variable et d´eterminer leur degr´e.
1. x√
2 + 3x2−1 2. 2x2+ 2√
x
3. 3y−2y3+12y4−4y2+ 1 4. x−1+ 5x+x2
Exercice 33R´eduire les polynˆomes suivants puis d´eterminer leur degr´e : 1. P(x) = 3x2+ 2x−5x2−3x+ 1
2. P(x, y) = 3x3y−2xy2+ 4x3y−xy2
3. P(z) = 4z3−5z2+ 8z3−z2+ 4z−5 + 6z2−12z3
0.5. EXERCICES 17
4. P(x) = 32x2+ 5x3−23x2−32x3+34x−52x
Exercice 34Evaluer les polynˆ´ omes suivants : 1. P(x) = 3x2+ 5x pour x=−2
Exercice 37Les binˆomes suivants sont du premier degr´e. D´eterminer le z´ero de chacun de ces binˆomes.
1. P(x) = 3x−2
Exercice 38Du haut d’un pont, Eric jette un caillou verticalement vers le bas. La formuled(t) = 4,9t2+3t exprime la distance d(t) en m`etres parcourue par le caillou selon la dur´ee t en secondes ´ecoul´ee depuis le d´epart. Si le caillou rentre dans l’eau apr`es 3 secondes, quelle est la hauteur du pont ?
Exercice 41Effectuer les op´erations suivantes : 1. (4x2−8x+ 1)−(2x2−3x+ 5)
2. (3x2y−2xy2+ 3xy) + (2x2y+ 3x2y−5xy) 3. (3a2b−5ab2)−(2a2b+ 3ab2)
4. (3x2y−2xy+ 4xy2)−(−3xy2+ 4xy) + 2x2y 5. (3x3−5x2−4x−1)−[(x3−5x2)−(x2−4x+ 1)]
Exercice 42Effectuer les produits suivants : 1. 3x2(2x−5)
2. −3y(y2−2y) 3. −2x2(3xy2+ 5x2y) 4. (2xy−5x)(−3x2y) 5. 34x2(2
3x−8x2) 6. (4x2−8x+ 12)(
−34x)
Exercice 43Effectuer les produits suivants : 1. (x+ 3)(x−2)
2. (x−5)(3−x) 3. (2a+b)(3a−2b) 4. (5−2x)(3x−4) 5. (−2x+ 5)(3x−2) 6. (−5x−3)(−2x+ 4)
Exercice 44Effectuer les op´erations suivantes : 1. 5x(3x+ 2y)−3x(2x−4y)
2. (2x−3y)(3x+ 2y) + (5x−y)(2x+ 3y) 3. (3a−2b)(2a+b)−(2a+ 3b)(3a−b) 4. (2a+ 3)(3a−2)(2a−5)
5. (2x+ 3)(2x−5)(3x−4)
Exercice 45On consid`ere les polynˆomesP(x) = 3x2,Q(x) = 2x+ 1,S(x) = 5x+ 4. D´eterminer 1. P(x)×Q(x) +P(x)×S(x)
2. P(x)×Q(x)−Q(x)×S(x) 3. P(x)×Q(x)×S(x)
4. P(x)×(Q(x) +S(x)) 5. (P(x)−Q(x))×S(x) 6. (S(x)−Q(x))×P(x)
Exercice 46D´evelopper les carr´es de binˆomes suivants en utilisant l’identit´e (a+b)2=a2+ 2ab+b2. 1. (x+ 5)2
2. (3x+ 4)2 3. (2x+ 3y)2
0.5. EXERCICES 19
Exercice 49D´evelopper puis r´eduire les expressions suivantes : 1. (3x+ 2)2+ (3x−2)2
Exercice 50Effectuer les divisions suivantes : 1. (24x4+ 12x3−18x2)÷6x2
Exercice 52Dans chacun des cas suivants, d´eterminer le quotientQ(x) et le reste R(x) de la division de
A(x) par B(x) :
1. A(x) = 2x2−x−6, B(x) = 2x+ 3 2. A(x) = 3x2−2x+ 1, B(x) =x+ 1 3. A(x) = 2x3+ 3x2+ 2x+ 4, B(x) =x+ 1 4. A(x) =x3−2x+ 1, B(x) =x−1 5. A(x) =x4−1, B(x) =x+ 1 6. A(x) =x3+ 27, B(x) =x+ 3
Exercice 53Soit P(x) = 3x2−5x+ 1.
1. (a) CalculerP(2).
(b) V´erifier que le reste de la division de P(x) par (x−2) est ´egal `a P(2).
2. (a) CalculerP(−2).
(b) V´erifier que le reste de la division de P(x) par (x+ 2) est ´egal `a P(−2).
Exercice 54Soit P(x) =x3+ 2x2−5x−6.
1. Montrer queP(x) est divisible par : (a) (x+ 3)
(b) (x−2) (c) (x+ 1)
2. Montrer queP(x) n’est pas divisible par : (a) (x−1)
(b) (x+ 2) (c) (x−3)
Exercice 55Soit P(x) = 2x3+ 3x2−4x−1. D´eterminer le reste de la division de P(x) par : 1. (x−2)
2. (x+ 2) 3. (x−1)
Exercice 56Trouver le plus grand facteur commun aux expressions alg´ebriques suivantes : 1. 18x4, 24x3, 12x5
2. 18x3y2z4, 24x4y3z4, 36x2y4z3 3. 15x2(a+b)3, 18x3(a+b)2 4. 24x3y2(a−b)3, 26x2y4(a−b)2
Exercice 57Factoriser les polynˆomes suivants : 1. 5x−10
2. 18x+ 24y−12z 3. 4x2+ 6x
4. 12x+x2−5x3 5. 12a2b+ 18a2b2 6. −3x4+ 6x3−9x2 7. a2+ab+a 8. x4−x3y−x2
0.5. EXERCICES 21
9. 24x3y2−16x2y3+ 28x3y4 10. 21x3y2z−14x2y3z2+ 28x2y2z2
Exercice 58Factoriser les polynˆomes suivants : 1. x(x+ 2) + 5(x+ 2)
2. 3(x−2)−x(x−2) 3. a(b+c)−d(b+c) 4. x(3−y) +y(3−y)
5. (x+ 3)(x+ 2) + (x+ 3)(x−1) 6. (x+y)(x−2)−(x+y)(2x−3) 7. (x+y)2+x(x+y)
8. (x−y)2+ (x−y)(x+y) 9. 2(x−1)−(x−1)2
10. (2x−3)2+ (x+ 1)(2x−3) + (2x−3)(x+ 3)
Exercice 59Factoriser les polynˆomes suivants : 1. x(x−1)−3(1−x)
2. x(x+ 3) + 2(−x−3) 3. (x−5)2−2(5−x)
4. (2x+ 1)(2x−1) + (1−2x)2
5. (2x+ 3y)(x+y) + (4x+ 6y)(x−y) 6. (x+ 1)(2x+ 6)−(x−2)(3x+ 9)
Exercice 60Factoriser les polynˆomes suivants : 1. (3a+ 2b)2−(3a+ 2b)(2a−3b) + (3a+ 2b) 2. (x+ 5)2+x2+ 5x
3. (4x+ 7)2+ (5−x)(4x+ 7) + 4x2+ 7x 4. (3x+ 2)2+ (3x+ 2)(2x−3)−(3x+ 2) 5. (3x−4)(x+ 1) + 6x2−8x+ (3x−4)(x−3)
Exercice 61Factoriser les polynˆomes suivants : 1. x2+ 5xy+ 3x+ 15y
2. 2x2+ 3xy−10x−15y 3. 6a2−15a+ 2ab−5b 4. 6x2−8x−9xy+ 12y 5. 10xy+ 2x+ 15y+ 3 6. x3−x2+x−1
Exercice 62Factoriser les polynˆomes suivants : 1. 2x2y+ 3x2+ 10y+ 15
2. 15x4y2+ 35x2y2−9x2−21 3. 2x3+ 4x2y−2x2−4xy 4. 3x3y−9x3+ 6x2y−18x2
5. 30x4y−10x3y2+ 15x3y−5x2y2 6. 2x4−2x3+ 6x2−6x
Exercice 63Factoriser les polynˆomes suivants : 1. ax−ay+bx−by+cx−cy
2. 6ax−3ay+ 10bx−5by−4x+ 2y
3. a3−2ab+ac2−a2b+ 2b2−bc2+a2c−2bc+c3 4. ab(x2+y2)−xy(a2+b2)
Exercice 64Factoriser les diff´erences des deux carr´es suivantes : 1. x2−25
2. 16x2−9 3. 49x2−36y2 4. 36x4−25y6 5. 100−x2 6. x162 − y92 7. x2−3 8. x2−1 9. 16x2−19 10. 2516x2y4−49z6
Exercice 65Factoriser les diff´erences des deux carr´es suivantes : 1. (3x−1)2−9
2. (x+ 1)2−4 3. (2x+ 5)2−16x2 4. 25x2−(2x−5)2 5. 16x2−(3x+ 2)2 6. 36x2−(2−x)2 7. (x+ 3)2−(2x+ 5)2 8. (3x−5y)2−(2x−3y)2 9. 4(x+ 5)2−1
10. 16x2−(3x+ 2)2 11. 25(x−3)2−9(2x+ 1)2
Exercice 66Factoriser compl`etement les polynˆomes suivants : 1. 2x3−18x
2. 2x3+ 3x2−2xy2−3y2 3. 25x3−50x2−9xy2+ 18y2 4. x4−81
5. x2−1 + (x−1)2 6. 2x2−12
0.5. EXERCICES 23
Exercice 67Factoriser les trinˆomes carr´es parfaits suivants : 1. x2+ 10x+ 25
2. x2−14x+ 49 3. 4x2+ 12xy+ 9y2 4. 25x2−20xy+ 4y2 5. 9x4−30x2+ 25 6. 25x4+ 30x2y3+ 9y6 7. x2−x+14
8. 169x2+x+49
Exercice 68Expliquer pourquoi les trinˆomes suivants ne sont pas des carr´es parfaits.
1. 4x2+ 6x+ 9 2. 4x2+ 12x−9 3. −4x2+ 12x+ 9 4. 9x2−15x+ 25
Exercice 69Compl`eter les trinˆomes afin d’obtenir des trinˆomes carr´es parfaits puis les factoriser.
1. x2+. . .+ 9 2. 4x2−. . .+ 9 3. 9x2+ 30x+. . . 4. . . .+ 20x+ 4 5. 4x2−28x+. . . 6. . . .−6x+ 1 7. x2+23x+. . . 8. x2−. . .+494
Exercice 70Factoriser les polynˆomes suivants : 1. 4x3−12x2+ 9x
2. x4−2x2+ 1 3. −x2+ 6x−9
4. (x−1)(2x+ 1) +x2−2x+ 1 5. (x2+ 4)2−16x2
6. x2(x+ 1) + 2x(x+ 1) + (x+ 1)
Exercice 71Identifier les coefficients a, b, c des trinˆomes propos´es. Calculer ensuite le discriminant puis indiquer si le trinˆome est factorisable.
1. 2x2+ 3x+ 1 2. 2x2−x−6 3. 8x2+ 2x−15 4. −3x2+ 5x+ 2 5. x2−x+ 1 6. 4x2−12x+ 9
Exercice 72Factoriser les trinˆomes suivants par la m´ethode de la compl´etion du carr´e.
1. x2−10x+ 21 2. x2−5x−14 3. x2−7x+ 12 4. x2−9x+ 20 5. 2x2+ 7x+ 3 6. 3x2+ 5x−2 7. 6x2+x−2 8. 10x2−19x+ 6
Exercice 73Factoriser les trinˆomes suivants par la m´ethode de la compl´etion du carr´e.
1. x2+ 8x+ 15 2. x2−8x+ 15 3. x2+ 5x−14 4. x2−5x−14 5. 6x2+ 19x+ 15 6. 2x2−7x−15 7. 3x2−x−4 8. 5x2−17x+ 6
Exercice 74Factoriser les trinˆomes suivants : 1. 4x2−12x+ 9
2. x2+ 6xy+ 8y2 3. x2−2x−1 4. x2+ 6x+ 7
Exercice 75Factoriser les trinˆomes suivants par la m´ethode “Produit et somme” : 1. 2x2+ 9x+ 4
2. 6x2−19x+ 10 3. 4x2−5x−21 4. 5x2−32x−21 5. 12x2+ 13x+ 3 6. 16x2−26x+ 3 7. 6x2+ 11x−10 8. 8x2+ 2x−15 9. x2+ 10x+ 24 10. x2−7x+ 12
Exercice 76Factoriser chacun des trinˆomes de l’exercice pr´ec´edent par la m´ethode du discriminant.
Exercice 77Les trinˆomes suivants sont de la formex2+bx+c(le coefficient dex2est ´egal `a 1). Factoriser ces trinˆomes.
0.5. EXERCICES 25
1. x2+ 7x+ 12 2. x2−7x+ 10 3. x2+ 2x−15 4. x2−5x−14 5. x2+ 14x+ 48 6. x2−15x+ 36
Exercice 78Factoriser les expressions alg´ebriques suivantes : 1. 2x3−8x2+ 6x
2. 6x4+ 9x3+ 3x2 3. 9x4+ 6x2+ 1 4. x4−2x2+ 1 5. x3+ 3x2+ 2x 6. 16x3+ 4x2y−2xy2 7. (2x−5)2−4(x−1)2 8. x8−y8
Exercice 79Une somme de deux cubes et une diff´erence de deux cubes peuvent se factoriser.
1. Montrer que
(a) a3+b3= (a+b)(a2−ab+b2) (b) a3−b3= (a−b)(a2+ab+b2) 2. Factoriser
(a) x3+ 64 (b) 8x3−27
(c) 27x3−8y3
Exercice 80Simplifier les fractions rationnelles suivantes : 1. 20x5x23
2. 12x16xy3y32
3. 5x+10y5x−10y 4. 5x2x22+10x+3x
5. 6x9x32+4x+6x2
6. xx22+3x+2+x−2
7. 2x2x22+5x+3−x−6
8. x2x+6x+92−9
Exercice 81Simplifier les fractions rationnelles suivantes : 1. xx22−−5x25
2. xx43−−1x
3. (x+2)x2−225−9
4. x2+2xx2−−915
5. 2x4x2+7x+32−1
6. xx22+5x+6+x−2
7. 2xx22−−x5x−−63
8. x2x−22x+1−1
Exercice 82Simplifier les fractions rationnelles suivantes : 1. x2−x22xy+y−y2 2
2. x3−x32x−2x+x
3. (x+1)(2xx2−12−2x)
4. (x+1)4x22+x−12+x
Exercice 83Effectuer les multiplications suivantes : 1. 12x5 ×3x102
2. x2x−1× x−51 3. xx+1−5× xx−−25 4. 2x+12x ×2x+13x2
5. 3x2x−−13 ×4x3x−−61 6. 3x2x+10−15×4x+206x−30
Exercice 84Effectuer les multiplications suivantes : 1. 2xx+3−4 ×x2x+6x+92−4
2. xx+32−1 ×x2−x−4x+33
3. 2x+3x−1 ×x2x2+2x2−x−−36
4. 2xx+42+6x×x5x2+8x+162+15x
5. xx22−+x4x−−65 ×xx22+3x+2−6x+8
6. 2x2x−2−3x1−2× 2x+1x−1
Exercice 85Effectuer les divisions suivantes : 1. xx+22−1 ÷3x+6x−1
2. xx22−x−2−x−6 ÷x+1x+2 3. 3xx22+8x+x−−63÷ 2x+1x−2 4. 2xx+52+2x÷x22x+10x+253−2x
5. x22x+6x+9−4 ÷xx22−−49
6. xx42−+11 ÷xx+22−1
Exercice 86Effectuer les op´erations suivantes : 1. 2x+y5
0.5. EXERCICES 27
2. 3x−x22
3. 4xy2 −4xxy−y 4. 2x+3y9x +2x6y−3y
Exercice 87Effectuer les op´erations suivantes et simplifier les r´esultats : 1. x2x−9 −2x1−6
2. x+51 + x−15 3. x2−12x+1 +x−11 4. 3a2a−15+2a4a−10
Exercice 88Effectuer les additions et soustractions suivantes : 1. 2x+12 −3x5−1
2. x−52+ x+33 3. x+1x−2− x+2x−1 4. x+3x−3− xx+3−3 5. xx+12−4 −xx+2−2 6. x2−x+12x+1 +x21−1
Exercice 89Effectuer les op´erations suivantes puis simplifier les s’il y a lieu.
1. x+21 − x−21 + xx+62−4
2. x2−52x +x24−4 −x2+2x2
Exercice 90D´ecomposer chacune des fractions alg´ebriques suivantes en une somme de fractions par-tielles :
1. x2+2x1 −3
2. x2−5x3x2−4
3. xx+12+1
Chapitre 1
Trinˆ omes du second degr´ e
1.1 R´ esolution de l’´ equation ax
2+ bx + c = 0
1.1.1 Transformation de l’´equation
On remarque ais´ement que le polynˆomeP d´efini par P(x) =ax2+bx+c,a∈R∗ peut se r´e´ecrire sous la forme canonique suivante :
P(x) =a
1.1.2 R´esolution de l’´equation
ax2+bx+c= 0⇔
Trois cas se pr´esentent alors :
• ∆<0
Exercice 90R´esoudre 1. 2x2+x+ 1 = 0.