Une premi`ere expression du courant tunnel a ´et´e donn´ee ´eq.(1.1). Ce calcul basique permet d´ej`a de mettre en ´evidence la d´ecroissance exponentielle du courant tunnel avec la distance pointe–´echantillon z, l’influence de la hauteur de la barri`ere. Par contre, il ne prend pas en compte la structure ´electronique des ´electrodes. Pour ce faire, l’utilisation de la m´ethode dite du hamiltonien de transfert est n´ecessaire. Elle est bas´ee sur le fait que, pour des barri`eres suffisamment ´epaisses, on peut consid´erer que la pointe et la surface sont isol´ees. En d’autres termes, le recouvrement entre les fonctions d’onde de la pointe et celles de la surface sont faibles. Le hamiltonien d’un tel syst`eme a ´et´e d´ecrit par Bardeen [7]. Sur cette base, Tersoff et Hamann [8, 9] ont donn´e une expression r´ealiste du courant tunnel, valable pour dans les limites suivantes :
– κz0 ≫ 1, c’est `a dire dans la limite des barri`eres ´epaisses et
– kT ≪ eVt ≪ Φ, `a savoir dans la limite des tensions et temp´eratures faibles. Cette
derni`ere est g´en´eralement respect´ee `a temp´erature ambiante.
La g´eom´etrie du probl`eme est repr´esent´ee fig.1.3. Elle est suffisamment simple pour mener `a bien les calculs tout en restant r´ealiste. La surface est mod´elis´ee par un plan infini et la pointe par un puits de potentiel sph´erique de rayon R, centr´ee en ~r0. La fonction
d’onde d’un ´electron de la pointe est donc asymptotiquement sph´erique. Les travaux de sortie de la pointe et de l’´echantillon sont, de plus, consid´er´es ´egaux.
Ainsi, le courant tunnel a pour expression : It =
32π3~3e2
(2m)2 R 2V
texp(2κR)DP(EF)ρ(~r0,EF) (1.2)
o`u – DP est la densit´e locale d’´etats ´electroniques (LDOS) de la pointe,
– ρ(~r0,EF) la densit´e locale d’´etats ´electroniques de la surface au point ~r0 et
`a l’´energie de Fermi EF,
– κ ≡ √
2mΦ ~
– ~, m, et e respectivement la constante de Planck, la masse et la charge de l’´electron.
Cette formule contient les d´ependances de It avec les caract´eristiques physiques de la
jonction et les param`etres exp´erimentaux.
• It croˆıt proportionnellement `a la tension de polarisation. Ceci vient du fait qu’on a
int´egr´e le recouvrement des orbitales de la pointe et de la surface `a une ´energie E sur toutes les ´energies entre EF−eVtet EF. De la mˆeme fa¸con, comme nous sommes
dans une approximation des faibles tensions, on peut estimer que ce sont les LDOS au niveau de Fermi (juste au dessus pour l’´electrode polaris´ee n´egativement et juste en dessous pour l’autre) qui sont en jeu.
D’un point de vue pratique, pour maintenir un courant constant tout en augmentant Vt, il faut reculer la pointe.
• L’expression de It fait ensuite intervenir les densit´es locales d’´etats ´electroniques.
– La d´ecroissance exponentielle de It avec la distance pointe ´echantillon z0 est
ici incluse dans le terme ρ(~r0,EF), donnant la LDOS de la surface, et qui est
proportionnel `a exp(−2κ(R + z0)). On a en fait
It∝ exp à −2 √ 2mΦ ~ z0 ! (1.3)
– Pour garder un courant tunnel constant en balayant la surface, la pointe doit se d´eplacer sur une surface d’isodensit´e d’´etats au niveau de Fermi.
• Itaugmente fortement avec le rayon de courbure de la pointe (les autres param`etres
´etant par ailleurs fix´es). A Ic fix´e, la distance pointe–´echantillon augmente donc
avec R. De plus, par effet de moyenne lat´erale, l’amplitude de la corrugation (c’est `a dire les variations de hauteur de la pointe pour garder un courant tunnel constant) d´ecroˆıt de fa¸con exponentielle avec R. La r´esolution va donc diminuer si on utilise une pointe de plus grand rayon de courbure. Elle peut ˆetre ´evalu´ee `a (2κ−1
(R+z0))1/2[8].
Application `a l’observation d’une surface de graphite Un substrat classique en STM, `a l’air, est le graphite. Il est form´e de couches de sym´etrie hexagonale, main- tenues entre elles par les forces de van der Waals (cf. Fig1.4). On utilise du graphite synth´etique, dit HOPG (highly oriented pyrolitic graphite), qu’on peut cliver facilement `a l’aide d’un morceau de ruban adh´esif. On obtient ainsi des surfaces atomiquement plates avec de larges terrasses (de plusieurs centaines de nm). La structure atomique observ´ee par STM est cependant hexagonale centr´ee alors qu’elle devrait ˆetre hexagonale simple (nid d’abeille). De plus, la distance entre deux atomes ne correspond pas aux valeurs tabul´ees mesur´ees par d’autres techniques. C’est l`a qu’il faut bien garder `a l’esprit que le STM ne mesure pas la structure g´eom´etrique des surfaces mais leur structure ´electronique. Les images correspondent `a des surfaces d’isodensit´e ´electronique. Du fait du d´ecalage entre feuillets, il existe deux types d’atomes en surface : ceux `a l’aplomb d’un atome du feuillet inf´erieur (type α) et ceux sans atome en dessous (type β) (cf. Fig1.4).
La distance s´eparant deux types d’atomes identiques vaut 0,246 nm correspondant `a la valeur mesur´ee exp´erimentalement, ce qui signifie qu’on observe seulement des sites de nature identique.
Rappelons que l’interpr´etation de Tersoff et Hamann nous indiquait que le courant tunnel ´etait fonction de la densit´e d’´etats au niveau de Fermi. Celle–ci est plus importante pour les atomes de type β dont les ´electrons π n’interagissent pas avec ceux de la couche
α β
0,142 nm 0,246 nm
Fig. 1.4 – A gauche, structure du graphite : les liaisons entre deux atomes sont repr´esent´ees en traits pleins pour le feuillet terminal, et en pointill´es pour le feuillet sous– jacent. Il existe en surface deux types d’atomes (α et β) surplombant ou non un atome du feuillet inf´erieur. Seuls les atomes β sont visibles, en conditions normales par STM. A droite, une image en mode courant (hauteur constante) d’un ´echantillon de graphite avec Vech = 75 mV. Les atomes sont espac´es de 0,246 nm.
inf´erieure (contrairement aux α). Par cons´equent, ce sont eux qui sont imag´es.
Notons que cette interpr´etation est valable pour des images enregistr´ees sous UHV, et en r`egle g´en´erale dans des milieux “propres”. Les variations de hauteur de la pointe sont alors faibles. Par contre, en cas de contamination de la pointe (par de l’eau, par exemple), on peut observer des corrugations g´eantes qui ne peuvent pas ˆetre uniquement dues aux contributions des LDOS. La raison invoqu´ee est qu’alors, la pointe appuie sur les feuillets pour parvenir `a les imager. Les atomes occupant les sites β, mobiles suivant z s’enfoncent sous l’effet des interactions r´epulsives pointe–´echantillon alors que ceux occupant les sites α sont bloqu´es. Ce sont donc eux qui sont imag´es.
Finalement, on peut trouver des conditions d’image interm´ediaires o`u tous les atomes sont visibles.