Excitation mécanique

Les films minces sont les structures les plus utilisées dans les systèmes électroactifs probablement principalement pour des raisons pratiques. En effet, il est relativement simple de synthétiser des films de faible épaisseur avec une bonne précision ce qui permet d’appliquer des champs électriques élevés en utilisant en même temps une tension modérée. De plus, appliquer des électrodes sur une surface plane est aussi la technique la moins compliquée. Aussi, plusieurs films peuvent être facilement combinés pour former des structures plus complexes et compactes comme des stacks [172,173] ou des rouleaux [148,174,175].

Pour voir quel est le lien entre la déformation et la variation de capacité on peut considérer une surface élémentaire d'un film polymère (Figure 66). Le film est supposé être recouvert sur ses deux faces de deux couches très minces et élastiques parfaitement conductrices constituant les électrodes. Comme les dimensions du film sont très faibles on peut considérer que la déformation est uniforme, la variation de la capacité électrique est donnée alors par:

(55) C₀= ε^x0y₀

z₀ → C = ε^xy

z , C0 : capacité du film non-déformé, C : capacité du film déformé, ε : permittivité électrique

Déformation uniaxiale Déformation uniaxiale pure Déformation biaxiale

λ₂= λ₃= ¹ √λ1 C = λ₁⋅ C₀ λ₂= 1  λ₃= ¹ λ₁ C = λ₁²⋅ C₀ λ₂= λ₁  λ₃= ¹ λ₁² C = λ₁⁴⋅ C₀

: parties fixes  : déplacement  : supports rigides _{: polymère λi : les extensions principales}

C0 : capacité initiale

Tableau 10 : Variation de la capacité pour différentes configurations utilisant un film polymère

z0

z x0

y0 y

x

Figure 66 : Partie élémentaire d'un film polymère avant et après déformation

x y

Si on considère que les directions principales de la déformation coïncident avec les bords du film (on imagine un repère avec l’axe z perpendiculaire à la surface du film) alors ^C

C₀=^λ1λ₂

λ₃ ce qui implique si le polymère est incompressible (λ₁λ₂λ₃= 1) :

(56) _C^C

0= ¹

λ₃2

D’après (56) pour avoir une variation de capacité, il suffit d’imposer une déformation en épaisseur mais en général un film polymère peut être déformé de plusieurs manières (Tableau 10), les forces pouvant être appliquées dans plusieurs directions et certains bords pouvant être bloqués. La déformation uniaxiale est réalisé avec des films dont la longueur est assez large par rapport aux autres dimensions, les contraintes latérales dans un tel cas sont négligeables par rapport à la contrainte axiale. La configuration uniaxiale pure peut être obtenue en utilisant un film mince mais de largeur (dimension latérale à la direction de la force appliquée) comparable à la longueur. L’approximation qui est faite dans un tel cas c’est le fait que la déformation latérale (en largeur) est nulle. La configuration biaxiale consiste à détendre le film dans les deux directions dans le plan du film, pour réaliser cela plusieurs possibilités existent.

La capacité électrique d’un polymère peut être facilement déterminée lorsque sa déformation est imposée (comme dans les exemples précédents) mais en pratique de telles interactions ne sont pas très fréquentes. Dans bien plus de cas on a affaire à des interactions qui se produisent avec des forces imposées. Imaginons par exemple qu’on désire récupérer de l’énergie sur une route ou des voitures et des piétons passent. Dans un tel cas c’est une force qui est imposée (le poids) et on pourrait se demander quelle est la meilleure manière de déformer un polymère pour une certaine force donnée (déformation uniaxiale, biaxiale etc.) pour optimiser l’énergie récupérée. Dans le cas idéal fortement simplifié où des relations linéaires entre les déformations et les contraintes sont considérées ceci peut facilement se faire.

Déformation uniaxiale Déformation uniaxiale pure Déformation biaxiale

𝐂_𝐦𝐚𝐱 𝐂𝐦𝐢𝐧 1 1 −^σ_Y^{0 (} 1 1 −^σ0 Y ) 2 ( ¹ 1 −^σ0 Y ) 4

Tableau 11 : Expression de la variation de la capacité d’un film pour différents types d’excitations mécanique (Y : module d’Young, σ0 : contraite appliquée)

Pour une déformation biaxiale il est plus compliqué d’appliquer une seule force. Une possibilité de le faire c’est d’utiliser un piston et exercer une pression par l’intermédiaire d’un fluide de couplage, un montage spécial qui répartit la force sur les bords de la membrane [176] pourrait aussi être utilisé, sinon on pourrait imaginer que la force est appliquée dans la direction perpendiculaire à la surface du film et que celui-ci garde la possibilité de se déformer latéralement (ce qu’on a supposé lors du calcul précédent Tableau 11). Pour les trois configurations les plus simples (Tableau 10) pour une force donnée et un certain volume de polymère on pourrait déterminer la performance d’un film utilisé pour la récupération d’énergie (Tableau 11).

Comme on peut le voir (Figure 67), avec la configuration biaxiale on obtient un maximum de gain énergétique comme dans le cas où les déformations sont imposées. Il faut toutefois mentionner que celui-ci dépend aussi de la géométrie de la structure utilisée. Mais dans tous les cas le gain est augmenté pour des dimensions de la structure plus importantes suivant la direction de la force appliquée, ce qui est logique car on obtient plus de déformation (pour une même quantité de matériau).

Si on regarde les expressions trouvées dans le Tableau 11 on peut s’apercevoir que pour certaines valeurs de la force appliquée elles deviennent infinies. Cela constitue un premier exemple d’un comportement instable d’un polymère (d’un point de vu mécanique). En effet, ce qui se passe c’est qu’en appliquant une certaine force sur un film il se détend mais en même temps sa section diminue ce qui entraîne une augmentation de la contrainte, ce qui augmente la déformation etc. Pour certaines valeurs de la force un équilibre s’établit pour d’autres non, dans quel cas une rupture du film peut se produire. Toutefois les polymères qui sont sujet à des déformations importantes présentent un comportement non-linéaire (relations contraintes-déformations) qui peuvent avoir une importance non-négligeable dans de telles situations. Dans ce cas il est nécessaire de prendre en compte les phénomènes de rigidification du matériau. Le modèle le plus simple et le plus utilisé pour des études théoriques illustrant ce phénomène est le modèle de Gent ([165,177,178]).

Autre remarque simple c’est la suivante : lorsque des films de polymère sont utilisés pour la récupération d’énergie il n’existe aucun intérêt d’induire des déformations de cisaillement. En effet, ce type de déformation ne contribue que très peu à la variation de la capacité. On a aussi intérêt à induire des déformations aussi uniformes que possible pour utiliser le potentiel maximal du matériau. Ceci reste d’ailleurs valable pour le champ électrique injecté (on utilise un champ électrique uniforme). Cela simplifie souvent avantageusement les équations caractérisant le comportement de tels systèmes.

σ₀/Y C_max

C_min

σ₀/Y

Figure 67 : Variation de la capacité pour une structure en polymère (module d’Young Y) pour une contrainte σ0 imposée (gauche) pour les trois configurations principales et la déformation axiale respective (droite)

D éf o rm atio n ax ial e

3.3 Récupération d’énergie avec des matériaux piézoélectriques