Exemple de synthèse découplée

Considérons le problème dont les CdC sont fournis en annexes (cf. annexes A). La première passe de calcul sur chacun des dtlm fournit une solution globale conflictuelle à plusieurs titres, récapitulée dans le tableau 4.1. Nous y avons fait figurer les variables d’encombrement axial (bg et bd), les diamètres d’arbre (dag et dad) et l’objectif local que nous avons nommé Fi. En

dtlm 1 dtlm 2 dtlm 3 dtlm 4 bgi 74 102,3 178,5 246,7 bdi 107,5 175,7 213,5 307,3 dagi 14 26 28 48,6 dadi 17 32,7 20 42 Fi 33,5 26 20 60,6 synthèse découplée

Tab. 4.1 – Résultats obtenus àl’issue de la première passe de calcul.

gras sont distinguées les valeurs conflictuelles. La représentation des diamètres d’arbre limitée à la meilleure solution de chaque dtlm est donnée sur la figure 4.30(a). Le concepteur décide

interférence axiale interférence de montage D B C A

a) Combinaison des meilleures solutions locales b) Ensemble des solutions de chacun des DTLM

Fig.4.30 – Résultat (tronçons d’arbre) d’une première passe de calculs.

de prendre en charge le conflit sur les encombrements axiaux des dtlm A et C. Pour ce faire, il évalue l’étendue du domaine des solutions réalisables de chacun des dtlm, grâce à la figure 4.30(b), afin de voir si ces conflits ne sont pas insurmontables. Il restreint alors les encombrements axiaux des dtlm A et C en imposant de nouvelles valeurs limites. L’opération semble profitable puisqu’il obtient les propositions de la figure 4.31. Cependant, on constate que la combinaison des meilleures solutions (fenêtre de droite sur la figure) présente toujours un conflit de montage (entre B et D). Ceci est principalement dû au fait que l’objectif d’optimisation retenu pour le dtlm B est la minimisation du diamètre. Le concepteur doit maintenant résoudre le conflit de montage entre les dtlm B et D. Il modifie pour cela la valeur limite sur le diamètre d’arbre à

interférence de montage

Fig. 4.31 – Après restriction des encombrements axiaux.

droite du dtlm B. Il pourrait, tout aussi bien tenter de diminuer le diamètre d’arbre à gauche du dtlmD, voire même un peu des deux méthodes. Son choix conduit à la solution de la figure 4.32.

Fig. 4.32 – Après modification de la valeur limite sur le diamètre d’arbre.

La solution obtenue est réalisable, c’est-à-dire qu’elle ne présente plus de conflit. On ne peut cependant affirmer qu’il s’agit de la solution optimale globale du problème initial. En effet, cette solution est optimale au vue du dernier cahier des charges imposé, c’est-à-dire celui comportant les contraintes modifiées. Il est important de noter que ces contraintes ne figuraient pas dans les CdC initiaux ou n’avaient pas les mêmes valeurs. Le concepteur a donc orienté la recherche d’une solution dans une voie qu’il a jugé digne d’intérêt mais ce faisant, il s’est peut-être éloigné de la solution optimale globale. Seule une recherche exhaustive peut nous indiquer la qualité de cette solution.

Nous avons donc développé une méthode énumérative. Celle-ci prend appui sur les résultats des modules de calculs. Ces derniers ont été conçus pour fournir, en plus de la solution optimale, la liste complète des dtlm satisfaisant le cahier des charges sous forme d’un fichier texte. Ainsi, lorsque le concepteur lance une première fois les calculs pour chaque liaison, les modules de calcul retournent une liste des dtlm solutions accompagnés de leur valeur d’objectif local (notées Fi). Les objectifs locaux des meilleurs dtlm de chaque liste (notés F opti) sont mémorisés

toutes les solutions afin d’isoler les solutions globales réalisables (ne présentant plus de conflits). Il en extrait la solution globale optimale en employant une fonction d’évaluation multicritère, que nous notons f , formulée de la façon suivante :

f = Σ4_i=1(Fi− F opti

F opti

)2 (4.1)

Les termes F opti sont donc des valeurs cibles d’objectif local optimal que le processus ne

pourra, au mieux, qu’égaler. Dans l’exemple traité ci-dessus, les F opti ont pour valeurs les Fi du

tableau 4.1. La fonction d’évaluation doit être considérée comme une somme d’écarts au carré, normalisés, que la méthode énumérative tente de minimiser.

dtlm Nb. de solutions

A 3

B 46

C 23

D 29

Tab. 4.2 – Nombre de dtlm solutions pour chaque liaison.

La méthode énumérative a ainsi été appliquée au cahier des charges initial, i.e. avant toute modification de la part du concepteur, dans le but de connaître la solution globale optimale. Elle a évalué 92046 combinaisons, en moins d’une seconde, formées par les dtlm solutions (cf. tableau 4.2). La meilleure combinaison formant la solution globale optimale est donnée dans le tableau 4.3. Nous constatons, à la lecture de ce tableau, que la solution obtenue par synthèse découplée

dtlm 1 dtlm 2 dtlm 3 dtlm4 dtlm 1 dtlm 2 dtlm 3 dtlm 4 bgi 74 108,57 179 246,7 71 105,85 173,5 242 bdi 107,5 169,42 214,25 307,3 105 172,15 218,5 311,95 dagi 14 39 57 48,6 25 30 45 34,7 dadi 17 45,7 50 42 30 36,7 35 28 Fi 33,5 39 50 60,6 34 30 35 69,9 f 2,5 0,61

synthèse découplée méthode énumérative

Tab. 4.3 – Comparaison des résultats obtenus par synthèse découplée et méthode énumérative. diffère de la solution globale optimale. Les dtlm centraux sont particulièrement éloignés de leurs valeurs optimales globales. On peut en déduire que la direction de recherche établie par le concepteur, bien que menant à une solution réalisable, n’a pas été la meilleure. Le choix, par exemple, d’augmenter le diamètre minimal du dtlm 3 n’était pas judicieux puisque son objectif est la minimisation du diamètre d’arbre !

4.6

Conclusions.

La phase de synthèse découplée est une première étape vers l’obtention d’une solution glo- bale. Elle a pour objectif de faciliter l’émergence d’une solution proche de la solution optimale. Les cahiers des charges qui en résultent peuvent servir de point de départ à une démarche auto- matisée. Cette approche s’accompagne d’une gestion manuelle des contraintes à travers laquelle le concepteur contrôle la progression du processus.

Le concepteur est au centre du processus de synthèse découplée. Il fixe les contraintes pour chaque dtlm, lance les calculs et peut visualiser les résultats grâce aux modèles 3D. Il peut également accéder à des informations fragmentaires grâce aux fenêtres d’assistance présentées ci-dessus. La figure 4.33 représente les flux d’informations de la phase de synthèse découplée. Les

dimensionnement DTLM B dimensionnement DTLM A dimensionnement DTLM C dimensionnement DTLM D Concepteur

Fig. 4.33 – Modélisation des flux d’informations de la phase de synthèse découplée. problèmes de dimensionnement sont totalement découplés les uns des autres car les contraintes de liaison existant entre les divers modules de dimensionnement de chaque dtlm sont prises en charge par le concepteur qui, en jouant sur les contraintes, tente de résoudre les conflits. En ce sens, le concepteur peut être considéré comme un processus maître ayant en charge la coordination des sous-problèmes d’optimisation.

Le découplage des problèmes de dimensionnement favorise l’usage de critères d’optimisation non identiques. Le concepteur arbitre directement les conflits, sans faire appel à des règles pré- établies de hiérarchisation des dtlm. Il peut ainsi, durant sa progression vers une solution globale, réviser à la hausse ou à la baisse, la prépondérance de certains dtlm compte tenu des éléments qui lui sont fournis (espace restant entre dtlm, nombre de dtlm solution. . . ).

La synthèse découplée atteint cependant ses limites dans certaines conditions. Malgré la simplicité de la procédure de modification des contraintes, celle-ci peut se révéler fastidieuse pour des cas complexes. La raison en est une multiplication des phases de modification des contraintes dues à la nature itérative du processus essai-erreur mis en place. Les allers-retours entre les menus de définition et les résultats peuvent également alourdir la tâche lorsqu’ils sont en trop grand nombre (Ces manipulations gagneraient grandement à être automatisées). La multiplicité des contraintes de liaison, et en général de tous les paramètres de contrôle des modules de dimensionnement, conduit rapidement à une surcharge cognitive du concepteur. Par exemple, l’ajout de conditions de montage sur l’alésage induirait un supplément de contraintes de liaison entre les dtlm. Ces contraintes seraient autant de paramètres ajoutés à la liste de ceux que le concepteur doit déjà prendre en compte. La multiplication du nombre de dtlm dans le mécanisme étudié participerait également à l’inflation du nombre de paramètres. Ces propos sont cependant à modérer pour deux raisons :

– La nature itérative du processus de résolution limite la surcharge du concepteur puisqu’il modifie séquentiellement les dtlm, c’est-à-dire un par un.

– Les contraintes de liaison n’affectent que les dtlm voisins. Ainsi, dans le cadre de notre étude, soit les lignes d’arbre, un dtlm ne peut avoir que deux dtlm voisins. Le nombre de relations pour chaque dtlm est donc limité. Le concepteur doit cependant tenir compte de l’effet « domino » qui se traduit par une répercussion des modifications d’un dtlm sur tous les suivants.

Quel peut être l’intérêt d’un tel outil? La réponse tient en deux points principaux :

1. En début de processus, notre outil offre au concepteur la possibilité de dimensionner chaque dtlmde façon indépendante, sans préjuger d’un quelconque ordre de définition. En contrai- gnant au minimum chaque dtlm, le concepteur obtient en résultat le maximum de ce que chaque dtlm peut offrir pour une liaison donnée. Par exemple, s’il décide de minimiser le diamètre d’une liaison complète par clavette, l’objectif sera d’autant mieux atteint que le dtlm ne sera pas contraint dans sa longueur, c’est-à-dire par des bornes axiales. Cette liberté d’investigation est très importante pour le concepteur. Elle lui permet de tester in- dividuellement les différents dtlm pour un même cahier des charges (global et de liaison) et d’affiner son expertise face à des cas types (par exemple, « quel type de dtlm peut-on retenir dans le cas d’un encombrement axial réduit ? »).

2. Cette approche n’interdit pas de mener ensuite une recherche de solution globale cohérente. En jouant sur les contraintes de chaque dtlm, le concepteur peut obtenir une solution cohérente dont il aura choisi les caractéristiques de façon dynamique. C’est à raison de multiples essais qu’il construira sa solution en gérant les différents conflits intervenants entre dtlm. L’outil lui facilite les calculs et met en avant les conflits grâce, notamment, à la modélisation 3D.

Le concepteur peut éprouver certaines difficultés à gérer conjointement les contraintes d’encom- brement et de montage. Il peut, instinctivement, mettre en place certaines méthodologies que nous présentons dans le chapitre suivant, sans pour autant s’assurer de son succès. De plus, la synthèse manuelle s’avère fastidieuse lorsque l’on s’approche d’une situation où peu de dtlm restent en compétition. Il est alors souvent indispensable de procéder à des retours en arrière pour explorer d’autres combinaisons. C’est pourquoi nous avons étudié une démarche automa- tique de synthèse qui prend en charge la gestion de toutes les contraintes. Ce processus que nous appelons « synthèse coordonnée » est l’objet du chapitre suivant.

Chapitre 5

Synthèse coordonnée des dtlm.

Résumé

L

de produire un mécanisme dimensionné de façon optimale. Elle s’appuie pour cela sur les cahiers des charges établis lors de l’étape d’initialisation (CdC global) et de synthèse découplée (CdC liaisons). Nous discutons dans ce chapitre des méthodes envisageables pour un tel processus automatique en relevant les particularités de notre problème. Nous présentons ensuite les méthodes que nous proposons pour coordonner les sous-problèmes locaux. Dans un premier temps, nous mettons en œuvre une méthode d’optimisation collaborative que nous adaptons au problème de synthèse des dtlm. N’étant pas entièrement satisfaits des résultats obtenus, nous présentons une méthode originale de relaxation sélective des contraintes. Celle-ci est testée avec des objectifs locaux hétérogènes, puis homogènes, afin d’en évaluer l’impact sur le processus. Tous les résultats obtenus par les différentes méthodes sont comparés àceux issus d’une méthode purement énumérative.

Contenu du chapitre

5.1 Identification du problème de synthèse coordonnée. . . 129 5.1.1 Objec tif. . . 129 5.1.2 Nature du problème. . . 129 5.1.3 Paramètres initiaux de la synthèse coordonnée. . . 130 5.2 Les systèmes décomposés et leur optimisation. . . 131 5.2.1 Les différents types de déc omposition. . . 131 5.2.1.1 Déc ompositions hiérarc hiques. . . 131 5.2.1.2 Décompositions non-hiérarchiques. . . 132 5.2.2 L’optimisation pluridisciplinaire (mdo). . . 133 5.2.3 Optimisation c ollaborative. . . 134 5.3 Application de l’optimisation collaborative à notre problème. . . . 137

5.3.1 Formulation initiale du problème sous forme non–hiérarchique. . . 137 5.3.2 Problème global exprimé sous forme collaborative. . . 138 5.3.3 Choix d’une méthode pour l’implémentation du niveau système : l’algo-

rithme de Powell. . . 141 5.3.4 Expression du problème du niveau système en problème sans contrainte. 142 5.3.5 Mise en œuvre de l’algorithme de Powell. . . 142 5.3.6 Influence du comportement des modules de calcul. . . 145 5.3.7 Conc lusions. . . 149 5.4 Processus spécifi que de synthèse coordonnée. . . 149 5.4.1 Présentation de la méthode. . . 149 5.4.2 Description de l’algorithme de relaxation sélective des contraintes. . . 151 5.4.2.1 Point de départ du proc essus. . . 151 5.4.2.2 Rec herc he d’une solution réalisable. . . 151 5.4.2.3 Optimisation d’une solution réalisable. . . 156 5.4.2.4 Remarques . . . 158 5.4.3 Relaxation sélective avec un objectif multicritère. . . 159 5.4.4 Relaxation sélective avec des objectifs homogènes. . . 160 5.4.4.1 Carac térisation des problèmes. . . 160 5.4.4.2 Cas des problèmes semi-c ontraints. . . 162 5.4.4.3 Cas des problèmes sous-c ontraints. . . 163 5.4.4.4 Remarques. . . 166 5.5 Conclusions. . . 168

5.1

Identification du problème de synthèse coordonnée.