CHAPITRE 4 ÉTUDE ALGÉBRIQUE DU GRADIENT ET RÉDUCTION DU NOMBRE
4.5 Exemple de configurations présentes dans la littérature
Dans cette section, différentes configurations présentes dans la littérature sont détaillées et nous illustrons sur ces exemples l’efficacité de la procédure proposée dans la section 4.4.
4.5.1 Montage générique d’acquisition
Il est très fréquent de voir, dans la littérature, des montages (simulés ou réels) comportant autant d’antennes émettrices que d’antennes réceptrices. C’est notamment le cas pour les montages utilisés en TMO pour la détection du cancer du sein : les antennes servent à tour de rôle d’émetteurs et de récepteurs. De nombreux auteurs présentent des résultats avec ce type de configuration (Meaney et al., 2007; Rubaek et al., 2009; Abubakar et al., 2012a; Grzegorczyk et al., 2012). On peut distinguer deux cas : le cas où les récepteurs mesurent une seule composante du champ électrique et le cas où les trois composantes du champ sont mesurées.
Dans le cas où seule une composante du champ électrique est acquise, la situation proposée est celle dans laquelle le nombre de sources est égale au nombre de récepteurs, soit NS = NR. D’après les conclusions des sections précédentes, il n’y a pas d’intérêt à utiliser le théorème de réciprocité de Lorentz. De plus, quelque soit la mise en œuvre, il faudra 2NS résolutions de systèmes pour calculer le gradient.
Si maintenant les trois composantes du champ électrique sont mesurées au niveau des récep- teurs, cela revient à acquérir trois fois plus de données. Augmenter le nombre de mesures est bien sûr un avantage pour la reconstruction. La configuration est alors de NS sources et
NR = 3NS récepteurs (trois récepteurs par position d’antennes). Avec ce montage, NS est plus faible que NR, il est donc logique d’utiliser la mise en œuvre directe afin d’avoir 2NS
systèmes à résoudre, plutôt que NS+ 3NR = 4NS systèmes.
4.5.2 Montage simulé de Zhang et Liu (2015)
Le montage d’acquisition utilisé par (Zhang et Liu, 2015) est un exemple simulé dans lequel le nombre de sources est supérieur au nombre de récepteurs : NS = 63 et NR= 36. L’algorithme utilisé par les auteurs est une variante de DBIM ; le jacobien est donc nécessaire. Le calcul du gradient et du jacobien requiert la formulation adjointe du jacobien et conduit à une résolution de NS+ NR= 99 systèmes. Le calcul du critère nécessite NS = 63 résolutions. En conservant l’algorithme d’optimisation que les auteurs utilisent, il est intéressant d’utiliser le principe de réciprocité afin de réduire le nombre de systèmes pour le calcul du critère, passant de 63 à 36. Le coût de calcul pour le jacobien reste en revanche inchangé : NS + NR = 99 systèmes.
Si nous souhaitons appliquer un algorithme d’optimisation où seul le gradient est requis (L- BFGS par exemple), appliquer la procédure définie dans la section précédente permet une réduction importante du nombre de systèmes à résoudre : le calcul du gradient requiert la résolution de 2NR= 72 systèmes et le calcul du critère en nécessite NR= 36.
4.5.3 Configuration d’acquisition des données Fresnel
Reprenons le montage utilisé pour l’acquisition des données de la base Fresnel décrit dans Gef- frin et Sabouroux (2009). Il s’agit d’un ensemble de 81 antennes émettrices émettant des ondes polarisées selon deux directions. Nous considérons ici les deux polarisations, soit NS = 162 ondes incidentes. L’acquisition est réalisée sur un ensemble de 36 récepteurs orientés selon
z, soit NR= 36. Lors de la publication de ces données dans la communauté scientifique, six
équipes de chercheurs ont proposé leurs méthodes et résultats de reconstruction dans la revue
Inverse Problems 25. Parmi eux, certains ont considéré la configuration initiale du montage
sans utiliser le principe de réciprocité (Eyraud et al., 2009; Li et al., 2009; Yu et al., 2009). Quel que soit l’algorithme d’inversion utilisé, le nombre de problèmes directs à résoudre est égal à NS = 162. Pour réduire le coût de calcul, certains ont préféré ne considérer qu’une seule polarisation : le nombre de sources NS est divisé par deux, soit NS = 81. Évidemment, la quantité d’information est divisée par deux et la reconstruction devient plus difficile. Le calcul du gradient correspondant en utilisant la mise en œuvre adjointe conduit à la résolution de NS+ NR= 198 systèmes.
En utilisant le théorème de réciprocité de Lorentz, on se ramène à une configuration adjointe composée de 36 sources virtuelles et 162 récepteurs virtuels. Parmi les six méthodes proposées
pour reconstruire les données Fresnel, uniquement deux ont utilisé le théorème de réciprocité (Catapano et al., 2009; Chaumet et Belkebir, 2009). Cela montre bien que l’utilisation de ce principe n’est pas systématique. En utilisant la mise en œuvre directe, cela revient à résoudre 2 × 36 = 72 systèmes pour calculer le gradient, quel que soit le nombre de récepteurs. On observe alors un gain de 63% par rapport à une non-utilisation du théorème de réciprocité.
Dans le cas de méthodes d’optimisation nécessitant le jacobien (De Zaeytijd et Franchois, 2009; Yu et al., 2009), nous avons vu que l’utilisation du principe de réciprocité n’est pas utile pour le calcul du jacobien et du gradient car celui-ci requiert la résolution de NS+ NR systèmes. En revanche, il est tout de même intéressant de l’appliquer car il permet de réduire le coût de calcul du critère, nécessaire à la recherche de pas.
4.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons étudié deux outils permettant de réduire le nombre de systèmes linéaires à résoudre dans l’inversion. Le premier est basé sur une étude algébrique du gradient et du jacobien. Différentes mises en œuvre ont été proposées. Cette étude a notamment montré que la formulation de l’état adjoint, largement utilisée en TMO, n’est pas optimale et qu’il est possible de réduire efficacement le nombre de systèmes selon la configuration du montage. Le second outil est l’utilisation du principe de réciprocité de Lorentz. Nous avons vu que si le nombre de sources est supérieur au nombre de récepteurs, l’application de ce principe permet de considérer une configuration adjointe qu mène à une réduction du nombre de systèmes à résoudre pour le calcul du critère et du gradient.
Finalement, nous avons proposé une procédure permettant d’optimiser le nombre de systèmes. Sur plusieurs exemples concrets comme les données expérimentales de l’institut Fresnel, nous avons démontré qu’il est possible de réduire de façon importante le nombre de systèmes à résoudre.
CHAPITRE 5 APPROCHES ITÉRATIVES PAR BLOCS POUR LA RÉSOLUTION DE SYSTÈMES MULTIPLES
Comme vu dans les chapitres précédents, les calculs du critère (3.5) (p. 37) et du gra- dient (3.14) (p. 45) sont nécessaires à l’évaluation d’une direction et d’un pas de descente dans les algorithmes itératifs d’optimisation locale. Ces calculs requièrent la résolution d’un grand nombre de systèmes linéaires impliquant la matrice Lx de taille 3N × 3N . À cause de la grande taille de cette matrice, en particulier en 3-D, ces résolutions sont très coûteuses et concentrent la majorité du temps de calcul dans l’inversion. Dans le chapitre 4, nous avons proposé une procédure permettant de réduire le nombre de systèmes à résoudre en choisissant la mise en œuvre adéquate pour le calcul du gradient et en considérant une configuration adjointe du montage d’origine.
Nous souhaitons maintenant étudier la possibilité d’accélérer ces résolutions de systèmes. Pour cela, l’idée mise en avant dans ce chapitre est de profiter de l’avantage que tous ces systèmes impliquent la même matrice Lx. Les algorithmes itératifs par blocs sont des mé- thodes exploitant cette propriété de matrice commune pour résoudre conjointement plusieurs systèmes linéaires. Nous noterons dans la suite la résolution des multiples problèmes directs sous la forme :
LxEtot = Einc, (5.1)
avec Etot =hetot1 , . . . , etotNSiet Einc = [einc1 , . . . , eincNS]. Cette notation permet de mettre l’accent sur la résolution conjointe des systèmes. La matrice du système sera appelée matrice opérateur et les vecteurs connus Einc les vecteurs image (en anglais, Right-Hand Side (RHS) vectors).
On notera également F les solutions des systèmes supplémentaires intervenant dans le calcul du gradient. Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, en fonction de la mise en œuvre du calcul du gradient, le nombre de systèmes et les systèmes peuvent varier (cf. équations (4.18) et (4.19), p. 52). Nous noterons tout de même de façon générale :
F = L−1x F0, (5.2)
où F0 vaut soit Gt
o si la mise en œuvre adjointe du jacobien est utilisée, soit les vecteurs G†o
h f
eiscat− GoXetoti i
si la mise en œuvre directe est utilisée.
Ce chapitre se décompose comme suit :
— la section 5.1 présente les approches par blocs existantes et leur intérêt. Le choix de travailler avec l’approche Block-BiCGStab est justifié ;
— la seconde section détaille l’algorithme Block-BiCGStab et propose de l’adapter à une utilisation efficace pour la résolution des problèmes directs en tomographie micro- ondes. Quelques résultats préliminaires permettent de valider le choix du réglage des paramètres ;
— la section 5.3 introduit une généralisation de l’algorithme Block-BiCGStab pour une résolution efficace sur une architecture multi-cœurs. Cette approche est appelée Partial- Block BiCGStab ;
— dans la section 5.4, nous proposons une mise en œuvre efficace de cette approche pour une utilisation dans l’algorithme d’optimisation réalisant l’inversion ;
— la section 5.5 propose de comparer les performances des algorithmes BiCGStab, Block- BiCGStab et Partial-Block BiCGStab sur la résolution des problèmes directs et d’étu- dier l’effet de certains paramètres sur le coût de calcul, comme le contraste ou la fréquence ;
— enfin, la dernière section présente des résultats de reconstruction et une comparaison des coûts de calcul entre l’utilisation du BiCGStab, Block-BiCGStab et du Partial- Block BiCGStab dans l’inversion.