10.4 Exercices pour l’annexe 2
Exercice 1
SoitABCD un parallélogramme du plan usuel. Montrer queAB2 +BC2 +CD2 + DA2 =AC2+BD2.
Exercice 2
Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé(O,2i,2j)on considère la droiteDd’équation
ax+by+c= 0, avec(a, b)+= (0,0).
1) Ecrire l’équation de la droite perpendiculaire àDet passant par le pointM0de coor-données(x0, y0).
2) En déduire que la distance deM0 à la droiteDest donnée par la formule d(M0, D) = |ax√0+by0+c|
a2+b2 . Exercice 3
Dans l’espace affine euclidien usuel rapporté à un repère orthonormé (O,2i,2j,2k), on considère le planP d’équation
ax+by+cz+d= 0, avec(a, b, c)+= (0,0,0).
1) Ecrire l’équation de la droite perpendiculaire àP et passant par le pointM0de coor-données(x0, y0, z0).
2) En déduire que la distance deM0 au planDest donnée par la formule d(M0, P) = |ax0√+by0+cz0+d|
a2+b2+c2 . Exercice 4
128 CHAPITRE 10. ANNEXE 2 : ESPACES DE HILBERT
Dans l’espace affine euclidien usuel rapporté à un repère orthonormé (O,2i,2j,2k), on considère les droitesD1 etD2 d’équations paramétrées
x=x0+λu0
y=y0 +λv0
z =z0+λw0
x=x1+λu1
y=y1 +λv1
z =z1+λw1
On supposeD1etD2 non parallèles. Donner l’équation de la perpendiculaire commune àD1 etD2.
Exercice 5
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues et périodiques de période 2π sur R, que l’on munit du produit hermitien défini pourf, g∈E par la formule
< f, g >= 1 2π
# 2π 0
f(t)g(t)dt.
On définite1, e2, e3 ∈E par les formules
e1(t) = 1, e2(t) = cos(t), e3(t) = cos2(t).
Déterminer la famille orthonormale obtenue en appliquant à{e1, e2, e3}le procédé d’or-thonormalisation de Gram-Schmidt.
Exercice 6
On considère l’espace vectorielE des fonctions continues et périodiques de période2π surR,muni du produit sacalaire introduit à la question précédente. On poseu0(t) = 1,et, pourn ≥1,
un(t) =cos(nt), vn(t) = sin(nt).
1) Montrer que la famille B := (∪n≥0un)∪ (∪n≥1vn) est une famille orthonormale d’éléments deE.
2) Pour p ≥ 1, on note Fp le sous-espace vectoriel de E engendré par {u0, ..., up}∪ {v1, ..., vp}.SoitP la projection orthogonale deE surFp.En utilisant une formule du cours, expliciterP(f)(x)pourf ∈E, x∈R.Quel est le lien entre le polynôme trigonométrique P(f)et la série de Fourier def?
10.4. EXERCICES POUR L’ANNEXE 2 129
Exercice 7 SoitF l’image deC3 par l’applicationu:X .−→
1 1 1
2 −1 2
1 0 1
X.
Trouver une base orthogonale de F, et calculer la matrice représentant la projection orthogonale deR3surF par rapport à la base canonique deR3.
Exercice 8
En s’aidant d’un logiciel de calcul formel, répondre aux mêmes questions que dans l’exercice précédent pourG:={AX}X∈R8,avec
A=
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 6 5 4 3 2 1
1 3 5 7 9 11 13 15
15 13 11 9 7 5 3 1
1 4 7 10 13 16 19 22
22 19 16 13 10 7 4 1
1 5 9 13 17 21 25 29
.
Exercice 9
On pose ψ(t) = 1 si t ∈ [0,1/2], ψ(t) = −1 si t ∈]1/2,1], ψ(t) = 0 si t ∈]−
∞,0[∪]1,+∞[.D’autre part pourj, n∈Z, t∈R,on pose ψj,n(t) = 1
√2jψ(t−2jn 2j ).
Montrer que la famille(ψj,n)j∈Z,n∈Zest une base hilbertienne eL2(R)(on admettra que les fonctions continues à support compact sont denses dansL2(R)).
Exercice 10
SoitH un espace de Hilbert. Une partieCdeH est dite convexe sitx+ (1−t)y ∈C pour tout couple(x, y)déléments deCet tout réelt∈[0,1].
Soit maintenantC une partie convexe fermée deH.On posed=infy∈H-x−y-. 1) Montrer quex∈Csid= 0.
2) On supposed > 0.Pourn ≥ 1,soityn ∈ C tel que-x−yn- < n1.Montrer que la suite(yn)n≥1est de Cauchy.
3) En déduire qu’il existe un unique élémentuC(x)deCtel que-x−u(x)- ≤ -x−y -pour touty∈C.
130 CHAPITRE 10. ANNEXE 2 : ESPACES DE HILBERT
4) Montrer que l’applicationx→uC(x)est linéaire siCest un sous-espace vectoriel de H.En déduire dans ce cas une construction de la projection orthogonale surCindépendante de la construction d’une base hilbertienne deC.
Bibliographie
[1] Archimède :Eureka, Communication orale, Syracuse ( vers l’an -215).
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[3] C. Bachoc. Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier, Cours de Master CSI, Université Bordeaux 1, 2005.
[4] X. Dussau, J. Esterle et F. Zarouf, Cours d’algèbre, ESTIA, 2001.
[5] X.Dussau, J. Esterle et F. Zarouf, Cours d’algèbre linéaire, ESTIA, 2001.
[6] X. Dussau, J. Esterle,O. Réjasse et F. Zarouf, Analyse élémentaire, ESTIA, 2003.
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[8] F. Luthon, Initiation au traitement de signal, IUT Informatique, Chateau Neuf, Place Paul Bert, 64100, Bayonne, 2004.
[9] G. Peyré, L’algèbre discrète de la transformée de Fourier, Collection Mathématiques à l’Université, Ellipses, 2004.
[10] W. Rudin, Fourier analysis on groups, Intersience Publishers, 1962.
131
Index
théorème de convergence dominée, 11 L1(R), 16
méthode de Simpson, 2
théorème de convergence monotone, 11 algorithme d’Euclide, 34, 35, 38, 44 algorithme d’Euclide étendu, 35, 38, 44 algorithme de Gram-Schmidt, 116–118 application continue, 80
associativité de la convolution cyclique, 75 axiome du choix, 4
commutativité de la convolution cyclique, 75 compression d’images, 65
décomposition d’une fonction booléenne en somme de moômes, 68
décomposition en facteurs premiers, 39, 43, distance aux fonctions affines, 5244
distance d’une fonction booléenne à une fonc-tion affine, 54
distance de deux fonctions booléennes, 52 diviser pour régner, 49
INDEX 133
fonctions affines d’ordrek, 52 fonctions booléennes, 50, 68 fonctions courbes, 56, 68
forme trigonométrique des séries de Fourier, formule d’inversion de Fourier, 15, 17, 48,93
72, 88
formule de Cauchy, 113 formule de Leibnitz, 16
formule de Parseval, 72, 88, 91, 93 formule de Plancherel, 72, 88, 91 formule de Plancherel-Parseval, 52 formule de Poisson discrète, 107 formule sommatoire de Poisson, 104 fréquence, 90
groupe topologique localement compact, 80 identité de Bezout, 36, 38, 41
image numérisée, 65
inégalité de Cauchy-Schwartz, 6, 16 intégrable, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16 intégrable surR, 6
intégrale de Riemann, 1, 2, 6, 9 intégrale de Riemann g’enéralisée, 8 intégrale de Riemann généralisée, 8, 10 isomorphisme de groupes topologiques, 81 Lacey et Thiele, 17
le nombrej des mathématiciens, 73 le nombrej des physiciens, 73 Lebesgue, 2–4, 7–10
loi associative, 23
méthode des rectangles, 2 méthode des trapèzes, 2 matrice conjuguée, 71
matrice de changement de base, 68 matrice de Fourier, 71
matrice de Walsh, 47, 67, 68 mesurable, 3–7, 13 nombre de changements de signe, 56 nombre premier, 39, 44
points d’une droite à coordonnées entières, polynôme caractéristique, 6836
ppcm, 39, 43, 45
presque partout, 6, 7, 13, 15 principe d’incertitude, 102
principe d’incertitude discret, 103 produit hermitien, 93
réarrangement par changements de signe, 56 recouvrement ouvert, 80
support d’une fonction au sens des distribu-tions, 101
symbole de Kronecker, 116 théorème chinois, 37
134 INDEX
théorème de convergence dominée, 8, 11, 87 théorème de convergence monotone, 9 théorème de dualité de Pontryagin, 81 théorème de Féjer, 124
théorème de factorisation, 82 théorème de Fubini, 87
théorème de Gauss, 36, 37, 39 théorème de Lagrange, 25 théorème de Parseval, 124 théorème de Plancherel, 124 topologie induite, 80
topologie produit, 80
transformée de Fourier, 13–17, 48, 87 transformée de Fourier discrète, 71 transformée de Walsh, 47, 52, 65 transformée de Walsh inverse, 48 transformée de Walsh rapide, 49, 58, 59 Zermelo, 4