A pr´ eparer AVANT de venir ` a la r´ ep´ etition
(Lors de la r´ep´etition, vous serez interrog´e sur ces points de th´eorie.) I. D´ecomposition en fractions simples
1. D´efinir la division de 2 polynˆomes.
2. D´efinir
a) fraction rationnelle b) fraction rationnelle propre c) fraction rationnelle simple
3. Quel est le processus `a suivre pour d´ecomposer une fraction rationnelle en une somme de fractions simples ?
II. Manipulation des fonctions ´el´ementaires 1. D´efinir les fonctions trigonom´etriques inverses.
2. Donner la propri´et´e faisant intervenir une somme et un produit a) pour l’exponentielle
b) pour le logarithme n´ep´erien
Pr´eambule
Cette liste concerne
— les d´ecompositions en fractions simples (utilis´ees notamment pour la primitivation et le calcul int´egral)
— et toujours . . . les fonctions ´el´ementaires et la manipulation de leurs valeurs et propri´et´es standards
A r´ esoudre PENDANT la r´ ep´ etition (et ` a achever ` a domicile si n´ ecessaire)
Lors de la r´ep´etition, les exercices I.(3, 6) et II(5) seront r´esolus par l’assistant.
I. D´ecomposition en fractions simples
D´ecomposer les fractions rationnelles suivantes en fractions rationnelles simples `a coefficients r´eels.
(1) 1
x2−4x+ 4, (2) x
−x2+ 2x+ 3, (3) x3 x3+ 1 (4) x2+ 1
3x+ 1, (5) x2−2
x2+ 2, (6) 2
x(x2−4x+ 4) (7) 2x2+ 4
x3−x2+x−1, (8) x3−2
x3−x2 (9) −2
(x2+ 1)(x+ 1)2
Si elles sont d´efinies, simplifier les expressions suivantes au maximum (1) ln
cosπ 3
+ ln
sin
4π 3
2!
, (2) tg ln(e3π/2)
, (3) exp(3 ln(2e)), (4) arcsin −
√ 3 2
! ,
(5) arcsin
sin 4π
5
, (6) arctg √3
3
!
, (7) tg
arctgπ 2
, (8) arctg
tg 4π
7
.
Liste 9 : limites, continuit´ e et d´ erivation
A pr´ eparer AVANT de venir ` a la r´ ep´ etition
(Lors de la r´ep´etition, vous serez interrog´e sur ces points de th´eorie) I. Limites des valeurs des fonctions
1. Si on calcule la limite d’une fonction
a) en un r´eel, quelle condition doit-il satisfaire ?
b) `a gauche (resp. `a droite) d’un r´eel, quelle condition doit-il satisfaire ?
c) en l’infini, quelle condition le domaine de d´efinition de la fonction doit-il satisfaire ? d) Mˆeme question pour une limite en +∞et en −∞.
Si cette condition est satisfaite alors le calcul de la limite peut ˆetre envisag´e ; sinon, le calcul n’a pas de sens. Attention, ce n’est pas parce qu’on peut envisager de calculer une limite que la limite existe toujours !
2. Enoncer le th´eor`eme de l’´etau pour une limite en un r´eel ainsi que pour une limite en l’infini.
3. Enoncer le th´eor`eme de la limite des fonctions compos´ees.
4. Qu’appelle-t-on ind´etermination et quels sont les diff´erents cas d’ind´etermination ? 5. Quel est le processus `a suivre dans le cas d’un calcul de limite ?
6. Comment calcule-t-on la limite en−∞(resp. en +∞) a) d’un polynˆome ?
b) d’une fraction rationnelle ?
7. Comment l`eve-t-on une ind´etermination du type “00” dans le cas d’une fraction rationnelle ? II. Continuit´e et d´erivation
1. Quand dit-on qu’une fonction est continue en un point de son domaine ?
2. A quelle(s) condition(s) une fonction compos´ee est-elle continue sur un intervalle deR? 3. Donner les domaines de continuit´e des fonctions ´el´ementaires.
4. (a) Quand dit-on qu’une fonction est d´erivable en un point de son domaine ? (b) Que vaut alors sa d´eriv´ee en ce point ?
5. Quelle interpr´etation graphique peut-on donner de la d´eriv´ee d’une fonction en un point de son domaine de d´erivabilit´e ?
6. Donner une ´equation cart´esienne de la tangente au graphique def en son point d’abscissex0 sif est d´erivable en ce point.
7. Quel est le lien entre continuit´e et d´erivabilit´e ?
8. (a) A quelle(s) condition(s) une fonction compos´ee est-elle d´erivable sur un intervalle ouvert deR? (b) Que vaut alors sa d´eriv´ee sur cet intervalle ?
9. Donner les domaines de d´erivabilit´e des fonctions ´el´ementaires ainsi que leurs d´eriv´ees.
10. Donner les ´enonc´es des th´eor`emes de d´erivation (a) d’une combinaison lin´eaire de fonctions.
(b) d’un produit de 2 fonctions.
(c) d’un quotient de 2 fonctions.
11. Quel est le lien entre la d´eriv´ee d’une fonction (resp. sa d´eriv´ee seconde) et sa croissance (resp. sa concavit´e) ?
12. Quel est le processus `a suivre pour calculer la d´eriv´ee d’une fonctionf (a) en tout point de son domaine de d´erivabilit´e ?
Pr´eambule
Cette liste concerne les limites et la d´erivation des fonctions (et des applications)
Ces notions et leurs propri´et´es sont utilis´ees dans de multiples contextes pour la mod´elisation de ph´enom`enes et le traitement de ces mod`eles.
En voici un exemple ´el´ementaire. La loi de chute libre des corps (mise en ´evidence d´ej`a par Galileo Galilei, 1564-1642, `a la fin du XVIeme si`ecle) affirme que lorsqu’on lˆache un corps pr`es de la surface de la Terre, la distance parcourue est proportionnelle au carr´e du temps durant lequel on le laisse tomber. Si on n´eglige la r´esistance de l’air, la distancey est donn´ee pary= 16t2lorsqu’elle est mesur´ee en pieds, et pary= 4,9 t2 lorsqu’elle est mesur´ee en m`etres2. Ainsi, la vitesse moyenne pendant les deux premi`eres secondes est
16.22−16.02
2 = 32 pieds par seconde et la vitesse moyenne entre la premi`ere et la deuxi`eme seconde est
16.22−16.12
1 = 48 pieds par seconde
Si on s’int´eresse plutˆot `a la vitese instantan´eeau tempst0, on est amen´e `a calculer les quotients 16.(t0+h)2−16.t20
h
pour des valeurs dehde plus en plus petites. Cela conduit bien sˆur `a la notion ded´eriv´eede la fonction t7→y(t) ent0. . .
A r´ esoudre PENDANT la r´ ep´ etition (et ` a achever ` a domicile si n´ ecessaire)
Lors de la r´ep´etition, les exercices I.2(a, c), I.3(5) et II.2(e), 3(a,b) seront r´esolus par l’as-sistant.
I. Exercices sur les limites des valeurs des fonctions 1. On a
lim
x→0+ln(x) =−∞.
Exprimer math´ematiquement explicitement la d´efinition quise cachederri`ere cette succession de symboles (quir´esumenten fait la d´efinition) et en donner une interpr´etation graphique.
2. Se rappeler les limites relatives aux fonctions ´el´ementaires et en d´eduire les quelques limites sui-vantes par application du th´eor`eme de la limite des fonctions compos´ees
(a) lim
x→0exp 1
x
, (b) lim
x→−∞
1
ln(x2), (c) lim
x→1+arctg 1
x−1
.
2. attention donc aux lois trouv´ees dans diverses r´ef´erences ! Prendre garde aux unit´es de mesure, au SI, etc
3. Calculer (si possible) les limites suivantes,sans appliquer le th´eor`eme de l’Hospital
II. Continuit´e et d´erivation
1. En appliquant la d´efinition, montrer quef :x7→3x2+xest d´erivable en 1 et donner la valeur de sa d´eriv´ee en ce point.
2. α) On donne des fonctions par les expressions explicites suivantes. En d´eterminer le domaine de d´efinition, de continuit´e, de d´erivabilit´e et en calculer la d´eriv´ee premi`ere.
(a)√5
3x2+ 1 (b) 1
√2 +x (c) 1
3x2+ 6x+ 3 (d)arctg(cos(x)) (e)p
sin(2x) (f) sin(cotg(x)) (g)earcos(x) (h)eex (i) ln(x4) (j) ln(x2+x−2) (k)(ln(4))x (l)x|x|
β) Repr´esenter la fonctionx7→x|x|dans un rep`ere orthonorm´e.
3. On donne la fonctiong d´erivable sur ]−1,1[ et la fonctionf :t7→f(t) =g(ln(t−1)).
a) D´eterminer le plus grand ouvert dans lequelf est d´erivable.
b) Calculer la d´eriv´ee de f en fonction de la d´eriv´ee de g.
c) Mˆemes questions sig est d´erivable sur ]0,4[ et sif est la fonctiony7→f(y) =g(p y2−4).
d) Mˆemes questions sigest d´erivable suri
−π