Calcul int´ egral
6.1 Exercices de base sur le chapitre 4 (partim A)
Dans cette section figurent quelques exercices de base (dont il a ´et´e question durant les ann´ees acad´emiques mentionn´ees).
Liste 2002-2003
1. Calculer les int´egrales suivantes Z 2
2. Calculer l’aire de la partie du plan d´elimit´ee par les graphiques des fonctions f, g, h donn´ees explicitement parf(x) =x2, g(x) =x, h(x) = 2xet donner une repr´esentation graphique de cette r´egion du plan.
Liste 2003-2004
Les exercices (**) sont plus sp´ecialement destin´es aux informaticiens, aux chimistes et aux g´eographes.
Les exercices (*) sont plus sp´ecialement destin´es aux informaticiens.
1. Pour chacun des cas suivants, d´eterminer si l’int´egrale def surAexiste (c’est-`a-dire siR
Af(x)dx repr´esente bien un nombre)
f(x) = sin(√ 2. Calculer les int´egrales suivantes (si c’est possible)
Z π/2
3. (*) Montrer que les fonctionsx7→ln(sin(x)) etx7→ln(cos(x)) sont int´egrables sur ]0,π2[ et que leur int´egrale sur cet ensemble1 vaut−π2ln(2).
4. Calculer l’aire de la partie du plan dont une description analytique est la suivante {(x, y) :x∈[0,2π], cos(x)≤y≤sin(x)}.
Donner aussi une repr´esentation graphique de cet ensemble.
5. (*) Calculer (si possible) Z 3
7. La vitesse d’une voiture, partant de l’origine O et se d´epla¸cant en ligne droite suivant l’axe X est v(t) = 10t−t2, t ∈ [0,10]. D´eterminer la position x(t) de la voiture au temps t ∈ [0,10].
D´eterminer ´egalement quand l’acc´el´eration est nulle.
Liste 2004/2005
Les exercices (*) sont plus sp´ecialement destin´es aux informaticiens (aux autres aussi si l’occasion se pr´esente, surtout pour les chimistes).
1. Calcul int´egral, d´ebut
— (*) Pour chacun des cas suivants, d´eterminer sif est int´egrable surA.
f(x) = cos(p
|x|), A= [−1,1]; f(x) = x2
1 +x4, A=R; f(x) = 1
x3, A=]0,1] etA= [1,+∞[.
— Calculer les int´egrales suivantes (si c’est possible) Z π/3 2. Calculer l’aire de la partie du plan dont une description analytique est la suivante
n Donner aussi une repr´esentation graphique de cet ensemble.
3. Calculer (si possible) Z +∞
1. Suggestion. Par changements de variable, on aI=Rπ/2
0 ln(cos(x))dx=Rπ/2
0 ln(sin(x))dx=Rπ
π/2ln(sin(x))dx. Alors 2I=Rπ/2
0 ln(sin(2x)2 )dx=−π2ln(2) +I.
2. Suggestion.R+∞
1
5. (*) Montrer que4
6. La vitesse `a laquelle s’accroˆıt une population de virus est donn´ee au cours du temps par la fonction exp(3t), t≥0.
a) Avec ces donn´ees, est-il possible de d´eterminer la population au temps 0 ? Pourquoi ? Si la r´eponse est “oui”, d´eterminer cette population.
b) Sachant qu’au d´epart la population ´etait ´egale `a 1 (million d’individus), d´eterminer la population au tempst= 1.
7. (*) D´efinir le produit de composition de deux fonctions : si f et g sont d´efinies dans R et si l’int´egrale a un sens, on pose
(f∗g)(x) = Z
R
f(y)g(x−y)dy.
Propri´et´e d’associativit´e et de commutativit´e.
On consid`ere f =χ[0,1].
- pour toutm, la fonctionBmest nulle dans le compl´ementaire de [0, m], - pour toutm≥2, la fonctionBm appartient `a Cm−2(R),
8. A proposer aux ´etudiants
— Si la somme de deux fonctionsf, gest int´egrable sur [0,1] alors l’int´egrale de la sommef +g est ´egale `a la somme des int´egrales def et g. Vrai2 Faux2
— Sif, gsont deux fonctions continues et int´egrables sur [0,+∞[ alors a) toute combinaison lin´eaire def etg est aussi int´egrable sur[0,+∞[
b) l’int´egrale d’une combinaison lin´eaire de f et g est ´egale `a la combinaison lin´eaire des int´egrales.
Exprimer math´ematiquement la partie b) du r´esultat ´enonc´e ci-dessus.
— Une fonction continue sur [0,2[ est toujours int´egrable sur [0,2[ Vrai2 Faux2
— Une fonction continue sur [0,2[ est toujours int´egrable sur [0,1] Vrai2 Faux2
— Qu’appelle-t-on largeur d’un d´ecoupage ?
— On donne le d´ecoupage suivant de l’intervalle [0,1] : 0,1
5,1 4,1
3,1 2,1.
Que vaut la largeur de ce d´ecoupage ?
3. Suggestion. Par changements de variable, on aI=Rπ/2
0 ln(cos(x))dx=Rπ/2
0 ln(sin(x))dx=Rπ
π/2ln(sin(x))dx. Alors 2I=Rπ/2
0 ln(sin(2x)2 )dx=−π2ln(2) +I.
4. Suggestion.R+∞
1
— Si on augmente le nombre de points d’un d´ecoupage, on diminue toujours sa largeur.
Vrai2 Faux2
6.2 R´ esolution des exercices de la “liste type 2002/2003”
Exercice 1
— Comme f : x 7→ √
x est une fonction continue sur [1,2], ensemble born´e et ferm´e, elle y est int´egrable et on a
Z 2 int´egrable et on a
Z 1
2 est une fonction continue sur [0,2π], ensemble born´e et ferm´e, elle y est int´egrable et on a l’int´egrabilit´e en 0. Puisque 1
√x = 1
— Commef :t7→ln(t) est une fonction continue sur ]0,1], ensemble born´e non ferm´e, on doit ´etudier l’int´egrabilit´e en 0. Consid´erons lim
t→0+(t12ln(t)) et levons l’ind´etermination “0.∞” par application du th´eor`eme de l’Hospital.
SoitV =]0, ε[ avecε >0 assez petit. Les fonctionst7→ln(t) ett7→t−12 sont d´erivables dansV et (avecθ= 12<1) permet d’affirmer que la fonction est int´egrable en 0 et donc sur ]0,1]. Ainsi,
Z 1
Autre m´ethode: la fonctionf ´etant continue et n´egative sur l’intervalle d’int´egration, on peut v´erifier son int´egrabilit´e en 0 et calculer la valeur de son int´egrale par application de la d´efinition.
Si la limite lim
x→0+
Z 1 x
ln(t)dtest finie alorsf est int´egrable en 0 donc sur ]0,1] et la valeur de cette limite est aussi la valeur de l’int´egrale.
Comme
F(x) = Z 1
x
ln(t)dt= [tln(t)−t]1x=−1−xln(x) +x
lim
on l`eve l’ind´etermination “∞∞” par application du th´eor`eme de l’Hospital (les hypoth`eses ´etant v´erifi´ees). Ainsi, puisque
lim l’int´egrabilit´e en +∞. Pour cela, calculons lim
x→+∞
x2 . 1 1 +x2
. Cette limite existe et est finie puisqu’elle vaut 1. D`es lors, par le crit`ere d’int´egration enθavecθ= 2>1, cela prouve quef est int´egrable en +∞. Ainsi,
Z +∞ l’int´egrabilit´e en +∞. Consid´erons lim
x→+∞(x2 . x2e−2x) = lim
x→+∞(x4 . e−2x) ; cette limite vaut 0 car “`a l’infini, la fonction exponentielle domine toute puissance antagoniste dex”. Puisque cette limite existe et est finie, le crit`ere d’int´egration en θ (avec θ = 2> 1) permet d’affirmer que la
fonction est int´egrable en +∞et donc finalement sur [0,+∞[. Ainsi,
x2−1 est une fonction continue sur [2,+∞[, ensemble non born´e, on doit ´etudier l’int´egrabilit´e en +∞. Consid´erons lim
x→+∞
x2 . 1 x2−1
. Cette limite existe et est finie puisqu’elle vaut 1, ce qui prouve, par le crit`ere d’int´egration en θ avec θ = 2> 1, que f est int´egrable en +∞donc finalement sur [2,+∞[. Calculons tout d’abord une primitive def en d´ecomposant cette fonction en une somme de fractions simples. On a, pour toutx6=±1,
1
Repr´esentons graphiquement la r´egion dont on veut calculer l’aire.
-2 -1 1 2 pour coordonn´ees (0,0) et (1,1) ; d’autre part, les points d’intersection des graphiques def ethont pour coordonn´ees (0,0) et (2,4). Ainsi, puisque les fonctions `a int´egrer sont continues sur tout intervalle ferm´e et born´e, on a
6.3 Solutions des exercices de la “liste type 2003/2004”
Exercice 1
Exercice 3
-Exercice 4 Aire = 2√
2.
2 4 6
-1 -0.5 0.5 1
-X 6
Y y= cos(x)
y= sin(x)
Exercice 5
73
96 2 ln
e2+1 2
−2
√ 2
2 3 arctg 12
−1 √3
9 π Exercice 6
-Exercice 7
x(t) = 5t2−t33, t∈[0,10].
Acc´el´eration nulle sit= 5.
6.4 Solutions des exercices de la “liste type 2004/2005”
Exercice 1
Les deux premi`eres fonctions sont int´egrables surA, la troisi`eme est int´egrable sur [1,+∞[ mais non sur ]0,1].
1 4
π 6 +
√3 2 −1
! √
3−1 56√
10 −2e −2
−4 6 + ln(7) π
12
1
12ln(7) 12ln(2)
Exercice 2
L’aire hachur´ee vaut π4.
-1 -0.5 0.5 1
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-X 6
Y
y= sin2(πx4 ) y= cos2(πx4 )
La premi`ere int´egrale vaut
9 et la troisi`eme
3ln(4).
La deuxi`eme fonction n’est pas int´egrable en 1.
Exercice 4
—
Exercice 5
—
Exercice 6
a) Non, la population est d´efinie `a une constante additive pr`es.
b)P(1) = e3 de cours, la largeur de ce d´ecoupage vaut 12, faux.