Chapitre 5: Résultats et discussions
5.2.3 Etude paramétrique des plaques orthotropes en fonction des rapports de rigidités
5.2.3.2 Evolution du paramètre fréquentiel des six plaques orthotropes (CCCC, SSSS,
conditions de fixité et rigidité
5.2.3.2.1 Plaques orthotropes ayant le même comportement isotrope CCCS-SSCC-SCSC-SSSS-CFCC-SFSS
La figure N° 5.35, nous montre une allure parabolique décroissante plus ou moins raides de toutes les six plaque dans l’intervalle (a/b=1.5-2). Au delà de cette frontière, une atténuation asymptotique de l’ensemble des courbes fréquentielles s’impose au fur et à mesure de l’évolution du rapport de dimensions (a/b). Cela s’explique par le transfert de rigidité allant du cas a/b=1 (plaque carrée) deux sens porteurs vers le cas souple a/b>4.5 (Plaque rectangulaire à longueur infinie) avec un seul sens porteur des cas (D1/D3 = 0.5, D2/D3 = 0.5), (D1/D3 = 1, D2/D3 = 1) et (D1/D3 = 2, D2/D3 = 2) → Ex = Ey.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 1.901 CFCC b 1.270 SFSS b 3.153 SFSS 2.791 SCSC a 2.764 SSSS a ou b 2.674 SFSS a 3.403 SSCC a ou b 4.42 CFCC 4.134 SSSS 4.827 SCSC 4.760 SSCC 4.036 CCCC a ou b 4.036 CFCC a 4.032 SCSC b 5.30 CCCC P a ra m è tr e f ré qu e n ti e l
Rapport de dimensions a/b avec b=Cte et b/a avec a=Cte
Fig. 5.35 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental Ω11 des six plaques orthotropes en fonction des rapports de rigidité D1/D3 = 0.5 et D2/D3 = 0.5, des
conditions aux bords et du rapport de dimensions avec a/b (b = Cte) et b/a (a = Cte)
Toutes les courbes présentent une allure convergente vers différentes valeurs du paramètre fréquentiel des six plaques orthotropes étudiées. La hiérarchie des conditions de bords s’impose (CCCC, SSSS, SCSC, SSCC, CFCC, SFSS). Cette constatation peut s’interpréter par un fait évident qui consiste à observer que le comportement vibratoire des plaques pour les différents rapports de rigidités, rejoint celui des poutres porteuses suivant le sens d’orthotropie le plus faible. Dans ce cas, la rigidité de la plaque et doublement réduite d’une part, par l’absence de la contribution du sens x, et d’autre part par la faible rigidité de celui du sens porteur.
On déduit que l’ensemble des courbes modales sont circonscrites entre deux enveloppes distinctes, dont celle de la plaque CCCC étant maximale (Ω11=5.30) et Celle de la plaque SFSS (Ω11=3.153) constituant l’enveloppe minimale.
Au-delà du rapport de a/b >4.5, on remarque que les courbes convergent vers cinq paliers fréquentiels. Dans chaque palier, les valeurs des paramètres fréquentiels sont très proches. (CCCC-CFCCa -SCSCb: Ω11= 4.636 ,SSCCa ou b Ω11= 3.403, SCSCa ou b- SSSSa ou b-SFSSa : Ω11= 2.791, CFCC b: Ω11=1.901,SFSSb : Ω11=1.270).
Lorsque le rapport de dimensions (a/b) est environ compris entre 1 et 2, on observe des points d’intersection des courbes fréquentielles qui représentent respectivement un phénomène de comportement identique vibratoire pour les deux courbes concourantes. Physiquement, cela peut être expliqué par la double présence des différentes conditions de fixité linéiques et le rapport des dimensions (a/b). Cela peut être interprété par une équivalence du comportement vibratoire de deux plaques lorsque celles-ci possèdent des paramètres dominants ou dominés. La même allure du comportement est observée dans tous les autres différents cas. Au-delà, du rapport (a/b>4.0), on observe une allure asymptotique.
Dans la même figure N°5.35, on remarque que les six cas de plaques CCCS-SSCC-SCSC-SSSS-CFCC-SFSS ayant respectivement des conditions de fixité homogènes et non-homogènes sur les quatre cotés, convergent vers cinq zones. Chaque bloc possède des valeurs du paramètre fréquentiel fondamental presque identiques quanda=Cte et b=Cte.
Tableau 5.53 Paramètre fréquentiel fondamental de six types de plaques
Paramètre fréquentiel Ωi
Type de plaque a/b=1 a=Cte a/b= 4.5 b=Cte
CCCC 5.30 4.036 4.036 SSCC 4.760 3.403 3.403 SCSC 4.827 2.791 4.032 SSSS 4.134 2.764 2.764 CFCC 4.42 4.036 1.901 SFSS 3.153 2.674 1.270 Premier bloc A
Tableau 5.54 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques
CCCC-CFCC-SCSC
Type de plaque Ωia/b=1 a=C
te a/b=4.5 b=Cte Coté dominant CCCC 5.30 4.036 4.036 CCa CCb CFCC 4.42 4.036 1.901 CCa CFb SCSC 4.827 2.791 4.032 CCb SSa
Les paramètres fréquentiels des trois types de plaques CCCC- SCSC-CFCC d’abscisse a/b =4.5 convergent respectivement vers des valeurs très proches d’ordonnées: 4.036 et 4.032 qui représentent le coté le plus dominant CC dans ce bloc A des paramètres fréquentiels. Cela s’explique physiquement par la présence des conditions de fixité opposées d’encastrement. En
conclusion, pour ce palier, le coté le plus dominant dans le comportement vibratoire des plaques est le CC.
Deuxième bloc B
Tableau 5.55 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
SSCC 4.760 3.403 3.403 SCa SCb
Le paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC d’abscisse a/b=4.5 converge vers une valeur d’ordonnée: 3.403 qui représente le coté SC. Cela s’explique physiquement par la présence des conditions de fixité diagonalement symétriques.
Troisième bloc C
Tableau 5.56 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques SCSC-SSSS-SFSS
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te a/b=4.5 b=Cte Coté dominant SCSC 4.827 2.791 4.032 CCb SSa SSSS 4.134 2.764 2.764 SSa SSb SFSS 3.153 2.674 1.270 SSa SFb
Les paramètres fréquentiels fondamentaux des trois types de plaques SCSC- SSSS-SFSS d’abscisse a/b =4.5 convergent respectivement vers des valeurs très proches d’ordonnées: 2.791, 2.764 et 2.674 qui représentent le coté le plus dominant SS dans ce bloc C des paramètres fréquentiels. Cela s’explique physiquement par la présence des conditions de fixité homogène et non homogène. En conclusion, pour ce bloc, le coté le plus dominant dans le comportement vibratoire des plaques est le SS.
Quatrième bloc D
Tableau 5.57 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque CFCC
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
CFCC 4.42 4.036 1.901 CCa CFb
Le paramètre fréquentiel de la plaque CFCC d’abscisse a/b =4.5 converge vers une valeur d’ordonnée: 1.901. Cela s’explique physiquement par la présence des conditions de fixité FC.
Cinquième bloc E
Tableau 5.58 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SFSS
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
SFSS 3.153 2.674 1.270 SSa SFb
La courbe N°5.35 montre que le paramètre fréquentiel de la plaque SFSS d’abscisse a/b=4.5 converge vers une valeur d’ordonnée: 1.270. Cela s’explique physiquement par la présence des conditions de fixité. SF
En conclusion, on observe que la hiérarchie du comportement des plaques (a/b=1) selon la rigidité ou la souplesse, est parfaitement respectée selon le type de plaque en fonction des conditions aux frontières c.à.d. de la plaque rigide (CCCC) vers la plaque la plus souple SFSS. Cependant, on remarque que les six plaques citées ci dessus convergent respectivement toutes vers un comportement équivalent de type poutres. On observe un décalage du paramètre fréquentiel pour toutes les plaques de deux comportements différents rigide et souple selon les deux directions des dimensions de la plaque a et b constantes respectivement (voir tableau N°5.53).
Ce résultat fiable et consistant s’explique avec le sens physique du comportement vibratoire privilégié d’une plaque plus rigide vers la plaque la plus souple (Exemple : plaque SFSS quand a= Cte, le coté privilégié (rigide) SS de la plaque donne une valeur Ωi =2.674alors qu’avec b= Cte, le coté le moins privilégié (souple) SF de la plaque donne une valeur Ωi =1.270.
Toutes les courbes du paramètre fréquentiel fondamental des plaques (CCCC-SSCC-SCSC-SSSS-CFCC-SFSS) convergent vers une allure asymptotique rigide ou souple selon le rapport de dimensions a/b ou b/a et les conditions de fixité. On n’observe que, toutes les courbes convergent vers cinq zones, chacune avec des valeurs très proches.
5.2.3.2.2 Les plaques orthotropes ayant différents modules d’Young Ex et Ey
La figure N° 5.36 nous montre une allure parabolique décroissante plus ou moins raide de touts les cas comme le cas précédent pour l’intervalle a/b=1-1.5. Au-delà de cette frontière, une atténuation asymptotique s’impose. Nous remarquons que chaque courbe bifurque vers deux paliers de valeurs fréquentielles différentes. Physiquement, s’explique par l’influence de trois paramètres: la rigidité, le rapport de dimensions a/b=1 et les conditions de fixité. Dans notre cas, nous avons choisi le cas
[
EyffEx]
c.à.d.[(
D1 D3=2,D2 D3=0.5)]
.Toutes les douze courbes des six types de plaque sont enveloppées par deux courbes CCCC b=Cte Ωi=6.271→5.644et SFSS b=Cte Ωi =3.154→1.270.On remarque que la valeur du paramètre fréquentiel fondamental du cas SCSC quand a/b=4.5, devient supérieure Ωi =5.652 à la valeur du cas CCCC b=CteΩi =5.644.Cela s’explique par le facteur dominant qui est la forte rigidité dans le sens de y. Dans ce cas, les conditions de frontières jouent un rôle secondaire par rapport à la forte rigidité.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 1.270 SFSS b=Cte 4.046 CCCC a=Cte 4.03 CFCC a=Cte 3.781 SSSS b=Cte 3.409 SSCC a=Cte 2.815 SCSC a=Cte 2.769 SSSS a=Cte 2.674 SFSS a=Cte 2.40 CFCC b=Cte 4.709 SSCC b= Cte 5.652 SCSC b=Cte 5.644 CCCC b=Cte 3.154 SFSS 6.271CCCC 6.00SCSC 5.438 SSCC 4.575 SSSS 4.47CFCC P a ra m è tr e f réque n ti el
Rapport de dimension b/a avec a=Cte et a/b avec b=Cte
Fig. 5.36 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental Ω11 des six plaques orthotropes en fonction des rapports de rigidité D1/D3 = 0.5 et D2/D3 = 2, des
conditions aux bords et du rapport de dimensions avec a/b (b = Cte) et b/a (a = Cte)
Tableau 5.59 Paramètre fréquentiel fondamental de six types de plaques
Paramètre fréquentiel Ωi
Type de plaque a/b=1 a=C
te a/b=4.5 b=Cte CCCC 6.271 4.046 5.644 SCSC 6.00 2.815 5.652 SSCC 5.438 3.409 4.709 SSSS 4.575 2.769 3.781 CFCC 4.47 4.03 2.40 SFSS 3.154 2.674 1.270
Dans la même figure N°5.36, on remarque que les six cas de plaques CCCC-SSCC-SCSC-SSSS- CFCC-SFSS ayant respectivement des conditions de fixité homogènes et non-homogènes sur les quatre cotés, convergent vers plusieurs zones différentes du cas des plaques isotropes.
Premier bloc A
Tableau 5.60 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CCCC-SCSC
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
CCCC 6.271 4.046 5.644 CCb CCa
SCSC 6.00 2.815 5.652 CCb SSa
Les paramètres fréquentiels fondamentaux des deux types de plaques CCCC- SCSC d’abscisse a/b =4.5 convergent respectivement vers des valeurs très proches d’ordonnées: 5.644 et 5.652 qui représentent le coté le plus dominant CC du bloc A des paramètres fréquentiels. Cela s’explique physiquement par l’influence de deux facteurs, la rigidité et les conditions de fixité dans le même sens de y. On peut conclure que la hiérarchie des deux facteurs est respectée. Deuxième bloc B
Tableau 5.61 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
SSCC 5.438 3.409 4.709 SCb SCa
Le paramètre fréquentiel de la plaque SSCC d’abscisse a/b =4.5 converge vers une valeur d’ordonnée: 4.709 qui représente le coté SC. Cela s’explique physiquement et uniquement par la présence de la rigidité.
Troisième bloc C
Tableau 5.62 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CCCC-CFCC
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
CCCC 6.271 4.046 5.644 CCb CCa
CCCF 4.47 4.03 2.40 CCa CFb
Les paramètres fréquentiels des deux types de plaques CCCC - CFCC d’abscisse a/b =4.5 convergent respectivement vers des valeurs très proches d’ordonnées: 4.046 et 4.03. Les conditions de fixité l’emportent sur la rigidité.
Quatrième bloc D
Tableau 5.63 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSSS
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
SSSS 4.575 2.769 3.781 SSb SSa
Le paramètre fréquentiel de la plaque SSSS d’abscisse a/b =4.5 converge vers une valeur d’ordonnée: 3.781 qui représente le coté SS. On observe la présence évidente de la rigidité. Cinquième bloc E
Tableau 5.64 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
SSCC 5.438 3.409 4.709 SCb SCa
Le paramètre fréquentiel de la plaque SSCC d’abscisse a/b =4.5 converge vers une valeur d’ordonnée: 3.409 qui représente le coté SC. Cela s’explique physiquement et uniquement par l’influence de la rigidité.
Sixième bloc F
Tableau 5.65 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques SCSC-SSSS-SFSS
Type de plaque Ωi =a/b a=C
te a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
SCSC 6.00 2.815 5.652 CCb SSa
SSSS 4.575 2.769 3.781 SSb SSa
SFSS 3.154 2.674 1.270 SSa SFb
Les paramètres fréquentiels fondamentaux des trois types de plaques SCSC - SFSS d’abscisse a/b =4.5 convergent respectivement vers des valeurs très proches d’ordonnées: 2.815, 2.769 et 2.674. Les conditions de fixité l’emportent sur la rigidité.
On observe pour le premier cas SCSC que les deux facteurs l’influence de deux facteurs, la rigidité et les conditions de fixité dans le même sens de y.
Pour le deuxième cas SSSS le seul facteur dominant est la rigidité par contre pour le troisième cas SFSS les conditions de fixité l’emportent sur la rigidité.
Septième bloc G
Tableau 5.66 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque CFCC
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te
a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
CFCC 4.47 4.03 2.40 CCa CFb
Le paramètre fréquentiel de la plaque CFCC d’abscisse a/b =4.5 converge vers une valeur d’ordonnée: 2.40 qui représente le coté CF. Cela s’explique physiquement et uniquement par l’influence des conditions de fixité.
Huitième bloc H
Tableau 5.67 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SFSS
Type de plaque Ωi a/b=1 a=C
te a/b=4.5 b=Cte
Coté dominant
SFSS 3.154 2.674 1.270 SSa SFb
Le paramètre fréquentiel de la plaque SFSS d’abscisse a/b =4.5 converge vers une valeur d’ordonnée : 1.270 qui représente le coté SF. Cela s’explique physiquement et uniquement par l’influence des conditions de fixité (dominantes).
5.2.3.2.3 Conclusion
Le problème étudier consiste à résoudre le problème des valeurs propres des six cas de plaques orthotropes. Le but principal de cette analyse est tout d’abord et simplement comparer les valeurs théoriques des paramètres fréquentiels avec des résultats obtenus par la méthode MEF et les différences finies moyennant les approches énergétiques de Rayleigh et Ritz, par rapport aux références tels que Sakata, Algor et Rossi. Nos résultats s’avèrent fiables et acceptables avec de faibles taux de dispersion. Cela témoigne de l’efficacité de la méthode utilisée, de l’économie en termes de temps et d’un seule tronçon fondamental des modèles mathématiques utilisés dans cette approche.
On remarque que les rapports de rigidités
[(
D1 D3=0.5,1,2 ,D2 D3=0.5,1,2)]
nous donnent plusieurs cas de rigidités différentes:1er cas:
[(
D D D D) (
D D D D) (
D D D D)
E Ey]
X= ⇒ = = = = = =0.5, 2 3 0.5, 1 3 1, 2 3 1, 1 3 2, 2 3 2 3 1 2eme cas:[(
D1 D3=1,D2 D3=0.5) (
, D1 D3=2,D2 D3=1)
⇒Ex=2Ey]
3 eme cas:[(
D1 D3=2,D2 D3=0.5)
⇒Ex=4Ey]
4 eme cas:[(
D1 D3=1 ,D2 D3=2) (
,D1 D3=0.5 ,D2 D3=1)
⇒Ey=2Ex]
5 eme cas:[(
D1 D3=0.5,D2 D3=2)
⇒Ey=4Ex]
Dans notre étude, nous avons plusieurs types de plaques orthotropes influencées par trois importants facteurs dominants : la rigidité, les conditions de fixité et le rapport de dimensions. La réponse dynamique de chaque plaque dépend des deux modules d’Young EX et EY ainsi des conditions de fixité (S : appui simple – C : encastrement – F : appui libre) et leurs positionnement par rapport aux pourtours de la plaque et enfin le rapport de dimensions a/b.
Les résultats obtenus par la méthode de Ritz des six types de plaques comparé à ceux de Chen calculées par la méthode des différences finies, témoigne de l’efficacité de Ritz.
Enfin, cette analyse montre que les conditions de fixité C, S et F donnent respectivement: des valeurs supérieures, modérées et inférieures.