Modelisation du comportement vibratoire transverse des plaques sous differentes configurations

(1)

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université de Constan ne 1

Faculté des Sciences de la Technologie

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d’ordre :…………

Série : ……….…

MEMOIRE

Présenté pour l’obtention du diplôme de Magistère

En Génie Mécanique

Option : Construction Mécanique

Thème

MODELISATION DU COMPORTEMENT

VIBRATOIRE TRANSVERSE DES PLAQUES

SOUS DIFFERENTES CONFIGURATIONS

Par

BOUSSALIH Fatiha

Soutenu le :…07/ 12 / 2013

Devant le jury composé de :

Président : MEZIANI Salim Pr Université de Constantine

Rapporteur : ZARZA Tahar M.C Université de Constantine

Examinateurs : TALBI Kamel Pr Université de Constantine

(2)

A la mémoire

de Mes Grands Parents

de Mon Père

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Remerciements

Le travail faisant l’’objet de cette thèse a été effectué au département de génie mécanique,

sous la direction de Monsieur Zarza Tahar maitre de conférence au département de génie civil,

qui par ses connaissances sur les vibrations, a attiré mon attention sur cette thématique. Je le

remercie d’avoir accepté de prendre la direction de cette thèse. Qu’il trouve ici l’expression de

ma profonde gratitude pour son soutien et ses conseils judicieux, ainsi que son aide scientifique.

J’adresse mes plus vifs remerciements à Monsieur Meziani Salim, Professeur, directeur du

laboratoire du département de génie mécanique, pour m’avoir fait l’honneur de présider mon

jury de thèse. Qu’il trouve ici l’expression de ma reconnaissance.

Je remercie chaleureusement Monsieur Talbi Kamel, Professeur à l’université de

constantine1, et chef de département de génie mécanique d’accepter de consacrer son temps à

examiner ma thèse. J’en suis très honoré et je l’en remercie.

J’adresse tout particulièrement ma reconnaissance à monsieur, Fouathia Athmane maître

de conférences du département de Génie mécanique à l’université de Constantine1, pour son

dynamisme, ses encouragements constants et sa consécration de son temps en examiner cette

thèse.

Que messieurs les professeurs Benmansour Toufik , Bouchoucha Ali, Benyesad Ismail,

Mekroud Abdslem, Nemouchi Zoubir, Necib Brahim, Mili Fayçal, Bellel Azdine, Nemouchi

Azouz, Mme Kenana Wassila et Bessila Nacer de l’université de Constantine1 ,acceptent mes

remerciements pour m’avoir accueilli et enseigné dans de très bonnes conditions de travail et un

environnement de recherche exceptionnelle autant de point de vue des qualités humaines que

scientifiques.

Je remercie tous mes amis proches Chaibi Fatiha, Bouziene Narimene, Zaimi Sihem,Raiss

Saliha, Chabi Amel, Labani Amel, Derdouri Amia, Achour Toufik, Khalfi Mehdi, Bouhbila

Hamoudi et Chatteh Rabia pour leur soutien, ainsi que les enseignants du département de génie

mécanique.

Enfin et avant tout, je tiens à remercier du fond du cœur, mon mari Borni Farid, mes

enfants Mohamed Akram, Acil Rabia, Louai Chahine, mes frères, mes sœurs, mes nièces, mes

beaux frères Monsouri Slimane et Mouza Fayçal.

(4)

SOUS DIFFERENTES CONFIGURATIONS

Résumé

Nous espérons par ce travail fournir une méthodologie d’investigation dynamique, permettant l’accès à des informations relatives à la réponse des plaques rectangulaires minces en vibration libre et au danger impliqué par le phénomène de résonnance. On espère donc contribuer à combler cette insuffisance, en se basant sur le background et le cumule des investigations dans ce domaine moyennant une approche énergétique, et en se consacrant à l’analyse dynamique des éléments stratégiques de types plaques minces rectangulaires isotropes et orthotropes avec différentes conditions aux bords. Cette étude est renforcée par une injection d’un chargement ou d’une réservation sur les plaques isotropes minces. Pour mieux appréhender ces phénomènes physiques de déformations, une analyse fine et dynamique de ces plaques, est considérée. Dans ce contexte, on s’est proposé le développement d’un programme d’analyse en se basant sur le software « Maple». Le développement ainsi que la fiabilisation de ce programme sont basés sur les méthodes de Rayleigh et Ritz, et sur la proposition des modèles mathématiques du type tantôt trigonométriques, tantôt polynomiales ou combinées en observant strictement le respect des conditions aux frontières. La représentativité de ces fonctions de forme est testée par confrontation des fréquences naturelles obtenues avec ceux de la littérature. Une analyse paramétrique, préconisée par la littérature, à permis d’une part à mieux appréhender le comportement vibratoire de la plaque, et d’autre part à cerner le taux de dispersion, qui s’inscrit dans de bonne limite de tolérance.

D’autres investigations sont menées, afin de confirmer les possibilités du programme d’une part, et d’autre part ouvrent de nouvelles perspectives concernant la maitrise du comportement dynamique des plaques rectangulaires soumises à différentes configurations, notamment :

1- Etude paramétrique fréquentielle pour l’analyse des plaques rectangulaires minces isotropes avec différentes combinaisons d’appuis (SSSS, SCSS, SCSC, CCSS, CCCS, CCCC, CSSF, CSCF, CCSF, SCSF, CSFF, SSSF).

2- Investigation paramétrique fréquentielle pour l’analyse des plaques rectangulaires minces orthotropes avec différentes combinaisons (CCCC,SSSS,SSCC,SCSC,CFCC,SFSS) en fonctions des conditions aux bords, rapport de dimensions et les rigidités transversales et longitudinales.

3- Effet d’une charge répartie rectangulaire sur le comportement vibratoire libre des plaques isotropes rectangulaires et minces (SSSS ,SSCC, SCSC,SSCS, CSCC,CCCC).

4- Effet d’un évidage rectangulaire sur le comportement vibratoire libre des plaques isotropes rectangulaires minces (SSSS ,SSCC,CCCC,CSSF,CCSF,SCSF,SSSF,CSFF).

Mots clés:

Vibration libre, résonance, Fréquence, Paramètres fréquentiels, homogène, non homogène, isotrope et orthotrope, charge répartie, trou, méthode de Rayleigh et Ritz. Plaque mince, conditions de fixité, rigidité.

(5)

يزاﺰﺘھﻻا كﻮﻠﺴﻟا ﻢﯿﻤﺼﺘﻟا

لﺎﻜﺷﻷا ﻒﻠﺘﺨﻤﻟ تﺎﻃﻼﺒﻠﻟ ﻲﻟﻮﻗﺎﺸﻟا

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DIFFERENT CONFIGURATIONS

Abstract

By this work, we intend our self, to develop à methodology about dynamic investigation of rectangular plate, to have information on the risk coming from the phenomenon of resonance. We hope to contribute in this area of vibration this insufficiency which is based on the background and investigation in this area using energy method. The dynamic analysis of strategic elements of thin rectangular isotropic and orthotropic plates with various conditions limits was considered. This study was reinforced by addition a load uniformly distributed and a hole on the isotropic thin plates.

In this work we develop a good program using mathematical software “ MAPLE”, to investigate dynamic behavior of rectangular plate with various conditions limits. The development and solutions of free dynamic behavior are use as responses factors and obtained based on Rayleigh-Ritz. To enhance the possibility of the developed program in performing dynamic analysis, we use many type of shapes functions consistent with the usual boundaries conditions, and based on trigonometry or polynomial parameter, or with combination of both one. To test the good performance of those selected shape functions, we compare the frequencies solutions calculated from the program with those obtained from literature. Using the same steps as indicated from the literature and then performing the dynamic analysis based on those combinations and lead to response within good tolerances. Others investigations are performed to certify the performance of the program from one hand, and then open new perspectives about the capability to handle the dynamic behavior analysis, concerning rectangular plates subjected to some assumptions, that is:

1. A study on parametric frequency for dynamic analysis of rectangular isotopic thin plate with different combinations of boundaries conditions (SSSS, SCSS, SCSC, CCSS, CCCS, CCCC, CSSF, CSCF,CCSF, SCSF,CSFF, SSSF).

2. A study on parametric frequency for dynamic analysis of rectangular orthotropic thin plate with different combinations of boundaries conditions (CCCC,SSSS,SSCC,SCSC,CFCC,SFSS).

3. Effect of distributed load on the free dynamic behavior of rectangular thin plate (SSSS ,SSCC,SCSC,SSCS,CSCC,CCCC).

4. Analysis of free vibration response of rectangular thin plate with the presence of rectangular hole (SSSS , SSCC,CCCC,CSSF,CCSF,SCSF,SSSF,CSFF).

Keywords:

Free vibration, resonance, frequency, parametric frequency, homogenous and non homogenous plates, isotropic and orthotropic, distributed load, hole, Rayleigh-Ritz method, boundaries conditions, rigidity.

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Sommaire

Résumé ... 3

Chapitre 0: Introduction Générale

0.1 Introduction... 1

0.2 Définition de la problématique problème ... 3

0.3 Structure du document... 5

Chapitre 1: Revue bibliographique

1.1 Historique des plaques... 8

1.2 Plaques orthotropes ... 11

1.3 Plaques isotropes avec des charges réparties ... 11

1.4 Plaques isotropes avec une inclusion ... 12

Chapitre 2: Rappels sur la loi du comportement – vibrations - théories des

plaques

2.2 Introduction sur les milieux ... 13

2.2.1 Milieu homogène ... 14

2.2.2 Milieu hétérogène ... 14

2.2.3 Milieu isotrope ... 14

2.2.4 Milieu isotrope transverse ... 14

2.2.5 Matériau orthotrope ... 14

2.3 Loi de comportement ... 14

2.3.1 Potentiel élastique ... 15

2.3.2 Relation déformation-déplacement... 16

2.3.3 Matrice de rigidité d’un matériau isotrope ... 16

2.4 Les vibrations linéaires ... 17

2.4.1 Introduction ... 17

2.4.2 Notions sur les Vibrations ... 18

2.4.2.1 Une vibration propre ... 18

2.4.2.2 Une vibration forcée ... 18

2.5 Degré de liberté ... 19

2.5.1 Mouvement à un degré de liberté ... 19

2.5.2 Les systèmes à un degré de liberté ... 19

2.5.3 Systèmes à plusieurs degrés de libertés ... 20

2.6 Le mouvement libre non amorti ... 20

2.7 Modes propres... 21

2.8 Oscillation libre sans amortissement ... 22

2.8.1 Equation du mouvement ... 22

2.8.2 Résonance ... 22

2.8.3 Amortissement... 22

2.9 Théorie des plaques ... 22

2.9.1 Définition des plaques ... 23

(8)

2.9.3 Les plaques minces ... 23

2.9.3.1 Le modèle classique Love- Kirchhoff ... 24

2.9.3.2 Les hypothèses de Love Kirchhoff ... 25

2.9.3.3 Domaine de validité ... 26

2.10 Théorie des plaques épaisses ... 26

2.10.1 Le modèle classique de Reissner-Mindlin ... 26

2.10.2 Domaine de validité ... 27

2.10.3 Les hypothèses de Mindlin ... 27

2.10.4 Expression des moments en fonction des déformations... 28

2.10.5 Introduction du coefficient de cisaillement ... 29

2.10.6 Cinématique de la déformation ... 29

2.10.7 Equation du mouvement ... 30

2.10.8 Interprétation et calcul de µ' ... 30

2.10.9 Le coefficient de correction en cisaillement k ... 31

2.11 Les conditions aux limites ... 31

Chapitre 3: Méthodes numérique approchées de Rayleigh et Ritz

3.2 Energie d’une plaque ... 34

3.3 Forme de la déflexion ... 34

3.4 Les déformations ... 35

3.5 Les contraintes ... 36

3.6 Les Moments de flexion ... 36

3.7 Les efforts tranchants ... 36

3.8 Les méthodes énergétiques de Rayleigh et de Ritz ... 36

3.8.1 Généralités ... 36

3.8.2 La méthode de Rayleigh ... 36

3.8.3 La méthode de Ritz ... 37

3.8.3.1 Introduction ... 37

3.8.3.2 Equation du mouvement de la plaque... 38

3.9 Formulation analytique... 39

3.9.1 L’énergie de déformation d’une plaque isotrope ... 39

3.9.2 L’énergie de déformation d’une plaque orthotrope ... 39

3.9.3 L’énergie cinétique des plaques isotrope et orthotrope ... 39

3.9.4 L’énergie totale de la plaque isotrope et orthotrope ... 40

3.9.4.1 Energie totale de la plaque isotrope... 40

3.9.4.2 Energie totale de la plaque orthotrope ... 40

3.9.5 Le quotient de Rayleigh ... 41

3.9.5.1 Le quotient de Rayleigh de la plaque isotrope ... 41

3.9.5.2 Le quotient de Rayleigh de la plaque orthotrope ... 41

Chapitre 4: Modélisation

4.2 Choix de la méthode ... 43

(9)

4.4.1 Les différentes fonctions de formes... 45

4.4.2 L’énergie de déformation d’une plaque isotrope ... 47

4.4.2.1 L’énergie cinétique d'une plaque isotrope ... 47

4.4.2.2 L’énergie totale de la vibration de la plaque isotrope ... 48

4.5 Caractéristiques du modèle de plaque rectangulaire isotrope ... 48

4.6 Le quotient de Rayleigh ... 48

4.7 Les plaques orthotropes ... 49

4.7.2 Energie de la plaque Orthotrope ... 50

4.7.2.1 Formulation analytique ... 50

4.7.2.2 L’énergie de déformation d’une plaque orthotrope ... 50

4.7.2.3 L’énergie totale de la vibration de la plaque orthotrope ... 50

4.8 Plaque isotrope avec une charge repartie ... 51

4.9 L’énergie totale de la vibration de la plaque avec une masse : ... 51

4.10 Plaque isotrope avec une réservation ... 52

4.10.1 L’énergie totale de la vibration de la plaque avec une réservation ... 52

4.10.2 Caractéristiques géométriques et physiques de la plaque et de la réservation ... 52

Chapitre 5: Résultats et discussions

5.1 Plaques isotropes ... 53

5.1.2 Validation des résultats : Comparaison paramétrique en fonction du rapport des dimensions a/b de la plaque rectangulaire, v = 0.3 et mn mna h/D 2 , , =ω ρ Ω . ... 53 5.1.2.1 Plaque rectangulaire SSSS ... 54 5.1.2.2 Plaque rectangulaire SSCC ... 56 5.1.2.3 Plaque rectangulaire SCSC ... 58 5.1.2.4 Plaque rectangulaire SCSS ... 60 5.1.2.5 Plaque CCCS ... 62 5.1.2.6 Plaque isotrope CCCC ... 65 5.1.2.7 Plaque isotrope CSSF ... 67 5.1.2.8 Plaque isotrope CSCF ... 69 5.1.2.9 Plaque isotrope CCSF ... 71 5.1.2.10 Plaque isotrope CSFS ... 73 5.1.2.11 Plaque isotrope SSSF ... 75 5.1.2.12 Plaque isotrope CSFF ... 77

5.1.3 Taux de dispersion du paramètre fréquentiel par rapport à la référence de Leissa ... 79

5.1.4 Evolution des paramètres fréquentiels fondamentaux des douze plaques par rapport au rapport de dimension ... 79

5.1.4.1 Introduction ... 79

5.1.4.2 Plaques isotropes avec des conditions de fixité homogènes CCCC-SSSS et diagonalement symétriques SSCC ... 82

5.1.4.3 Plaque isotropes CCCS-SCSC-CSCF-SCSS-CCSF-CSSF-SCSF-SSSF-CSFF . 82 5.1.4.4 Convergence du paramètre fréquentiel des plaques ... 83

5.1.5 Effet du rapport de largeur – épaisseur b/h de la plaque ... 87

(10)

5.2.2 Validation des résultats ... 88

5.2.2.1 Plaque orthotrope simplement appuyée SSSS ... 88

5.2.2.2 Plaque orthotrope CCCC ... 89

5.2.2.3 Conclusion sur les résultats des plaques SSSS-CCCC ... 89

5.2.3 Etude paramétrique des plaques orthotropes en fonction des rapports de rigidités ... 89

5.2.3.1 Comparaison paramétrique en fonction du rapport des dimensions b/a de la plaque rectangulaire avec le paramètre fréquentiel, v = 0.3. 3 4 2 4 / D ha i i = ω ρ Ω ... 90

5.2.3.2 Evolution du paramètre fréquentiel des six plaques orthotropes (CCCC, SSSS, SCSC, SSCC, CFCC, SSSF) en fonction du rapport de dimensions a/b et b/a, les conditions de fixité et rigidité... 103

5.3 L’effet de la masse ... 113

5.3.2 Les plaques isotropes minces SSSS-SCSC-SCSS-SSCC-CCCS-CCCC avec un chargement ... 114 5.3.2.1 Plaque isotrope SSSS ... 114 5.3.2.2 Plaque isotrope SCSC ... 115 5.3.2.3 Plaque isotrope SCSS ... 116 5.3.2.4 Plaque isotrope SSCC ... 117 5.3.2.5 Plaque isotrope CCCS ... 118 5.3.2.6 Plaque isotrope CCCC ... 119

5.3.3 Taux de dispersion du paramètre fréquentiel fondamental des six type de plaques par rapport au cas 0 ... 119

5.3.3.1 Discussion ... 120

5.3.3.2 Interprétation physique ... 121

5.4 Plaques avec réservation... 122

5.4.1 Calcul du paramètre fréquentiel des plaques minces isotropes avec une réservation .... ... 122

5.4.2 Validation des résultats d’une plaque isotrope CSCS avec une réservation ... 122

5.4.3 Etude paramétrique fréquentielle des plaques minces isotropes avec réservation ... 123

5.4.4 Discussion sur l’évolution du paramètre fréquentiel fondamental ... 128

5.4.5 Conclusion ... 129

Conclusion Générale ... 130

(11)

Liste des tableaux

Tableau 2.1 Expressions analytiques des types de support 32 Tableau 4.1 Caractéristiques géométriques et physiques de la plaque et de la réservation 52 Tableau 5.1 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ

ω

=

Ω en fonction du rapport de dimensions a/b avec le taux de dispersion _% ₍ ₎_.₁₀₀

présent référence présent E ω ω ω − = . 54

Tableau 5.2 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental en fonction du rapport de

dimension a /b ou b /a de la plaque SSSS 55

Tableau 5.3 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D 2 _ρ ω =

dimension a /b ou b /a de la plaque SSCC 57

Tableau 5.5 La variation du paramètre fréquentiel _a _h _D

i i / 2 _ρ ω = Ω en fonction du rapport de dimensions a/b avec le taux de dispersion

100 . ) ( % présent référence présent E ω ω ω − = 58

dimension a /b et b /a de la plaque SCSC avec le taux de dispersion 59 Tableau 5.7 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ ω =

Ω en fonction du rapport de dimensions a/b avec le taux de dispersion

100 . ) ( % présent référence présent E ω ω ω − = . 60

dimensions a /b et b /a de la plaque SCSS avec le taux de dispersion 61 Tableau 5.9 La variation du paramètre fréquentiel _Ω_i₌_ω_ia2 _ρh/D en fonction du rapport de

dimensions a/b avec le taux de dispersion

dimensions a /b et b /a avec le taux de dispersion de la plaque CCCS 63 Tableau 5.11 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ ω =

dimensions a /b ou b /a avec le taux de dispersion de la plaque CCCC avec le taux de dispersion 65 Tableau 5.13 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ ω =

dimensions a /b et b /a avec le taux de dispersion de la plaque CSSF 67 Tableau 5.15 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ ω =

(12)

dimensions a /b avec le taux de dispersion de la plaque CSCF 69 Tableau 5.17 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ ω =

dimensions a /b et b /a avec le taux de dispersion de la plaque CCSF 71 Tableau 5.19 La variation du paramètre fréquentiel _Ω_i₌_ω_ia2 _ρh/D en fonction du rapport de

dimensions a/b avec le taux de dispersion

dimensions a /b et b /a avec le taux de dispersion de la plaque CSFS 73 Tableau 5.21 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ ω =

dimensions a /b et b /a avec le taux de dispersion de la plaque SSSF 75 Tableau 5.23 La variation du paramètre fréquentiel i ia h/D

2 _ρ ω =

présent référence présent E ω ω ω − = 77

dimensions a /b et b /a avec le taux de dispersion de la plaque CSFF 77 Tableau 5.25 Taux de dispersion du paramètre fréquentiel par rapport à la référence Leissa [13].

79 Tableau 5.26 Paramètre fréquentiel fondamental es plaques de type homogènes 82 Tableau 5.27 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques de type non homogènes 83 Tableau 5.28 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques de type homogènes et non

homogènes 84

Tableau 5.29 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques non homogènes 84 Tableau 5.30 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques de type homogènes et non

homogènes 85

Tableau 5.31 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques de type non homogènes 85 Tableau 5.32 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques de type non homogènes 86 Tableau 5.33 Le paramètre fréquentiel

1 2 / D h a i i=ω ρ

Ω , v = 0.3 d’une plaque orthotrope SSSS avec

le taux de dispersion du paramètre fréquentiel. 88

Tableau 5.34 le paramètre fréquentiel

1 2 _h_{/ D} a i i=ω ρ

Ω , v = 0.3 d’une plaque orthotrope CCCC 89 Tableau 5.35 Calcul du paramètre fréquentiel fondamental en fonction des rapports de rigidités

5 . 0 2 , 1 , 5 . 0 2 3 3 1 D = etD D = D et de dimensions b/a. 90

Tableau 5.36 Calcul du paramètre fréquentiel fondamental en fonction des rapports de rigidités

(13)

Tableau 5.37 Calcul du paramètre fréquentiel fondamental en fonction des rapports de rigidités (D1 D3=0.5,1,2et D2 D3=2) et de dimensions b/a. 90 Tableau 5.38 Calcul du paramètre fréquentiel fondamental en fonction des rapports de rigidités

(

D₁ D₃=0.5,1,2 etD₂ D₃=0.5

)

et de dimensions b/a. 92

(D1 D3=0.5,1,2 etD2 D3=1) et de dimensions b/a. 92

(

D1 D3=0.5,1,2 etD2 D3=2

)

(D1 D3=0.5, 1,2 et D2 D3=0.5) et de dimensions b/a. 94

(D1 D3=0.5,1,2 etD2 D3=1)et de dimensions b/a. 95

(D1 D3=0.5,1,2 et D2 D3=0.5)et de dimensions b/a. 96

(D1 D3=0.5,1,2 et D2 D3=2) et de dimensions b/a. 97

(D1 D3=0.5, 1,2 et D2 D3=0.5)et de dimensions b/a. 98

(

D1 D3=0.5,1,2 et D2 D3=0.5

)

(D1 D3=0.5,1,2 et D2 D3=2)et de dimensions b/a. 101

Tableau 5.53 Paramètre fréquentiel fondamental de six types de plaques 105 Tableau 5.54 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CCCC-CFCC-SCSC 105 Tableau 5.55 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC 106 Tableau 5.56 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques SCSC-SSSS-SFSS 106 Tableau 5.57 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque CFCC 106 Tableau 5.58 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SFSS 107 Tableau 5.59 Paramètre fréquentiel fondamental de six types de plaques 108

(14)

Tableau 5.60 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CCCC-SCSC 109 Tableau 5.61 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC 109 Tableau 5.62 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CCCC-CFCC 109 Tableau 5.63 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSSS 110 Tableau 5.64 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC 110 Tableau 5.65 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques SCSC-SSSS-SFSS 110 Tableau 5.66 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque CFCC 111 Tableau 5.67 Paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SFSS 111 Tableau 5.68 Plaque isotrope simplement appuyée SSSS avec différents cas de chargement 114 Tableau 5.69 Plaque isotrope simplement appuyée CSCS avec différents cas de chargement 115 Tableau 5.70 Plaque isotrope simplement appuyée SCSS avec différents cas de chargement 116 Tableau 5.71 Plaque isotrope simplement appuyée SSCC avec différents cas de chargement 117 Tableau 5.72 Plaque isotrope simplement appuyée CCCS avec différents cas de chargement 118 Tableau 5.73 Plaque isotrope simplement appuyée CCCC avec différents cas de chargement 119 Tableau 5.74 Récapitulation de la variation paramétrique fréquentielle fondamentale en fonction de l’étalement, la concentration et la position de la charge des six types de plaques (SSSS-CSCS-

SCSS –SSCC – CCCS –CCCC). 120

Tableau 5.75 Calcul des quatre premiers paramètres fréquentiels d’une plaque avec réservation

LxLy = 89 , dx = Lx3, dy = Ly3 , Xc = Lx2 , Yc = Ly2 122

Tableau 5.76 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CSFF-SSSF-SCSF-CSSF-SSSS-CCSF-SSCC-CCCC avec des inclusions au droit des plaques (coins) 124 Tableau 5.77 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CSFF-SSSF-SCSF-CSSF-SSSS-CCSF-SSCC-CCCC avec des inclusions périphériques (Bord). 125 Tableau 5.78 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CSFF-SSSF-SCSF-CSSF-SSSS-CCSF-SSCC-CCCC avec des inclusions concentriques par rapport aux quarts de la plaque. 126 Tableau 5.79 Paramètre fréquentiel fondamental des plaques CSFF-SSSF-SCSF-CSSF-SSSS-CCSF-SSCC-CCCC avec des inclusions concentriques par rapport aux demis de la plaque. 127

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Liste des figures

Fig. 2.1 Représentation schématique d’un oscillateur amorti simple (a) un modèle d’un système à

deux degrés de liberté (b) x(t) et θ(t). 21

Fig. 2.2 Oscillation libre d'un système à un degré de liberté amorti 22

Fig. 2.3 Cinématique de Love Kirchhoff. 24

Fig. 2.4 Cinématique de Reissner-Mindlin 27

Fig. 4.1 Plaque isotrope CCCC 45

Fig. 4.2 Plaque isotrope CCCS 45

Fig. 4.3 Plaque isotrope SCSC 46

Fig. 4.4 Plaque isotrope SCSS 46

Fig. 4.5 Plaque isotrope SSCC 46

Fig. 4.6 Plaque isotrope SSSS 46

Fig. 4.7 Plaque isotrope CSSF 46

Fig. 4.8 Plaque isotrope CSCF 46

Fig. 4.9 Plaque isotrope CCSF 47

Fig. 4.10 Plaque isotrope CSFS 47

Fig. 4.11 Plaque isotrope SSSF 47

Fig. 4.12 Plaque isotrope CSFF 47

Fig. 5.1 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 55

Fig. 5.2 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 55

Fig. 5.9 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 63 Fig. 5.10 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 64 Fig. 5.11 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 66 Fig. 5.12 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 66 Fig. 5.13 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 68 Fig. 5.14 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 68 Fig. 5.15 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 70

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Fig. 5.16 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 70 Fig. 5.17 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 72 Fig. 5.18 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 72 Fig. 5.19 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 74 Fig. 5.20 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 74 Fig. 5.21 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 76 Fig. 5.22 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 76 Fig. 5.23 Transfert de rigidité d’une plaque carrée vers une plaque allongée 78 Fig. 5.24 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental 78 Fig. 5.25 Evolution des paramètres fréquentiels fondamentaux des douze plaques par rapport au

rapport de dimension b /a avec a=Cte 80

Fig. 5.26 Evolution des paramètres fréquentiels fondamentaux des douze plaques par rapport au

rapport de dimension a /b avec b=Cte 80

Fig. 5.27 Evolution des paramètres fréquentiels fondamentaux des douze plaques par rapport au rapport de dimensions a /b avec b=Cte et b /a avec a=Cte 81 Fig. 5.28 La variation de la fréquence fondamentale des douze plaques par rapport au rapport

b /h 87

Fig. 5.29 L’influence des rigidités D1/D3 = 0.5, 1, 2 et D2/D3 = 0.5, 1, 2, conditions aux bords et

de rapport de dimensions b/a sur le paramètre fréquentiel fondamental de la plaque CCCC. 91 Fig. 5.30 L’influence des rigidités D1/D3 = 0.5, 1, 2 et D2/D3 = 0.5, 1, 2, conditions aux bords et

de rapport de dimensions b/a sur le paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSSS. 94 Fig. 5.31 L’influence des rigidités D1/D3 = 0.5, 1, 2 et D2/D3 = 0.5, 1, 2, conditions aux bords et

de rapport de dimensions b/a sur le paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SSCC. 96 Fig. 5.32 L’influence des rigidités D1/D3 = 0.5, 1, 2 et D2/D3 = 0.5, 1, 2, conditions aux bords et

de rapport de dimensions b/a sur le paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SCSC. 98 Fig. 5.33 L’influence des rigidités D1/D3 = 0.5, 1, 2 et D2/D3 = 0.5, 1, 2, conditions aux bords et

de rapport de dimensions b/a sur le paramètre fréquentiel fondamental de la plaque CFCC. 100 Fig. 5.34 L’influence des rigidités D1/D3 = 0.5, 1, 2 et D2/D3 = 0.5, 1, 2, conditions aux bords et

de rapport de dimensions b/a sur le paramètre fréquentiel fondamental de la plaque SFSS. 102 Fig. 5.35 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental Ω11 des six plaques orthotropes en

fonction des rapports de rigidité D1/D3 = 0.5 et D2/D3 = 0.5, des conditions aux bords et du

rapport de dimensions avec a/b (b = Cte) et b/a (a = Cte) 104 Fig. 5.36 Evolution du paramètre fréquentiel fondamental Ω11 des six plaques orthotropes en

fonction des rapports de rigidité D1/D3 = 0.5 et D2/D3 = 2, des conditions aux bords et du rapport

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Chapitre 0: Introduction Générale

0.1 Introduction

Durant la conception d’une structure mécanique telles que les plaques, certains paramètres de départ sont imposés (Poids, durée de vie, contraintes limites, prix, etc…). Le problème est de déterminer d’une manière générale ou par un choix judicieux, aidé par un calcul préliminaire, les paramètres restants afin d’assurer le bon fonctionnement de la structure. Dans le cadre des sollicitations statiques d’un élément de la structure telle que les plaques, la résolution du problème fait souvent appel la RDM. Cette insuffisante analyse statique donne des indications capitales quand l’élément est soumis à la résistance aux sollicitations des structures mais dans la réalité, le contrôle des vibrations s’avère indispensable car d’une manière générale, les vibrations dans les structures mécaniques peuvent causer des dommages et engendrent la ruine de la structure ou la défaillance de ses constituants par rupture telles les plaques.

Les plaques rectangulaires font partie des éléments structurels les plus couramment utilisés dans plusieurs domaines tels que qu’industrielle (les technologies spatiales, l’ingénierie navale, civile, automobile, aéronautique, ou encore le génie nucléaire). Leur rôle stratégique, et déterminant pour une meilleure performance mécanique, montre la nécessité d’une investigation adéquate pour une meilleure conception des structures.

Durant ces dernières décennies, l’analyse vibratoire des plaques a pris, un essor considérable en raison de leur développement dans plusieurs secteurs industriels. Pour mieux cerner ces problématiques concernant essentiellement des questions d'analyse des réponses dynamiques des plaques, une étude fréquentielle en fonction des paramètres géométriques et physiques est entamée.

De plus, cette analyse vibratoire des plaques est une thématique actuelle importante, tant d’un point de vue académique. La modélisation du comportement dynamique des plaques tels que les tabliers des ponts, les dalles des planchers, tient compte des facteurs subissant des conditions de liaisons, de chargement, des propriétés physico-mécaniques et enfin les vibrations. Actuellement les codes de prévisions techniques pour la construction, des structures industrielles, des équipements, ou pour le cas des ouvrages d’art, soumises aux vibrations reste une problématique non encore bien définie en Algérie. On espère donc contribuer à combler

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cette insuffisance, en utilisant une approche numérique, pour l’analyse vibratoire des éléments stratégiques de types de plaques.

Actuellement, les recherches se tournent vers les méthodes de prévision des phénomènes vibratoires résultant des systèmes vibrants. La solution la plus simple et la plus pratique, est de pouvoir prédire le comportement global d’une structure à partir des éléments qui la composent. En effet, les éléments de base d’une structure sont souvent facilement modélisables à cause de leurs géométries simples telles que les plaques.

Au début de ce siècle, les modèles mathématiques sont soumis seulement à des analyses statiques. D’une autre façon, la méthodologie de dimensionnement utilisée jusqu’à récemment, des plaques en béton, des planchers mixtes acier –béton, est fondée principalement sur des critères de contraintes, de flèches sous l’action de charges statiques. Actuellement, le dimensionnement, sur la base de la flèche admissible sous les charges statiques n’est plus suffisant pour garantir les performances vibratoires des plaques. Généralement, les paramètres fondamentaux de vibrations des plaques telles que les fréquences, modes,…sont influencés par plusieurs facteurs dont la nature du composant, la géométrie, les charges, les conditions aux limites, rigidités de flexion longitudinale, transversale, nature de liaison et l’amortissement

Au cours des ces dernières décennies, les plaques isotropes ont été largement introduites dans les industries automobiles et navales. Cette utilisation de plus en plus importante des plaques isotropes, montre la nécessite de bien connaitre leur comportement dynamique. Le contrôle des vibrations dans ces structures est un problème important qui se pose fréquemment aux chercheurs académiques et professionnels. Pour assurer ce contrôle, la détermination des caractéristiques dynamiques est nécessaire. Il existe de nombreuses méthodes éprouvées pour la détermination des fréquences propres et modes propres. De nombreux travaux visant à caractériser le comportement des plaques en flexion ont conduit à l’élaboration de différents modèles analytique et numérique tel que le modèle de Love Kirchhoff ou le modèle de mindlin.

De même, les plaques orthotropes sont des éléments structuraux couramment utilisés dans différents champs d'applications surtout l'ingénierie navale et le génie civil. Le comportement orthotrope d’une plaque peut dériver non seulement des matériaux anisotropes mais aussi du processus métallurgique qui peut altérer les caractéristiques le long des directions perpendiculaires, ou de l’utilisation des poutres raidisseurs couplée avec une plaque isotrope. Une plaque orthotrope possède des paramètres de rigidité différents selon deux axes perpendiculaires. Ces axes étant dans notre problème parallèle aux bords de la plaque. Il existe deux types d’orthotropes : Une orthotropie de géométrie et une orthotropie de matériaux.

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L’élément plaque rectangulaire orthotrope est excessivement désirable et souvent privilégié pour ses performances mécaniques et pour son apport en terme technologique. Différents types de modèles de plaques sont disponibles suivant les besoins industriels d’où différentes hypothèses sont proposées pour les modéliser et les analyser. On peut citer: (a) les plaques minces avec de petites flèches (Kirchhoff) où l’énergie de contribution de l’effet de cisaillement est négligée ; (b) plaques modérées ou épaisses (Mindlin-Reissner) où l’énergie de contribution de l’effet de cisaillement est préservée. Cette large utilisation de telles structures demande une investigation du comportement dynamique de la plaque orthotrope afin de développer une bonne et meilleure réponse. Dans ce domaine, d’un point de vue d’ingénierie, les méthodes numériques telle que la méthode des éléments finis donnent la solution du problème d’évaluation des modes et de la réponse dynamique des plaques orthotropes. Cependant, dans le cas d’une étude préliminaire de la conception, il est très recommandé d’utiliser une méthode simplifiée pour le calcul des fréquences modales des plaques rectangulaires orthotropes.

Ensuite, pour renforcer notre étude, on s’est intéressé au calcul des fréquences d’une plaque rectangulaire isotrope avec une charge répartie. Les problèmes de vibration des plaques rectangulaires avec chargement sont fréquemment courants dans les applications de l’ingénierie. Usuellement, les perforations sont introduites dans les plaques pour le passage des câbles, la tuyauterie, ... Dans le cas des plaques courantes d’épaisseur constante de formes géométriques simples vibrant en flexion, les fréquences et formes propres peuvent être déterminées analytiquement. Par contre, dès qu’il a un changement local de section (cas d’un trou), le problème se complique, et il est alors plus simple de recourir à une méthode approximative Généralement, on fait appelle aux méthodes approximatives.

0.2 Définition de la problématique problème

Aujourd’hui de nombreuses structures sont dimensionnées en fonction de leur comportement vibro-acoustique et plus généralement de leur comportement en dynamique. Afin d’éviter les essais longs et couteux nécessaires à la validation de la conception de la plaque, il est nécessaire de remplacer cette phase expérimentale par la simulation ou le numérique. Cet outil de calcul nous permet d’appréhender et de prédire le comportement vibratoire de la structure telle que la plaque. Dans ce contexte, On se propose d’étudier la réponse dynamique des plaques en vibrations libre afin d’anticiper le phénomène de résonance.

Les travaux réalisés au cours de cette thèse, s’inscrivent dans la thématique « MODELISATION DU COMPORTEMENT VIBRATOIRE TRANSVERSE DES

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Nous espérons par ce travail fournir une méthodologie d’investigation dynamique, permettant l’accès à des informations relatives au phénomène vibratoire. On espère donc contribuer à combler cette insuffisance, en se basant sur le background et le cumule des investigations dans ce domaine moyennant une approche numérique, et en se consacrant à l’analyse dynamique des éléments stratégiques de types plaques minces rectangulaires isotropes et orthotropes avec différentes conditions aux bords. Cette étude est renforcée par une injection d’un chargement ou d’une réservation sur les plaques isotropes minces.

Avec l'avènement des ordinateurs, les recherches se tournent vers les méthodes numériques pour la prévision des phénomènes vibratoires. Pour mieux appréhender ces phénomènes physiques de déformations, une analyse fine et dynamique de ces plaques, est considérée. Dans ce contexte, on s’est proposé le développement d’un programme d’analyse en se basant sur le software « Maple». Le développement ainsi que la fiabilisation de ce programme est basée sur les méthodes de Rayleigh et Ritz, et sur la proposition des modèles mathématiques du type tantôt trigonométriques, tantôt polynomiales ou combinées en observant strictement le respect des conditions aux frontières.

Afin de mieux apprécier la sensibilité du comportement vibratoire intrinsèque des plaques rectangulaires, l’influence du rapport de dimensions (a/b) est étudiée en considérant l’évolution des réponses fréquentielles, qui varie entre les deux extremums (des seuils) du comportement des plaques porteuses dans les deux sens (carrées), et celui des plaques travaillant essentiellement suivant un seul sens (cas des plaques allongées).

Cette étude a aussi permis d’élaborer une appréciation qualitative des réponses obtenues par rapport à ceux de la littérature. Le taux de dispersion pour les premiers modes, sont inscrits dans les limites de bonne tolérance. Cette large investigation a permis donc de maîtriser la bonne fiabilité du programme élaboré.

Notre objectif principal pour traiter ces problèmes vibratoires, consiste à identifier les fonctions de forme représentatives qui simulent le mieux, le modèle de comportement du type de plaques envisagé. Pour atteindre cet objectif, Nous nous sommes appliqués à exprimer la déflexion w de la plaque par une combinaison linéaire des modes propres. Tout le problème revient alors à exprimer les coefficients Amn des fonctions de formes proposées.

L’analyse d’un système mécanique en vibration commence par la détermination des fréquences et des modes de déformation associés à ces fréquences pour la résolution du système matriciel en vibration libre, et sans amortissement, à savoir le système : 0

..

= +Kw w M

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Le problème aux valeurs propres est résolu par des techniques appropriées telles que les méthodes énergétiques, les méthodes des éléments finis, les différences finies... Les informations recueillies lors de cette analyse préliminaire en vibration libre sont déjà de première importance pour l’ingénieur spécialiste des problèmes vibratoires et même pour les chercheurs. En particulier, à ce stade, les fréquences dangereuses (les valeurs propres du problème) dont il va falloir s’écarter en service sont connues.

L’objectif principal de cette étude est souvent la maximisation de l’écart entre deux fréquences de résonance, de manière à avoir une marge de sécurité suffisante en service. Il est à noter que les fréquences les plus dangereuses sont en général, les premières fréquences calculées dans l’ordre croissant, et que la plupart des algorithmes de détermination des valeurs propres en structure se limitent au calcul des premières fréquences.

L’étude de la plaque passe tout d’abord par la connaissance de l’amplitude de ses déplacements en chaque point du feuillet de la plaque ; pour les déterminer, on établit l’équation de mouvement de la plaque en réalisant une étude en énergie, faisant intervenir les différentes énergies du système (Energie cinétique et énergie potentielle). Pour mieux cerner les problématiques vibratoires concernant essentiellement des questions d'analyse des réponses dynamiques des plaques, une étude dynamique fréquentielle est entamée. Pour assurer ce contrôle, la détermination des caractéristiques dynamiques des plaques est indispensable.

0.3 Structure du document

Le document est organisé en 5 chapitres, une introduction et un état d’art suivis par quelques rappels de background sur les lois comportement du matériau, les vibrations et les théories des plaques minces et épaisses. Ensuite les méthodes numériques, une modélisation des éléments plaques, la partie fondamentale concernant les résultats et discussions. Enfin On termine par une conclusion générale suivie de quelques recommandations et d’une annexe.

La structure du document, est articulée suivant la distribution croissante des cinq chapitres suivants :

Le premier chapitre expose une présentation de l'état d'art, avec une synthèse bibliographique orientée vers l'historique des contributions dans le domaine d’analyse du comportement dynamique des plaques minces rectangulaires isotropes et orthotropes, soumises à différents cas d’hypothèses, telles que préconisées par l'émergence des problématiques concernant respectivement : l’influence des conditions de liaisons variées, les rapports de dimensions, de rigidité de flexion transversale ou longitudinale, des réservations et des chargements.

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Dans le second chapitre, quelques notions de base élémentaires cependant essentielles sont rappelées, une introduction d’ordre général est investie sur la loi de comportement des milieux isotropes. Ensuite, des notions de base sur le phénomène du comportement vibratoire sont introduites. Enfin, la dernière section s’articule sur la philosophie analytique des différentes théories des plaques minces et épaisses. L’objet de toute théorie est de rendre compte de la façon la plus correcte possible des phénomènes mis en jeu par le comportement dynamique des structures. Il est bien évident que nous n’avons pas considéré toutes les théories de plaques existantes : Nous allons seulement nous intéresser à quelques méthodes principales, à savoir la théorie minces de Love- Kirchhoff, puis celle des plaques épaisses de Mindlin. Dans tous les cas d’hypothèses de cette étude, le comportement linéairement élastique est considéré.

Dans le chapitre 3, une introduction générale étale les méthodes de résolution des équations d’équilibre dynamique sous leurs formes différentielles partielles, pour le cas d’hypothèses de plaques minces. Dans le contexte de notre étude des plaques isotropes, nous en avons choisi les méthodes énergétiques de Rayleigh utilisées pour le calcul du mode fondamental et celle de Ritz pour les modes supérieurs sous le code Maple. La méthode de Ritz adoptée se base sur la proposition de fonction admissible et de forme, compatible avec les conditions cinématiques des appuis de bords de la plaque rectangulaire. Les expressions analytiques de l’énergie potentielle et cinétique sont obtenues en tenant compte des fonctions admissibles. Le degré de précision dépend du bon choix de ces fonctions qui approchent la solution fréquentielle exacte par valeurs supérieures. Un programme d’analyse conséquent est développé, en se basant sur le software « MAPLE», et en tenant compte de l’approche Ritz. Les réponses dynamiques pour le cas des plaques minces isotropes constituées de fréquences et modes propres, sont alors obtenues.

La représentativité de ces fonctions de forme est testée par confrontation des valeurs de fréquences naturelles obtenues avec celles d’autres chercheurs reconnus tels que Leissa, Whitny, Chai, Hearmon Hashemi... L’auteur s’est aligné avec une analyse paramétrique, préconisée par la littérature, ce qui à permis d’une part à mieux appréhender le comportement vibratoire, et d’autre part à cerner le taux de dispersion et par de même apprécier la qualité des fonctions de formes adoptées. Les résultats s’inscrivent dans de bonne limite de tolérance et font fois de la représentativité des fonctions de forme sélectionnées. Pour atteindre cet objectif l’auteur a investi quelques contributions qui s’alignent avec les problématiques d’actualités.

Le quatrième chapitre s’intéressera à la modélisation et la formulation analytique des plaques soumises à l’étude. Concernant la modélisation, l’idée directrice est d’utiliser des fonctions de forme admissibles représentatives, de douze cas de fixité des plaques minces

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rectangulaires isotropes avec des combinaisons de conditions aux limites variées d’usage courant C:Encastré- S:Simplement appuyé - F:Libre.

Le premier objectif de ce travail, est de contribuer à calculer les paramètres fréquentiels de douze (12) plaques isotropes minces avec différentes conditions aux frontières sous l’influence du rapport de dimensions a/b (SSSS, SCSS SCSC, CCSS, CCCS, CCCC, CSSF, CSCF, CCSF, SCSF, CSFF, SSSF).

Le second, concerne l'étude paramétrique fréquentielle des plaques orthotropes minces en fonction de six cas de conditions aux limites CCCC-SSSS-SSCC-SCSC-CFCC-SFSS en fonction du rapport de dimensions (a/b) et le rapport de rigidités, transversal et longitudinal.

La troisième contribution traite l’analyse de la réponse vibratoire libre de six plaques rectangulaires minces avec une charge répartie en fonction de l’étalement surfacique et la position (SSSS –SSCC-SCSC-SSCS-CSCC-CCCC).

Finalement, on termine notre travail par une étude sur les plaques, en analysant la réponse vibratoire libre de huit plaques rectangulaires minces et isotropes (SSSS –SSCC-CCCC-CSSF-CCSF-SCSF-SSSF-CSFF) avec une réservation rectangulaire. Dans cette étude le paramètre position de la réservation suit un critère essentiel, variant dans cinq positions différentes sur la plaque: Le centre, le coin, le bord, le centre de gravité du quart et du demi de la plaque.

Le chapitre 5 quittera l’aspect théorique pour s’intéresser de la validation des résultats, les discussions et l’interprétation physique de la réponse du phénomène vibratoire des plaques.

Enfin, on termine ce modeste notre travail par une conclusion générale, des recommandations et enfin une annexe.

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Chapitre 1: Revue bibliographique

1.1 Historique des plaques

L’élément plaque rectangulaire est excessivement désirable et souvent privilégié pour ses performances mécaniques et pour son apport en terme technologique. Ces éléments structuraux sont couramment utilisés dans différents champs d'applications comme l'ingénierie navale et civile, l'aéronautique. Dans ce cas, il faut absolument connaître l’identité fréquentielle de la structure afin de pouvoir contrôler les cas préjudiciables générés par le phénomène de résonance. Différents types de plaques sont disponibles suivant les besoins industriels d’où différentes hypothèses sont proposées pour les modéliser et les analyser. On peut citer: (a) les plaques minces (Kirchhoff) où l’énergie de contribution de l’effet de cisaillement est négligée ; (b) plaques modérées ou épaisses (Mindlin-Reissner) où l’énergie de contribution de l’effet de cisaillement est préservée.

L'avènement de la marine et l'aviation moderne poussent encore plus loin la recherche dans le domaine des plaques minces d’où l’intérêt de l’utilisation de la méthode des éléments finis. En 1956, Turner et al introduisent cette méthode qui permettra de résoudre les problèmes des plaques complexes. On peut aussi citer également la contribution dans les éléments finis de certains auteurs tels que Zienkiewicz (1977), Bogner et al (1966-1967).

Une excellente recherche bibliographique sur l’histoire de l’évolution de l’étude des plaques a était présenté par Erick Charbonneau [1]. En 1766, Euler fut l'un des premiers, à formuler le premier modèle mathématique du problème représentant le comportement d'une plaque assimilée à une membrane en vibration libre. Puis, le physicien allemand Chladni [2] (1787) découvrit les premiers modes propres de vibrations d’une plaque carrée horizontale, en couvrant de la poudre la surface qu’il mettait ensuite en vibration, il obtint ainsi des figures régulières, la poudre s’accumulant suivant les lignes nodales. Cinquante ans plus tard, Lagrange développa en 1811 la première équation différentielle correcte pour décrire les vibrations d'une plaque libre d’épaisseur constante, à laquelle doit satisfaire la flexion

w

, mais sans démonstration ni explication. Pour les mathématiciens, la détermination des fréquences naturelles fût une grande priorité. Sophie Germain a été récompensée en 1816 pour sa contribution au développement de l'équation de la plaque mince. Quelques temps après, Navier (1785-1836) introduit la méthode pour calculer les modes et les fréquences propres d'une plaque

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pour certaines conditions aux frontières. Ce dernier utilisa les fonctions trigonométriques découvertes par Fourier pour représenter la déformation d'une plaque.

Ce n’est qu’en 1850 que Kirchhoff (1824-1887) [3] a établi de façon correcte pour la première fois des conditions aux limites en partant du principe des déplacements virtuels et de l’expression du travail des contraintes de la plaque. Il est considéré comme le fondateur de la théorie moderne des plaques. En analysant des plaques soumises à de grandes déformations, il comprit qu'il fallait tirer compte autant l'étirement de la membrane que la flexion lors du calcul de la déformation d'une plaque. Il conclut que les effets non linéaires ne pouvaient être négligés lorsque l'on traite des plaques avec de grandes déformations et que les fréquences naturelles et les modes propres peuvent être déterminés par la méthode du travail virtuel.

Lord Rayleigh [4] (1877) ou encore Ritz [5] (1909), furent parmi les premiers à formuler la théorie qu'on connaît aujourd'hui. Ritz, a amélioré la procédure de Rayleigh en se basant sur les fonctions de forme qui caractérisent le mouvement dynamique propre, chacune avec un coefficient d’amplitude indépendant. Cette procédure est appelée « Méthode de Rayleigh Ritz ou Méthode de Ritz ». C’est la méthode approximative la plus populaire et la plus utilisée dans l’analyse des structures en vibrations. Ensuite, au cours des années 20, les besoins des structures légères en aéronautique ont permis de développer des problèmes vibratoires et de dynamique. Ainsi pendant une quarantaine d'année, on développa des méthodes plutôt analytiques avec des structures définies par un petit nombre de degrés de liberté (Rayleigh Ritz…), en vibration linéaire. Depuis, de très nombreuses études théoriques ont été menées, surtout avec le développement industriel.

Au fur et à mesure que les recherches s'orientaient vers les phénomènes complexes de façon plus fine, les chercheurs se sont aperçus que la théorie de Kirchhoff avait ses limitations.

En 1921 Timoshenko [6,7] a montré les effets respectifs de la prise en compte de l’inertie rotatoire et du cisaillement est de réduire sensiblement les fréquences propres de vibration des poutres. Dans le même contexte, l’étude vibratoire des plaques a évolué en injectant des hypothèses supplémentaires telles que la prise en compte de l’effet de cisaillement pour le cas des plaques épaisses. Ce qui a conduit à des modèles plus raffinés comme celui de Love [8] (1944) qui appliqua les travaux de Kirchhoff aux plaque épaisses.

Depuis lors, de très nombreuses études ont été menées, surtout avec le développement des industries navales et aéronautiques. C’est ainsi que dans les années de l’après guerre, de nouvelles théories des plaques minces élastiques furent élaborées par Reissner [9] (1945). Reissner fut l'un des premiers à proposer une extension de la théorie des plaques avec cisaillement dans le cas statique. Ensuite, Uflyand 1948 [10] et Mindlin (1951) [11]. C’est ainsi

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qu'ils proposèrent pour les plaques une nouvelle approche théorique rigoureuse. Waburton [12] et essentiellement Leissa [13] (1969) ont contribué d’après plusieurs travaux de recherche contemporaines à mieux appréhender le problème de vibration des plaques en tenant compte des différentes hypothèses pour la prédiction sensiblement exacte du comportement dynamique inhérent aux vibrations des plaques. En 1973 Leissa [14,15], proposa un catalogue élargi à différent cas d’hypothèse pour la solution des vibrations libres de plaques rectangulaires. En parallèle, Liew et al [16] (1995) fournissent une contribution effective pour les plaques épaisses.

Plusieurs chercheurs se sont investis dans l’étude du comportement flexionnel des plaques en vibration libre .Bien que les travaux sur l’analyse vibratoire en flexion des plaques, aient été étudiés, seulement des solutions approximatives sont disponibles à l’exception des plaques simplement appuyée [17]. En l'absence des points de support aux coins de la plaque rectangulaires, 21 combinaisons se présentent, avec l'addition des 12 cas si les points des supports sont inclus. Parmi les 33 combinaisons des conditions aux limites considérées dans les littératures de Leissa ou Gorman [18], quelques cas sont traités séparément en utilisant les méthodes analytiques ou approximatives.

Mihir [19] et Lie [20] en prenant en compte l'effet de cisaillement, utilisèrent la méthode des éléments finis en développant des éléments finis pour l’analyse des plaques rectangulaires isotropes. Chai [21] également étudia la plaque isotrope, homogène et élastique avec une épaisseur uniforme en prenant en considération l’influence des effets de bords (S et C). D’autre part, Mukhopadhyay [22] préféra la technique des différences finies pour améliorer la solution de la vibration libre d’une plaque rectangulaire avec différentes conditions d’appuis classiques et une épaisseur constante et variable. Mukhopadhyay [23] et Waburton [24], déterminèrent les fréquences naturelles des plaques rectangulaires possédant différents degrés élastiques le long des bords. Ladevèse et al [25] introduisirent une nouvelle approche pour l’analyse et le calcul des plaques élastiques homogènes isotropes soumises à des charges de flexions quelconques. Gorman [26] développa une technique mathématique, pour l’analyse vibratoire libre des plaques rectangulaires possédant des appuis discontinus (S-C-L). Gorman et al [27] obtenaient des solutions exactes pour les fréquences naturelles et les modes pour une plaque de Mindlin complètement libre. Il démontra aussi que la méthode des superpositions [28] constitue une technique analytique puissante pour l’analyse des vibrations libres d'un grand rang de la famille des plaques rectangulaires. Initialement, cette méthode est appliquée aux plaques minces avec des conditions aux limites classiques ensuite elle sera applicable aux plaques orthotropes ainsi qu’aux plaques épaisses appuyées sur des supports élastiques.