• Aucun résultat trouvé

d´ ecomposition en fractions simples et manipulation des fonctions ´ el´ ementaires

Dans le document MATHEMATIQUE, F. Bastin EXERCICES DE BASE (Page 46-51)

A pr´ eparer AVANT de venir ` a la r´ ep´ etition

(Lors de la r´ep´etition, vous serez interrog´e sur ces points de th´eorie.) I. D´ecomposition en fractions simples

1. D´efinir la division de 2 polynˆomes.

2. D´efinir

a) fraction rationnelle b) fraction rationnelle propre c) fraction rationnelle simple

3. Quel est le processus `a suivre pour d´ecomposer une fraction rationnelle en une somme de fractions simples ?

II. Manipulation des fonctions ´el´ementaires 1. D´efinir les fonctions trigonom´etriques inverses.

2. Donner la propri´et´e faisant intervenir une somme et un produit a) pour l’exponentielle

b) pour le logarithme n´ep´erien

Pr´eambule

Cette liste concerne

— les d´ecompositions en fractions simples (utilis´ees notamment pour la primitivation et le calcul int´egral)

— et toujours . . . les fonctions ´el´ementaires et la manipulation de leurs valeurs et propri´et´es standards

A r´ esoudre PENDANT la r´ ep´ etition (et ` a achever ` a domicile si n´ ecessaire)

Lors de la r´ep´etition, les exercices I.(3, 6) et II(5) seront r´esolus par l’assistant.

I. D´ecomposition en fractions simples

D´ecomposer les fractions rationnelles suivantes en fractions rationnelles simples `a coefficients r´eels.

(1) 1

x2−4x+ 4, (2) x

−x2+ 2x+ 3, (3) x3 x3+ 1 (4) x2+ 1

3x+ 1, (5) x2−2

x2+ 2, (6) 2

x(x2−4x+ 4) (7) 2x2+ 4

x3−x2+x−1, (8) x3−2

x3−x2 (9) −2

(x2+ 1)(x+ 1)2

Si elles sont d´efinies, simplifier les expressions suivantes au maximum (1) ln

cosπ 3

+ ln

sin

4π 3

2!

, (2) tg ln(e/2)

, (3) exp(3 ln(2e)), (4) arcsin −

√ 3 2

! ,

(5) arcsin

sin 4π

5

, (6) arctg √3

3

!

, (7) tg

arctgπ 2

, (8) arctg

tg 4π

7

.

Liste 9 : limites, continuit´ e et d´ erivation

A pr´ eparer AVANT de venir ` a la r´ ep´ etition

(Lors de la r´ep´etition, vous serez interrog´e sur ces points de th´eorie) I. Limites des valeurs des fonctions

1. Si on calcule la limite d’une fonction

a) en un r´eel, quelle condition doit-il satisfaire ?

b) `a gauche (resp. `a droite) d’un r´eel, quelle condition doit-il satisfaire ?

c) en l’infini, quelle condition le domaine de d´efinition de la fonction doit-il satisfaire ? d) Mˆeme question pour une limite en +∞et en −∞.

Si cette condition est satisfaite alors le calcul de la limite peut ˆetre envisag´e ; sinon, le calcul n’a pas de sens. Attention, ce n’est pas parce qu’on peut envisager de calculer une limite que la limite existe toujours !

2. Enoncer le th´eor`eme de l’´etau pour une limite en un r´eel ainsi que pour une limite en l’infini.

3. Enoncer le th´eor`eme de la limite des fonctions compos´ees.

4. Qu’appelle-t-on ind´etermination et quels sont les diff´erents cas d’ind´etermination ? 5. Quel est le processus `a suivre dans le cas d’un calcul de limite ?

6. Comment calcule-t-on la limite en−∞(resp. en +∞) a) d’un polynˆome ?

b) d’une fraction rationnelle ?

7. Comment l`eve-t-on une ind´etermination du type “00” dans le cas d’une fraction rationnelle ? II. Continuit´e et d´erivation

1. Quand dit-on qu’une fonction est continue en un point de son domaine ?

2. A quelle(s) condition(s) une fonction compos´ee est-elle continue sur un intervalle deR? 3. Donner les domaines de continuit´e des fonctions ´el´ementaires.

4. (a) Quand dit-on qu’une fonction est d´erivable en un point de son domaine ? (b) Que vaut alors sa d´eriv´ee en ce point ?

5. Quelle interpr´etation graphique peut-on donner de la d´eriv´ee d’une fonction en un point de son domaine de d´erivabilit´e ?

6. Donner une ´equation cart´esienne de la tangente au graphique def en son point d’abscissex0 sif est d´erivable en ce point.

7. Quel est le lien entre continuit´e et d´erivabilit´e ?

8. (a) A quelle(s) condition(s) une fonction compos´ee est-elle d´erivable sur un intervalle ouvert deR? (b) Que vaut alors sa d´eriv´ee sur cet intervalle ?

9. Donner les domaines de d´erivabilit´e des fonctions ´el´ementaires ainsi que leurs d´eriv´ees.

10. Donner les ´enonc´es des th´eor`emes de d´erivation (a) d’une combinaison lin´eaire de fonctions.

(b) d’un produit de 2 fonctions.

(c) d’un quotient de 2 fonctions.

11. Quel est le lien entre la d´eriv´ee d’une fonction (resp. sa d´eriv´ee seconde) et sa croissance (resp. sa concavit´e) ?

12. Quel est le processus `a suivre pour calculer la d´eriv´ee d’une fonctionf (a) en tout point de son domaine de d´erivabilit´e ?

Pr´eambule

Cette liste concerne les limites et la d´erivation des fonctions (et des applications)

Ces notions et leurs propri´et´es sont utilis´ees dans de multiples contextes pour la mod´elisation de ph´enom`enes et le traitement de ces mod`eles.

En voici un exemple ´el´ementaire. La loi de chute libre des corps (mise en ´evidence d´ej`a par Galileo Galilei, 1564-1642, `a la fin du XVIeme si`ecle) affirme que lorsqu’on lˆache un corps pr`es de la surface de la Terre, la distance parcourue est proportionnelle au carr´e du temps durant lequel on le laisse tomber. Si on n´eglige la r´esistance de l’air, la distancey est donn´ee pary= 16t2lorsqu’elle est mesur´ee en pieds, et pary= 4,9 t2 lorsqu’elle est mesur´ee en m`etres2. Ainsi, la vitesse moyenne pendant les deux premi`eres secondes est

16.22−16.02

2 = 32 pieds par seconde et la vitesse moyenne entre la premi`ere et la deuxi`eme seconde est

16.22−16.12

1 = 48 pieds par seconde

Si on s’int´eresse plutˆot `a la vitese instantan´eeau tempst0, on est amen´e `a calculer les quotients 16.(t0+h)2−16.t20

h

pour des valeurs dehde plus en plus petites. Cela conduit bien sˆur `a la notion ded´eriv´eede la fonction t7→y(t) ent0. . .

A r´ esoudre PENDANT la r´ ep´ etition (et ` a achever ` a domicile si n´ ecessaire)

Lors de la r´ep´etition, les exercices I.2(a, c), I.3(5) et II.2(e), 3(a,b) seront r´esolus par l’as-sistant.

I. Exercices sur les limites des valeurs des fonctions 1. On a

lim

x→0+ln(x) =−∞.

Exprimer math´ematiquement explicitement la d´efinition quise cachederri`ere cette succession de symboles (quir´esumenten fait la d´efinition) et en donner une interpr´etation graphique.

2. Se rappeler les limites relatives aux fonctions ´el´ementaires et en d´eduire les quelques limites sui-vantes par application du th´eor`eme de la limite des fonctions compos´ees

(a) lim

x→0exp 1

x

, (b) lim

x→−∞

1

ln(x2), (c) lim

x→1+arctg 1

x−1

.

2. attention donc aux lois trouv´ees dans diverses r´ef´erences ! Prendre garde aux unit´es de mesure, au SI, etc

3. Calculer (si possible) les limites suivantes,sans appliquer le th´eor`eme de l’Hospital

II. Continuit´e et d´erivation

1. En appliquant la d´efinition, montrer quef :x7→3x2+xest d´erivable en 1 et donner la valeur de sa d´eriv´ee en ce point.

2. α) On donne des fonctions par les expressions explicites suivantes. En d´eterminer le domaine de d´efinition, de continuit´e, de d´erivabilit´e et en calculer la d´eriv´ee premi`ere.

(a)√5

3x2+ 1 (b) 1

√2 +x (c) 1

3x2+ 6x+ 3 (d)arctg(cos(x)) (e)p

sin(2x) (f) sin(cotg(x)) (g)earcos(x) (h)eex (i) ln(x4) (j) ln(x2+x−2) (k)(ln(4))x (l)x|x|

β) Repr´esenter la fonctionx7→x|x|dans un rep`ere orthonorm´e.

3. On donne la fonctiong d´erivable sur ]−1,1[ et la fonctionf :t7→f(t) =g(ln(t−1)).

a) D´eterminer le plus grand ouvert dans lequelf est d´erivable.

b) Calculer la d´eriv´ee de f en fonction de la d´eriv´ee de g.

c) Mˆemes questions sig est d´erivable sur ]0,4[ et sif est la fonctiony7→f(y) =g(p y2−4).

d) Mˆemes questions sigest d´erivable suri

−π

Dans le document MATHEMATIQUE, F. Bastin EXERCICES DE BASE (Page 46-51)