R´ esolution des exercices de la “liste type 2002/2003”

Exercice 1

1. Puisque tout terme qui change de membre change de signe, on a 3x+7

3 =−4x⇔3x+ 4x=−7

3 ⇔7x=−7

3 ⇔x=−1 3. La solution de cette ´equation est donc−¹₃.

2. Calculons ∆ = 5²−4.2.(−3) = 49>0 ; d`es lors, on a x=−5 + 7

4 oux= −5−7

4 ⇔x= 1

2 oux=−3.

L’ensemble des solutions de cette ´equation est S={−3,1/2}.

3. L’´equation donn´ee est ´equivalente `a (2x−1)²−(−x+ 3)² = 0. Le premier membre ´etant une diff´erence de deux carr´es, on peut le factoriser ; on a alors

(2x−1) + (−x+ 3) (2x−1)−(−x+ 3)

= 0⇔(x+ 2)(3x−4) = 0

⇔x+ 2 = 0 ou 3x−4 = 0⇔x=−2 oux=⁴₃. L’ensemble des solutions de cette ´equation est S={−2,4/3}.

4. Vu la d´efinition de la valeur absolue d’un r´eel, notons que

|a|=|b| ⇔

a=bsiaet bsont de mˆeme signe a=−bsiaetb sont de signes diff´erents.

Ainsi,

|x−2|=| −x+ 1| ⇔x−2 =−x+ 1 oux−2 =−(−x+ 1)⇔2x= 3 ou 0x= 1⇔x= 3 2, la seconde ´equation ´etant impossible. La solution de cette ´equation est ³₂.

Exercice 2

1. Les z´eros du trinˆome 2x²+ 5x−3 sont−3 et ¹₂ (cfr exercice 1(2)). Comme le coefficient dex² est positif, le trinˆome est n´egatif pour les valeurs dexcomprises entre −3 et ¹₂. Ainsi, l’ensemble des solutions estS= [−3,¹₂].

2. Pour r´esoudre cette in´equation, il faut ´etudier le signe de la fraction en d´eterminant le signe de chaque facteur ; on applique ensuite la r`egle des signes pour un produit.

Si f(x) = (x−1)(2x+ 3)³

2x+ 1 , alors on a

x −3/2 −1/2 1

x−1 − − − − − 0 +

(2x+ 3)³ − 0 + + + + +

2x+ 1 − − − 0 + + +

f(x) − 0 + @ − 0 +

L’ensemble des solutions de cette in´equation estS= [−³₂,−¹₂[∪[1,+∞[.

ces in´equations.

Pour la premi`ere, on peut repr´esenter le signe de la fraction par

-x 0 1/2

x

2x−1 + 0 −

@ +

L’ensemble des solutions est donc S1=]− ∞,0[∪]¹₂,+∞[.

Pour r´esoudre la seconde in´equation, on doit ramener tous les termes dans un mˆeme membre puis factoriser, ce qui donne successivement

x

2x−1 −1≤0⇔ x−2x+ 1

2x−1 ≤0⇔ −x+ 1 2x−1 ≤0.

Une ´etude du signe de la fraction montre que

-x 1/2 1

−x+1

2x−1 − @ + 0 −

Ainsi, l’ensemble des solutions est S2=]− ∞,¹₂[∪[1,+∞[.

D`es lors, l’ensemble des solutions du syst`eme s’obtient en prenant les valeurs de xcommunes `aS1

et S2, donc en d´eterminant l’intersection de ces deux ensembles. On a S=S1∩S2=]− ∞,0[∪[1,+∞[.

4. Puisque |2x+ 1|=

2x+ 1 si 2x+ 1≥0

−2x−1 si 2x+ 1<0 , l’in´equation donn´ee est ´equivalente `a 2x+ 1>3 six≥ −¹₂

−2x−1>3 six <−¹₂ .

Ainsi, six≥ −1/2, on a 2x >2⇔x >1 et l’ensemble des solutions estS1=]1,+∞[ ; six <−1/2, on a −2x >4⇔x <−2, ce qui donne comme ensemble de solutionsS2=]− ∞,−2[.

D`es lors, l’ensemble des solutions de l’in´equation donn´ee est S=S1∪S2=]− ∞,−2[∪]1,+∞[.

5. Vu la d´efinition de la valeur absolue dex, l’in´equation est ´equivalente `a x(x+ 1)≥ −x+ 2 six≥0 (1)

−x(x+ 1)≥ −x+ 2 six <0 (2)

R´esolvons l’in´equation (1) : on a x²+x+x−2≥0⇔x²+2x−2≥0, et comme ∆ = 4−4.(−2) = 12, les z´eros du trinˆomex²+ 2x−2 sont donn´es par ⁻²⁺²

√3

2 =−1 +√

3 et ⁻²⁻²

√3

2 =−1−√

3.

L’´etude du signe du trinˆome montre que

-x −1−√

3 −1 +√

3

x²+ 2x−2 + 0 − 0 +

et puisquex≥0, l’ensemble des solutions de (1) estS1= [−1 +√ 3,+∞[.

Envisageons `a pr´esent l’in´equation (2) : on a −x²−x+x−2 ≥ 0 ⇔ x²+ 2 ≤ 0, in´equation impossible ; elle n’est, en effet, v´erifi´ee par aucune valeur r´eelle dexet doncS₂=φ. Ainsi, l’ensemble des solutions est

S =S₁= [−1 +√ 3,+∞[.

Exercice 3 – p

(−4)²=| −4|= 4 – p³

(−8)²= (√³

−8)²= (−2)²= 4 – √

4x²=|2x|= 2|x|

– √³

8x³= 2x – √³

−8x³=−2x Exercice 4

La notation n’´etant pas unique, nous donnerons ici une des solutions possibles.

La premi`ere expression est la somme des naturels impairs de 1 `a 15 inclus. Comme tout naturel impair peut toujours ˆetre consid´er´e comme un multiple de 2 auquel on ajoute 1, la somme donn´ee peut s’´ecrire sous la forme

7

X

k=0

(2k+ 1).

La deuxi`eme expression est une somme de termes, alternativement positifs et n´egatifs, de puissances de 3 qu’on peut noter sous la forme 3^k. Pour que les termes de la somme aient des signes qui alternent, on multipliera chaque puissance de 3 par une puissance de (−1). Ainsi, la somme donn´ee peut s’´ecrire

5

X

k=1

(−1)^k+1 3^k. Exercice 5

Vu la formule du binˆome de Newton, on a (1−x)¹⁰⁰=

1 + (−x) ¹⁰⁰

=

100

X

k=0

C₁₀₀^k (−x)^k 1^100−k =

100

X

k=0

C₁₀₀^k (−1)^k x^k.

Le coefficient du terme enx²⁷ est donn´e par C₁₀₀^k (−1)^k pourk= 27 ; ce coefficient vaut donc−C₁₀₀²⁷. Exercice 6

– L’ensemble [1,√

3[ admet 1 comme borne inf´erieure et √

3 comme borne sup´erieure ; la borne inf´erieure est r´ealis´ee puisque c’est un ´el´ement de l’ensemble donn´e tandis que la borne sup´erieure ne l’est pas.

– Consid´erons l’ensemble {⁽⁻¹⁾_m^m :m∈N0}={−1,¹₂,−¹₃,¹₄, . . .}. Cet ensemble est born´e inf´ erieure-ment par −1 et sup´erieurement par ¹₂, les bornes ´etant r´ealis´ees.

– Soit{_1+m¹ 2 :m∈N0}={¹₂,¹₅,₁₀¹,₁₇¹, . . .}. Cet ensemble est born´e inf´erieurement par 0 (borne non r´ealis´ee) et sup´erieurement par ¹₂ (borne r´ealis´ee).

– L’ensemble [0,√

3]∩Q est constitu´e de tous les nombres rationnels compris entre 0 et √

3 ; il est donc born´e inf´erieurement par 0 (borne r´ealis´ee) et sup´erieurement par√

3 (borne non r´ealis´ee).

Exercice 7

Pour d´eterminer les composantes de ~x dans la base ~u, ~v, d´ecomposons ~x comme somme de x~₁, pro-jection de ~x sur la droite engendr´ee par ~u parall`element `a ~v, et de x~₂, projection de ~x sur la droite engendr´ee par ~v parall`element `a ~u. On a approximativement x~₁= 2~u et x~₂=−¹₂~v. On peut donc ´ecrire

~

x= 2~u−¹₂~v et les composantes de ~x dans la base ~u, ~v sont (2,−¹₂).

Si le vecteur ~t a pour composantes (2,−1) dans la base ~u, ~v, on a alors ~t= 2~u−~v. Repr´esenter ~uet ~v li´es en un mˆeme point. Ensuite, par l’extr´emit´e du vecteur 2~u, tracer la parall`ele `a la droite engendr´ee par

~v et par l’extr´emit´e du vecteur −~v, tracer la parall`ele `a la droite engendr´ee par ~u. Le point d’intersection de ces deux parall`eles d´etermine l’extr´emit´e du vecteur ~t.

La d´emarche est analogue pour le vecteur −~u+¹₂~v.

On d´etermine la valeur de k en exprimant que dpasse par le point A c’est-`a-dire que ses coordonn´ees (2,3) v´erifient (*). Ainsi, on a 6 + 3 +k= 0, ce qui donne k=−9 ;da donc pour ´equation cart´esienne 3x+y−9 = 0.

Pour repr´esenter la droite d⁰ consid´erons deux points distincts qui lui appartiennent, par exemple, les points de coordonn´ees (0,1) et (1,−2). Pour repr´esenterd, on trace la parall`ele `ad⁰ passant parA.

Rep`ere non orthogonal

-X

Rep`ere orthonorm´e

b) La droited⁰ d’´equation 3x+y−1 = 0 a pour coefficient angulaire−3 ; le coefficient angulaire de toute droite orthogonale `ad<sup>0</sup>est donc ´egal `a ¹₃ etda pour ´equation cart´esienne une ´equation du typey=¹₃x+k, aveck∈R. Pour d´eterminer la valeur dek, exprimons quedpasse par le pointA de coordonn´ees (2,3), ce qui donne 3 = ²₃+k. Ainsi,kvaut ⁷₃ et da pour ´equationy= ¹₃x+⁷₃ ou encorex−3y+ 7 = 0 si on

´

ecrit l’´equation sous sa forme canonique.

c) Dans le premier cas, le coefficient angulaire de la droited vaut ²⁻¹₁₋₂ =−1 ;da donc une ´equation du typey=−x+k, avec k∈R. Commedpasse par le pointA de coordonn´ees (1,2), on a 2 =−1 +k ou

encorek= 3. Ainsi,da pour ´equationx+y−3 = 0.

Dans le second cas, comme les abscisses des pointsA et B sont identiques et ´egales `a 1, la droiteAB a pour ´equationx−1 = 0.

Exercice 9

Rappelons tout d’abord que si z = a+ib (a, b ∈ R) alors sa partie r´eelle, not´ee <z, est a, sa partie imaginaire, not´ee =z, est b, son module, not´e |z|, est √

a²+b² et son conjugu´e, not´e z, est a−ib.

Rappelons aussi quez.z=|z|².

Ecrivons les diff´erentes expressions donn´ees sous la forme a+ib; on a 1)i= 0 + 1i

2) 1

i =−isi on multiplie num´erateur et d´enominateur par−i, conjugu´e dei 3)i(−i+ 3) =−i²+ 3i= 1 + 3ipuisque i²=−1

4) 2i+ 1

2i−1 = (1 + 2i)(−1−2i)

(−1)²+ 2² = −1−4i−4i²

5 = −1 + 4−4i

5 = 3−4i

5 si on multiplie num´erateur et d´enominateur par−1−2i, conjugu´e de−1 + 2i

5) 2i+ 1

−2i+ 1 = (1 + 2i)(1 + 2i)

1²+ (−2)² = 1 + 4i+ 4i²

5 =1−4 + 4i

5 =−3 + 4i

5 (mˆeme d´emarche que ci-dessus).

Ainsi,

z <z =z |z| z

i 0 1 1 −i

1/i 0 −1 1 i

i(−i+ 3) 1 3 √

10 1−3i 2i+ 1

2i−1

3

5 −⁴₅ 1 ³⁺⁴ⁱ₅ 2i+ 1

−2i+ 1 −³₅ ⁴₅ 1 ⁻³⁻⁴ⁱ₅

Exercice 11

Repr´esentation graphique de Repr´esentation graphique de {(x, x²) :x∈R} {(x, y) :x, y∈R,|x|+|y|= 1}.

-2 -1 1 2

1 2 3 4

-X 6

Y

y=x²

-−1 1 X

6 Y

−1 1

x−y= 1

−x+y= 1

@

@

@

@

@

@ x+y= 1

@

@

@

@

@

@ x+y=−1

-−1 1 X

6 Y

−1 1

y=x

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@@ y=−x

-1

1

-1 1

-X 6

Y

x²+y²= 1

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@ x+y= 1

Les points des bords sont compris dans l’ensemble.

Exercice 12

Repr´esentation graphique de {(x, y)∈R²:y≥0, y≤√

1−x², y≥x²}.

-2 -1 1

1 2 3 4

2

-X 6Y

y=√ 1−x²

y=x² Les points des bords sont compris dans l’ensemble.

Exercice 13

Le premier ensemble hachur´e est une repr´esentation de

A={(x, y)∈R²:y≥0, x−y+ 1≥0, x+ 2y−2≤0}, les droites repr´esent´ees ayant pour ´equationy = 0, x−y+ 1 = 0 et x+ 2y−2 = 0.

Cependant, on peut ´egalement d´ecrireApar

{(x, y)∈R²:y∈[0,1], x∈[y−1,2−2y]}

ou encore par

{(x, y)∈R²:x∈[−1,0], y∈[0, x+ 1]} ∪ {(x, y)∈R²:x∈[0,2], y∈[0,−x 2 + 1]}, descriptions qui seront utiles, dans la suite, pour le calcul int´egral.

Le second ensemble hachur´e est une repr´esentation de

A={(x, y)∈R²:y≥x²−1, y≤p

1−x²},

la parabole ayant pour ´equationy=x −1 et le demi-cercley= 1−x . On peut ´egalement d´ecrireApar

A = {(x, y)∈R²:x∈[−1,1], y∈[x²−1,p

1−x²]}

= {(x, y)∈R²:y∈[−1,0], x∈[−p

y+ 1,p y+ 1]}

∪{(x, y)∈R²:y∈[0,1], x∈[−p

1−y²,p

1−y²]}.

Dans le document MATHEMATIQUE et MATHEMATIQUES GENERALES, F. Bastin EXERCICES DE BASE (Page 71-77)