où f[n] =˜ f[n] pour 0 ≤ n ≤ N −1. On voit ainsi que les résultats concernant la transformée de Fourier discrète obtenus au Chapitre 6 sont en fait un cas particulier de des propiétés de la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini.
Pour conclure ce Chapitre, on va faire apparaitre le lien entre transformée de Fourier dis-crète et coefficients de Fourier d’une fonction périodique. Considérons en effet une fonction f :R→Ccontinue et périodique de période1.PourN ≥2,0≤m≤N −1,posons
fN[n] =fHn N
I.
Notonsf1la transformée de Fourier discrète defN.Les notations étant celles du Chapitre 6, on a, pour0≤p≤N −1,
fFN[p] =
N!−1 n=0
fN[n]e−2inpπN =
N−1!
n=0
fHn N
I
e−2inpπN .
D’autre part les coefficients de Fourierfˆ(p)peuvent s’obtenir comme limites de sommes de Riemann. On a en effet, pourp≥0,
f1(p) =
# 1 0
f(x)e−2iπnxdx=limN→+∞
1 N
N!−1 n=0
fHn N
I
e−2inpπN . (7.17) Un calcul analogue permet d’obtenir les coefficients de Fourierf(p)1 pour p ≤ 0, voir l’exercice 5.
Le lien entre transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier surR,qui renvoie à une étude plus poussée de l’échantillonnage et au théorème de Shannon et se heurte aux principes d’incertitude, sera discuté dans la suite de ce cours.
7.7 Exercices sur le Chapitre 7
Exercice 1
SoitE un espace topologique, et soientK1etK2deux sous-ensembles compacts deE.
Montrer queK1∪K2est compact.
Exercice 2
SoitE un ensemble non vide. On dit qu’une applicationd : (x, y) → [0,+∞[est une distance surEsi et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées
(i)d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z)∀x, y, z ∈E, (ii)d(x, y) = 0si et seulement six=y.
Dans ce cas on dit qu’un ensemble est d-ouvert s’il est vide ou s’il est réunion d’en-sembles de la formeBd(x,/) :={y∈E|d(x, y)</}.La topologie associée à la distance
98 CHAPITRE 7. ETUDE GÉNÉRALE DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
dest la topologieτdassociée à la familleUτdformée des ensemblesd-ouverts. On dit qu’un espace topologique(E,τ)est métrisable s’il existe une distancedsurEtelle queτ =τd.
1) Soient(G1,◦,τ1)et(G2,◦, τ2)deux groupes topologiques métrisables, soite1l’unité de G1, soit e2 l’unité de G2, soit d1 une distance sur G1 telle que τ1 = τd1, soit d2 une distance sur G2 telle que τ2 = τd2 et soit θ : G1 → G2 un homomorphisme de groupes.
Montrer que θ est continu si et seulement si limn→+∞d(e2,θ(xn)) = 0 pour toute suite (xn)n≥1telle que limn→+∞d1(e1−xn) = 0.
2) Soit(G,◦,τ)un groupe abélien localement compact.
a) On suppose qu’il existe une suite(Kn)n≥1de sous-ensembles compacts deGtels que G=∪n≥1Kn.On pose, pourφ1,φ2 ∈G,
d(φ1,φ2) =
+∞
!
n=1
min(1, supx∈∪1≤m≤nKm|φ1(x)−φ2(x)|
2n .
Vérifier que d est une distance sur G1 et que la topologie τd coincide sur G1 avec la topologieˆτdéfinie dans le cours (en termes savants, cette topologieˆτs’appelle la topologie de la convergence uniforme sur les compacts deG.
b) Montrer que l’application φ : s → φs,oùφs(x) = eisx pourx ∈ R, est une appli-cation continue deRdansR,1 et que l’application réciproque φ−1 : R1 → Rest également continue.
Exercice 3
SoitGun groupe abélien fini, soitH +=Gun sous-groupe deG,et soitx∈G\H.
1) Vérifier que l’ensembleH(x) :={xny}n∈Z,y∈H est un sous-groupe deGcontenantx etH.
2) Vérifier qu’il existem ≥2tel quexm ∈H.
3) Soitdle plus petit entier tel quexd∈G.Montrer que tout élémentz deH(x)s’écrit de manière unique sous la formez =xnyavec0≤n ≤d−1, y ∈H.
4) Soitχ∈H,1 et soientα1, ...,αdlesdsolutions dansCde l’équationzd =χ(xd).Pour 1≤j ≤d, u=xny ∈H(x),avec0≤n≤d−1,on pose
χj(u) =αnjχ(y).
Montrer que χj est un caractère de H(x) dont la restriction à H coincide avecχ. En déduire que si|H1|=|H|,alors|H(x)"|=|H(x)|.
5) Déduire de ce qui précède que|G1|=|G|pour tout groupe abélien finiG.
Exercice 4
7.7. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 7 99
SoitGun groupe abélien fini possédantN éléments.
1) En utilisant les définitions de la transformée de Fourier et du produit de convolution surC[G], montrer que l’on a, pourf, g ∈C[G],
"
f ∗g =f .11g.
2) En utilisant le fait queG1 forme une base orthonormale deC[G]pour le produit her-mitien deC[G],démontrer les formules de Plancherel et de Parseval pourC[G].
3) En utilisant de nouveau le fait queG1 forme une base orthonormale deC[G]pour le produit hermitien deC[G],démontrer quetAGAG =nIn,oùIndésigne la matrice unité à nlignes etncolonnes.
En déduire la formule d’inversion de Fourier pourC[G].
Exercice 5
Soitf une fonction continue et périodique de période 1. On posef˜(x) = f(−x)pour x∈R.Avec les notations de la formule 7.15, montrer que l’on a, pourp≤0,
f(p) =˜ limN→+∞
( ˜f)N(−p)
N .
100 CHAPITRE 7. ETUDE GÉNÉRALE DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
Chapitre 8
Echantillonnage, principes d’incertitude et théorème de Shannon
8.1 Le principe d’incertitude pour la transformation de Fourier sur R
Sif :R→Cest mesurable, on noteUf l’ensemble des réelsxpour lesquels il existe un intervalle ouvertIxdeRcontenatxtel quef(t) = 0presque partout surIx,et on appelle support de f au sens des distributionsl’ensemble Supp(f) = R\Uf.On va voir que si une fonction intégrablef :R→Cn’est pas nulle presque partout, alorsf et sa transformée de Fourier ne peuvent pas être simultanément à support compact.
On a le résultat suivant
Proposition 8.1.1. Soitg ∈L1(R)une fonction à support compact. Posonsan = n!1 "n
0 g(x)xndx pour n ∈ N. Alors la série +∞$
n=0
anzn converge pour tout z ∈ C, et si on pose F(z) =
+$∞ n=0
anzn,on a les propriétés suivantes (i)f1(x) = F(−ix)pourx∈R.
(ii) La fonctionz →F(z)est indéfiniment dérivable au sens complexe surC,etF(z) =
+$∞ n=0
F(n)(a)
n! (z−a)npoura ∈C, z∈C.
SoitA >0tel quef(x) = 0pour|x|> A,et soitz ∈C\ {0}.On a
|anzn|≤ |z|n n!
# A
−A|f(x)||x|ndx≤2An+1|z|n-f-1.
Fixonx p ≥ 2A1|z|. On a n!1 ≤ (2Ap!|z|)p(2A|z|)−n pour n ≥ p+ 1. On obtient, pour m ≥p+ 1,
101
102CHAPITRE 8. ECHANTILLONNAGE, PRINCIPES D’INCERTITUDE ET THÉORÈME DE SHANNON du théorème de convergence dominée que l’on a
# +∞ Le fait que F est indéfiniment dérivable au sens complexe sur C, et le fait que F(z) =
+∞$
n=0 F(n)(a)
n! (z −a)n pour a ∈ C, z ∈ C provient des propriétés élémentaires des séries entières rappelées à l’annexe 1.!
On en déduit le principe d’incertitude suivant, qui montre en particulier q’une fonc-tion non nulle et sa transformée de Fourier ne peuvent pas être simultanément à support compact.
Corollaire 8.1.2. Soitf ∈ L1(R) une fonction à support compact. Sif1s’annulle sur un intervalle ouvert non vide deRalorsf est nulle presque partout.
Démonstration : Soit f ∈ L1(R) une fonction à support compact. Supposons que fˆ s’annule sur un intervalle ouvert ]a, b[ et soit c = a+b2 . Soit F la fonction donnée par la proposition précédente. On aF(−ix) = ˆf(x) = 0poura ≤ x ≤ b, doncF(n)(−ic) = 0 pour toutn≥0,et on a