Un exemple analytique

Pour illustrer cette m´ethode, nous nous int´eressons au comportement d’un sys-t`eme constitu´e de deux barres ´elastoplastiques encastr´ees `a une extr´emit´e dont le d´eplacement est impos´e `a l’autre extr´emit´e par l’interm´ediaire d’un solide rigide (voir figure 2.12(a)).

Les barres S1 et S2 ont des sections et des comportements diff´erents. Soit i l’in-dice de chaque type de barre. Les barres Si auront pour limite d’´elasticit´e initiale σi0 et respectivement comme modules d’Young et d’´ecrouissage Ei et Ki. Lors d’une traction impos´ee `a l’ensemble on peut identifier trois phases diff´erentes dans le com-portement du syst`eme :

1. l’ensemble des barres est ´elastique : ´etape I ;

2. les barres 1 plastifient alors que les autres sont encore ´elastiques : ´etape II ; 3. l’ensemble des barres est plastifi´e : ´etape III.

La d´eformation de l’ensemble des barres ´etant la mˆeme, on obtient pour chaque ´etape de plastification une expression de l’effort de traction en fonction du comportement de chaque barre, en utilisant la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es :

FI = EiSiε; (2.11) FII = (K1S1+ E2S2)ε + σ10S1  1 − ^K_E¹ 1  ; (2.12) FIII = KiSiε + σi0Si  1 − ^K_Eⁱ i  . (2.13)

Si on d´echarge le syst`eme jusqu’`a obtenir F = 0 apr`es avoir plastifi´e une ou plusieurs barres, la structure est dans un ´etat dit de contraintes r´esiduelles. En effet, mˆeme si l’effort global est nul, la diff´erence de d´eformation plastique dans les barres 1 et 2 va induire des contraintes non-nulles dans chaque barre. Ainsi, en supposant avoir d´echarg´e le syst`eme dans le cas o`u toutes les barres ´etaient plastifi´ees (´etape III), on obtiendra :

ε_res = ε_max− ^Fmax EiSi

, (2.14)

o`u εres est la d´eformation finale dans l’ensemble des barres et εmax et Fmax sont respectivement la d´eformation et l’effort maximum impos´es `a la structure.

Pour pouvoir respecter l’´equilibre de la structure, on v´erifie :

En supposant un retour ´elastique de l’ensemble des barres on obtient : σ1res = E1 E2S2 S₁E₁+ S₂E₂  σ1max E₁ − ^σ2max_E 2  , (2.16) et σ2res = −^S_S¹ 2 σ1res (2.17)

La d´eformation plastique dans chacune des barres εpi est alors : εpi =  1 − ^K_Eⁱ i   εmax− ^σ_Eⁱ⁰ i  . (2.18)

Cette expression report´ee dans la relation suivante (2.19) :

σires = Ei(εres− εpi) (2.19)

conduit bien sur au mˆeme r´esultat que les ´equations (2.16) et (2.17).

S1 S2 Corps rigide F L0 F/(S1+S2) Déformation 0 E1=E2 K1 K2 σ10 σ20 σ2res σ1_res ε_res ε_max Fmax/(S1+S2)σ_2max σ σ 1max

2.5 Mod´elisation simplifi´ee de la d´ecoupe : des

m´ecanismes de d´eformation aux contraintes

r´esiduelles

Notre objectif est de comprendre l’influence des contraintes r´esiduelles sur le com-portement magn´etique d’une tˆole poin¸conn´ee. En raison de l’absence de donn´ees sur les contraintes r´esiduelles dues au poin¸connage, nous avons ´et´e amen´es `a proposer une mod´elisation de ces contraintes `a l’aide des donn´ees ph´enom´enologiques et nu-m´eriques disponibles dans la litt´erature et `a partir de nos propres exp´eriences (voir partie 2.3).

Cette analyse ph´enom´enologique est compl´et´ee par un mod`ele qui prend en compte les donn´ees li´ees au mat´eriau et `a l’outillage de poin¸connage pour d´eter-miner les efforts mis en jeu au cours du processus [Zhou and Wierzbicki, 1996]. Ce mod`ele montre l’existence d’un effort de traction en cours de poin¸connage `a partir duquel nous pourrons calculer les contraintes r´esiduelles li´ees `a cet effet.

Nous reprendrons d’abord en d´etail les donn´ees disponibles dans la litt´erature pour ´etablir les caract´eristiques de d´eformations plastiques susceptibles d’avoir un effet significatif sur les contraintes r´esiduelles. Nous d´etaillerons ensuite le mod`ele de Zhou et al . Les efforts de traction dus `a la d´ecoupe seront alors estim´es grˆace `a ce mod`ele et permettront de calculer l’´etat de contraintes r´esiduelles par le biais d’une analyse aux ´el´ements finis simple. Enfin nous analyserons l’effet des contraintes r´esiduelles estim´ees par ce mod`ele sur le comportement magn´etique de rondelles poin¸conn´ees [Maurel et al., 2002b].

2.5.1 M´ecanismes de d´eformation activ´es au cours du

poin-¸connage

La courbe effort-d´eplacement du poin¸con (voir figure 2.13) va nous permettre de suivre certaines ´evolutions m´ecaniques en cours de d´ecoupe. Les diff´erentes zones caract´eristiques du bord de d´ecoupe (voir figure 2.3) correspondent chacune `a un m´ecanisme de d´eformation. La partie OA de la courbe correspond `a la phase ´elastique du poin¸connage, la bande fl´echit sous l’effort du poin¸con et subit du cisaillement. La non-lin´earit´e de la partie AC de la courbe correspond `a la phase ´elasto-plastique de la d´ecoupe. La tˆole continue `a ˆetre cisaill´ee et fl´echie. Elle est ´egalement tendue vers le centre du poin¸con. Le rayon de d´ecoupe est dˆu `a la flexion de bande et augmente tant que l’effort sur le poin¸con est croissant, i.e. jusqu’au point B de la figure 2.13. La partie lisse du bord de d´ecoupe est due au cisaillement et `a l’avanc´ee progressive de la fissure issue du bord du poin¸con. Au cours de la plastification de la tˆole une fissure s’amorce ´egalement sur l’arˆete de la matrice et avance vers la fissure issue du poin¸con en g´en´erant ´egalement une partie lisse dans la chute. Les deux fissures apr`es s’ˆetre propag´ees dans l’´epaisseur de la tˆole (partie BC) se rejoignent brutalement provoquant la partie arrach´ee et la bavure. Ceci correspond `a la partie CD de la courbe effort-d´eplacement o`u la diminution de section est telle que l’effort chute tr`es rapidement. Les parties DE, EF et FG correspondent respectivement au

frottement entre la partie d´ecoup´ee et le trou, le poin¸con et le trou et entre la partie d´ecoup´ee et la matrice. Le point F figurant le moment o`u la partie d´ecoup´ee est d´efinitivement s´epar´ee de la tˆole [Chabenat and Martin, 1978], [Goijaerts, 1999].

Déplacement du poincon (mm) Effort (N) O A B C D E F G

Figure 2.13 – Courbe effort d´eplacement en cours de poin¸connage (d’apr`es Johnson et Slater cit´e dans [Zhou and Wierzbicki, 1996]).

Pour mieux comprendre le d´eroulement de la d´ecoupe, int´eressons-nous mainte-nant aux analyses de champ de d´eformation. L’exp´erience propos´ee par Mikhalenko et al. permet de visualiser les lignes d’isocontraintes de Tresca au cours de la d´ecoupe [Mikhalenko and Antonov,1973]. Il s’agit d’un montage ouvert de poin¸connage pour poin¸con droit, le mat´eriau d´ecoup´e ´etant une r´esine de type epoxy. La visualisation des r´eseaux photo-´elastiques s’effectue sur la tranche du mat´eriau d´ecoup´e. Mˆeme si la pr´esence de la fissure perturbe la lecture du r´eseau, cette exp´erience r´ev`ele un effet de flexion-traction dans la bande cisaill´ee : le niveau de contrainte est plus important au-dessus de la fibre neutre qu’en dessous. Enfin les mesures que nous avons effectu´ees pour un poin¸connage circulaire confirment la dissym´etrie de l’ef-fet de flexion et mettent en ´evidence la d´eformation de traction subie par la tˆole poin¸conn´ee [Maurel et al., 2001] (voir paragraphe 2.3).

Sur un montage analogue, mais avec une mesure de d´eformation par corr´elation d’images et un mat´eriau m´etallique, Stegeman et al. montrent l’´evolution des d´efor-mations dans l’´epaisseur de la tˆole en cours de poin¸connage [Stegeman et al., 1999] (voir figure 2.15). Par contre la zone mesur´ee ´etant limit´ee `a la moiti´e sup´erieure de l’´eprouvette, on ne peut pas obtenir d’information permettant de discriminer la flexion de la traction, voir figure2.14.

L’examen de fractographies prises sur des bords de d´ecoupe dont on a pris soin de r´ev´eler les grains donne ´egalement des indices sur le d´eroulement du poin¸connage. En effet le profil de la tˆole pr´esente une d´eformation de flexion plus faible sur sa

Figure 2.14 – Principe de mesures de d´eformation en cours de poin¸connage, la grille repr´esente les points de mesures des d´eformations [Stegeman et al.,1999]

ε_xx 0 ε_yy 0.25 ε_{xy 0} −0.05 0.2 _−0.2 −0.15 0.1 _−0.6 −0.25 0 ₋₁ −0.1 0.15 _−0.4 −0.2 0.05 _−0.8

Figure 2.15 – R´esultat de mesures par inter-corr´elation d’images, d´eformations lo-garithmiques [Stegeman et al., 1999]

face inf´erieure que sur sa face sup´erieure, ce qui ne peut s’expliquer que par la superposition d’un ´etat de traction `a un ´etat de flexion (voir figure 2.16(a)). La forme tr`es ´etir´ee des grains laisse ´egalement penser que cette traction continue mˆeme lorsque la fissuration a commenc´e (voir figure 2.16(b)).

L’effet de traction est par ailleurs retrouv´e dans les simulations par ´el´ements finis [GolovasChenko, 1999] [Ko et al., 1997].

Il convient de noter qu’en pratique il est fr´equent que le poin¸con lors de son retour apr`es d´ecoupe frotte sur le flan d´ecoup´e. Ceci peut induire des d´eformations plastiques suppl´ementaires (non pr´esentes en revanche sur la chute). Ce ph´enom`ene qui implique un chargement non monotone en ´elasto-plasticit´e sera n´eglig´e dans toute cette ´etude faute de donn´ees accessibles.

(a) Profile d’un bord de d´ecoupe (b) Zoom de la vue gauche

Figure 2.16 – Fractographie d’une tˆole de Fe-3%Si NO poin¸conn´ee (d’apr`es [Hubert,

1998]).