´ equations diff´ erentielles (2 partie)
3.1 Exercices de base sur le chapitre 1 (partie A)
Dans cette section figurent quelques exercices de base (dont il a ´et´e question durant les ann´ees acad´emiques mentionn´ees).
Dans tout ce qui suit, sauf mention du contraire,xest l’inconnue r´eelle.
Liste 2002/2003
1. R´esoudre les ´equations suivantes.
1) 3x+73 =−4x 2) 2x2+ 5x−3 = 0
3) (2x−1)2= (−x+ 3)2 4)|x−2|=| −x+ 1|
2. R´esoudre les in´equations suivantes.
1) 2x2+ 5x−3≤0 2) (x−1) (2x+ 3)3
2x+ 1 ≥0 3) 0< x
2x−1 ≤1
4)|2x+ 1|>3
5)|x|(x+ 1)≥ −x+ 2
3. Calculer
p(−4)2, p3 (−8)2,
√
4x2, 3
√
8x3, p3
−8x3. 4. Ecrire les sommes suivantes `a l’aide d’un symbole sommatoire.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15, 3−9 + 27−81 + 243.
5. Que vaut le coefficient du terme enx27 dans le d´eveloppement de (1−x)100?
6. Les ensembles suivants admettent-ils une borne inf´erieure, sup´erieure ? Si oui, que vaut-elle ? Est-elle r´ealis´ee ?
[1,√ 3[,
(−1)m
m :m∈N0
,
1
1 +m2 :m∈N0
, [0,√ 3]∩Q.
7. Pouvoir d´eterminer les composantes de vecteurs d’apr`es une repr´esentation graphique. Pouvoir repr´esenter des vecteurs dont on donne les composantes. Voici un exemple.
D´eterminer (approximativement) les composantes de~xdans la base~u, ~v.
59
-~ u
X
~v
Q Q
QQs ~x
Dans une base non orthogonale (resp. une base orthonorm´ee) ~u, ~v, repr´esenter le vecteur de com-posantes (2,−1) et le vecteur−~u+12~v.
8. a) D´eterminer l’´equation cart´esienne de la droited, parall`ele `a la droited0d’´equation 3x+y−1 = 0 et passant par le pointAde coordonn´ees (2,3). Repr´esenter ces droites dans un rep`ere non orthogonal puis dans un rep`ere orthonorm´e.
b) D´eterminer l’´equation cart´esienne de la droited, orthogonale `a la droited0d’´equation 3x+y−1 = 0 et passant par le pointAde coordonn´ees (2,3). Repr´esenter ces droites dans un rep`ere orthonorm´e.
c) D´eterminer l’´equation cart´esienne de la droitedpassant par le point Ade coordonn´ees (1,2) et le pointB de coordonn´ees (2,1). Mˆeme question mais avecA(1,2) etB(1,3).
9. D´eterminer les parties r´eelle et imaginaire, le module et le conjugu´e de chacun des complexes suivants.
i, 1
i, i(−i+ 3), 2i+ 1
2i−1, 2i+ 1
−2i+ 1.
10. QCM (cf exemples d’´enonc´es dans ce qui suit).
11. Repr´esenter graphiquement les ensembles suivants {(x, x2) : x∈R}
{(x, y) : x, y∈R, x2=y2}
{(x, y) : x, y∈R,|x|+|y|= 1}
{(x, y) : x, y∈R, x+y≤1 etx2+y2≥1}
12. Repr´esenter graphiquement l’ensemble ferm´e des points du plan born´e par le demi cercle centr´e `a l’origine et de rayon 1, par la repr´esentation graphique de {(x, y)∈R2 : y =x2} et qui ont une ordonn´ee positive.
13. D´ecrire analytiquement les ensembles ferm´es hachur´es suivants
- X Y 6
−1 1
HH HH
HH 2
1. R´esoudre les ´equations suivantes.
1) −2x+75 =−3x 2. R´esoudre les in´equations suivantes.
1)−2x+ 3≥0 4. Ecrire les sommes suivantes `a l’aide d’un symbole sommatoire.
1−2 + 3−4 + 5−6 + 7, 3−9 + 27−81 + 243.
5. Que vaut le coefficient du terme enx27 dans le d´eveloppement de (1−x)50?
6. Les ensembles suivants admettent-ils une borne inf´erieure, sup´erieure ? Si oui, que vaut-elle ? Est-elle r´ealis´ee ?
7. Dans le plan, pouvoir d´eterminer les composantes de vecteurs d’apr`es une repr´esentation graphique.
Pouvoir repr´esenter des vecteurs dont on donne les composantes.
8. On se place dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e. On demande
- l’´equation de la droite passant par le point de coordonn´ees (1,2) et orthogonale `a la droite d’´equation 2y+ 3x+ 4 = 0,
- des ´equations param´etriques de la droite d’´equation 2y+ 3x+ 4 = 0,
- l’´equation cart´esienne de la droite passant par les points de coordonn´ees (1,2) et (−2,3). Mˆeme question mais avec les points de coordonn´ees (2,2) et (2,−7).
9. D´eterminer les parties r´eelle et imaginaire, le module et le conjugu´e de chacun des complexes suivants.
2iz+ 3 = 0, z + 4 = 0, z +z+ 1 = 0.
11. Repr´esenter graphiquement les ensembles suivants {(x,1−x2) : x∈R}
{(x, y) : x, y∈R,|x|+|y| ≤1}
{(x, y) : x, y∈R, x2+ 2x+y2≤0}
{(x, y) : x, y∈R, x+y≤1 etx2+y2≥1}
12. Repr´esenter graphiquement l’ensemble des points du plan situ´es `a l’int´erieur du cercle centr´e au point de coordonn´ees (0,1), de rayon 2, et dont l’ordonn´ee est plus grande ou ´egale au carr´e de l’abscisse.
13. D´ecrire analytiquement les ensembles hachur´es suivants (dans le premier graphique, l’´equation de la courbe estxy= 1 et cette courbe fait partie de l’ensemble)
-6
1 2
−1 1
A A
A A
A A
14. R´esoudre les syst`emes suivants 1)
2x−3y= 0
−4x+ 6y= 1 , 2)
x−2y= 1
−4x+ 6y= 1 , 3)
x−2y+z= 1
−4x+z= 0 , 4)
x−2y+z= 1
−4x+z= 0 x+y+z= 0 15. QCM
(a) En ´electricit´e, on trouve la formule R1 =1a +1b. Alors la valeur deaest
a=R−b2 a=Rb2 a=R+bRb 2 a=R−b1 2 a= b−RRb 2 aucune r´eponse correcte2 (b) Siaest un r´eel, alors √4
a4 vaut toujours a2 −a2 ±a2 aucune r´eponse correcte2 (c) Siaest un r´eel, alors√3
−a9vaut toujoursa32 −a32 ±a32 aucune r´eponse correcte2 (d) L’ensemble des solutions de l’in´equation|x|3<|x|2est l’ensemble
[−1,1[2 {x∈R:|x|<1}2 ]−1,1[\{0}2 ]− ∞,1[2 aucune r´eponse correcte2 (e) La valeur absolue de la diff´erence entre deux r´eels est toujours
inf´erieure ou ´egale `a la diff´erence entre les valeurs absolues de ces r´eels2 sup´erieure ou ´egale `a la valeur absolue de la somme entre ces r´eels2
sup´erieure ou ´egale `a la valeur absolue de la diff´erence entre les valeurs absolues de ces r´eels2 sup´erieure ou ´egale `a la moiti´e du produit entre ces r´eels2
aucune r´eponse correcte2 (f) L’ensembleZ∩]− ∞,√
2[
admet une borne inf´erieure r´ealis´ee et une borne sup´erieure r´ealis´ee2 admet une borne inf´erieure r´ealis´ee et une borne sup´erieure non r´ealis´ee2 n’admet pas de borne inf´erieure mais bien une borne sup´erieure non r´ealis´ee2 n’admet pas de borne inf´erieure mais bien une borne sup´erieure r´ealis´ee2 aucune proposition correcte2
(g) Le carr´e d’un nombre complexe est toujours un nombre positif2 un nombre n´egatif2 un nombre imaginaire pur2 aucune r´eponse correcte2
(h) La partie r´eelle du produit de deux nombres complexes est toujours ´egale au produit des parties r´eelles de ces nombres2
`
a la somme des parties r´eelles de ces nombres2
`
a la somme de la partie r´eelle de l’un et de la partie imaginaire de l’autre2 au produit de la partie r´eelle de l’un et de la partie imaginaire de l’autre2 aucune r´eponse correcte2
(i) Le conjugu´e du complexei+1i est i+1−i2 −i+1i 2 −i+1−i 2 aucune r´eponse correcte2 (j) Dans le plan muni d’un rep`ere, une droite a toujours une ´equation cart´esienne du type
y=mx+p Vrai2 Faux2
Liste 2004/2005
1. R´esoudre les ´equations suivantes.
1) −1 3x+1
4 =−1
2x 2) 4x3−x= 0 3) (−2x+ 1)2= 2x−1 4)|2x+ 1|=| −x|
2. R´esoudre les in´equations suivantes.
1) 1
4. Ecrire les sommes suivantes `a l’aide d’un symbole sommatoire.
s1= 1 + 22+ 33+ 44+ 55, s2= 1−1 2+1
3 −1 4. Calculer les sommes suivantes (rest un r´eel donn´e)
S1=
6. Les ensembles suivants admettent-ils une borne inf´erieure, sup´erieure ? Si oui, que vaut-elle ? Est-elle r´ealis´ee ? 7. Dans le plan, pouvoir d´eterminer les composantes de vecteurs d’apr`es une repr´esentation graphique.
Pouvoir repr´esenter des vecteurs dont on donne les composantes.
8. On se place dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e. On demande
- l’´equation de la droite passant par le point de coordonn´ees (−1,0) et orthogonale `a la droite d’´equationy−3x+ 4 = 0,
- des ´equations param´etriques de la droite d’´equation 2x+ 3y+ 4 = 0,
- l’´equation cart´esienne de la droite passant par les points de coordonn´ees (−1,2) et (2,3). Mˆeme question mais avec les points de coordonn´ees (2,2) et (0,2).
9. Repr´esenter graphiquement les ensembles suivants {(x,2√
l’axe Y et dont l’excentricit´e vaut 23, et `a l’ext´erieur du cercle centr´e au point de coordonn´ees (1,0) et de rayon 1. Donner aussi une description analytique de cet ensemble.
11. D´ecrire analytiquement l’ensemble hachur´e suivant
-6
1 2
−1 1
A A
A A
A A
12. R´esoudre les syst`emes suivants 1)
2y−3x= 0
−4y+ 6x= 1 , 2)
y−2x= 1
−4y+ 6x= 1 , 3)
y−2x+z= 1
−4y+z= 0 , 4)
y−2x+z= 1
−4y+z= 0 x+y+z= 0 13. QCM
(a) Le cube d’un r´eel non nul et de son oppos´e sont toujours ´egaux. Vrai2 Faux2 (b) Sirest un r´eel, alors p4
(−r)8 vautr22 −r22 ±r22 aucune r´eponse correcte2 (c) L’ensemble des solutions de l’in´equation|x|3<|x|2est l’ensemble
[−1,1[2 {x∈R:|x|<1}2 ]−1,1[\{0}2 ]− ∞,1[2 aucune r´eponse correcte2 (d) La valeur absolue de la somme entre deux r´eels est toujours
inf´erieure ou ´egale `a la diff´erence entre les valeurs absolues de ces r´eels2 inf´erieure ou ´egale `a la somme entre les valeurs absolues de ces r´eels2 sup´erieure ou ´egale `a la somme entre les valeurs absolues de ces r´eels2 sup´erieure ou ´egale `a la moiti´e du produit entre ces r´eels2
aucune r´eponse correcte2
(e) Etant donn´e deux vecteurs non nuls, tout autre vecteur du plan peut se d´ecomposer de mani`ere unique comme combinaison lin´eaire de ceux-ci Vrai2 Faux2 14. A proposer aux ´etudiants.
– Exprimer math´ematiquement la question (d) du QCM ci-dessus.
– Exprimer math´ematiquement que l’addition des vecteurs est une op´eration associative.
– Soient un r´eel strictement positifret un r´eely.
a) Sixd´esigne un autre r´eel, exprimer math´ematiquement que la distance dex`ayest inf´erieure ou ´egale `a r.
b) Sous forme d’intervalle, d´ecrire l’ensemble des r´eels dont la distance `ayest inf´erieure ou ´egale
` a r.
– Soient les r´eelsa, b. On consid`ere les in´egalit´es
(1)a2≤b2 (2)a≤b.
R´epondre par vrai ou faux `a chacune des questions suivantes et justifier votre r´eponse.
– Quels que soient a, b, l’in´egalit´e (1) est une condition suffisante pour que l’in´egalit´e (2) soit vraie
– Quels que soient a, b, l’in´egalit´e (1) est une condition n´ecessaire pour que l’in´egalit´e (2) soit vraie
– Quels que soient a, b, l’in´egalit´e (2) est une condition suffisante pour que l’in´egalit´e (1) soit vraie
– Quels que soient a, b, l’in´egalit´e (2) est une condition n´ecessaire pour que l’in´egalit´e (1) soit vraie
– Quels que soienta, b, les deux in´egalit´es sont ´equivalentes.
15. D´eterminer les parties r´eelle et imaginaire, le module et le conjugu´e de chacun des complexes suivants.
i+ 1, (1 +i)2, (2i+ 1)(−i+ 3), 2i+ 1 i+ 1 16. R´esoudre les ´equations suivantes dansCet en repr´esenter les solutions :
iz2+ 1 = 0, 4z2+ 1 = 0, z2−z+ 1 = 0.