Etude du spectre des causes assignables

La carte de contrôle spectrale, repose sur le fait que la transformé de Fourier est additive. Cela veut dire que, étant donnés deux signaux x = {xk | k = 0,…,N-1} et y = {yk | k = 0,…, N-1} ayant respectivement les transformées de Fourier X = {Ax [ ]; Bx [ ]} et Y = {Ay [ ]; By [ ]}, le signal z = x + y aura la transformée de Fourier Z = { Az [ ]; Bz [ ]} où Az [ ] = Ax [ ] + Ay [ ] et Bz [ ] = Bx [ ] + By [ ].

Par conséquent, un changement dans le spectre du bruit du à l'apparition d'une cause assignable, devra se manifester dans les coefficients A [ ] et B [ ] de la décomposition spectrale et donc sur la carte de contrôle spectrale M²_CR.

Mais avant de montrer comment est faite la détection dans le domaine spectral nous allons analyser plus en détail la composition spectrale de deux causes assignables: le saut en échelon et la dérive en rampe.

Le spectre du saut en échelon

Nous avons analysé le spectre du saut en échelon en fonction de plusieurs paramètres (voir figure IV.14.a):

1 le nombre total d'échantillons: N

1 le nombre d'échantillons correspondant au saut: Ns

1 l'amplitude du saut: Amp

Dans la figure IV.14.b et dans la figure IV.14.c on peut voir l'évolution des coefficients cosinus (A^*[ ]) et sinus (B^*[ ]) utilisés par la carte spectrale M_CR² en fonction de N pour un Ns = 10 et Amp =1. On constate que les coefficients cosinus et sinus décrivent une courbe sinusoïdale amortie. Si N est grand, l'amplitude de la première sinusoïde est réduite. Au fur et à mesure que l'on réduit N l'amplitude de la première sinusoïde augmente.

Dans la figure IV.14.d et IV.14.e on remarque que dans le cas où N et Ns sont constants, l'amplitude de la sinusoïde amortie est proportionnelle à l'amplitude du saut.

Plus l'amplitude du saut est grande et plus la hauteur de la sinusoïde principale est grande.

a) saut en échelon

figure IV.14 - Analyse des composantes spectrales du saut en échelon

b) coefficients cosinus en fonction de N c) coefficients sinus en fonction de N

d) coefficients cosinus en fonction de Amp e) coefficients sinus en fonction de Amp

f) coefficients cosinus en fonction de Ns g) coefficients sinus en fonction de Ns Finalement, dans la figure IV.14.f et IV.14.g, on peut constater l'évolution des coefficients cosinus et sinus en fonction de Ns dans le cas où N et Amp sont constants.

Le spectre de la dérive en rampe

En modifiant les mêmes paramètres cités précédemment, nous avons analysé le spectre de la dérive en rampe.

a) dérive en rampe

figure IV.15 - Analyse des composantes spectrales de la dérive en rampe

b) coefficients cosinus en fonction de N c) coefficients sinus en fonction de N

d) coefficients cosinus en fonction de Amp e) coefficients sinus en fonction de Amp

Les résultats, représentant l'évolution des coefficients cosinus et sinus A^*[ ] et B^*[ ] utilisés par la carte spectrale M²_CR sont donnés dans la figure IV.15. Les mêmes remarques que pour le saut en échelon restent valables dans le cas de la dérive en rampe.

Il a été démontré (voir le paragraphe 4.3.2) que les coefficients cosinus et sinus du bruit blanc sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Donc, on peut les assimiler à un bruit blanc à leur tour. On a également remarqué que leur distribution s'approche de la distribution normale d'autant plus que le nombre d'échantillons est grand.

Nous avons aussi étudié l'évolution des coefficients cosinus A^*[ ] et sinus B^*[ ] utilisés par la carte spectrale M²_CR pour deux causes assignables: le saut en échelon et la dérive en rampe. Quand la cause assignable est noyée dans le bruit, la transformée de Fourier du signal ainsi obtenu aura les coefficients cosinus et sinus égaux à la somme des coefficients cosinus et des coefficients sinus du bruit et de la cause assignable.

Tenant compte que ces coefficients seront élevés au carré (voir l'équation 4.33), en regardant les figures IV.14 et IV.15, nous pouvons tirer les conclusions suivantes:

1 la cause assignable est d'autant plus facile à détecter que son amplitude est grande;

1 la cause assignable a plus de chances d'être détectée si N (la taille de la fenêtre temporelle) est petit;

1 la présence de la cause assignable sera d'autant plus évidente que Ns est grand.

4.3.4 Taille de la fenêtre temporelle

Comme la détection des causes assignables se fait dans le domaine spectral, il est souhaitable d'avoir une bonne résolution spectrale. Sachant que pour une variable discrète x = {xk | k = 0,…, N-1} dans le domaine temporel, sur la carte de contrôle M²_CR on va représenter N/2 - 1 points, il est nécessaire que N soit grand. Autrement dit, si on veut une bonne résolution en fréquence, il faut analyser le signal sur une longue période de temps. Or nous avons vu que la détection de la cause assignable de type saut en échelon ou dérive en rampe est facilitée si la taille de la fenêtre temporelle est réduite. Si on utilise, pour la détection, un nombre réduit d'échantillons du signal, alors la résolution spectrale sera faible mais on gagne en précision dans la détection temporelle. Il existe une méthode simple pour améliorer la résolution spectrale dans le cas où N est petit. La méthode consiste à ajouter à la fin du signal un nombre N' de zéros, ce qui ne change rigoureusement rien à la valeur de la transformée de Fourier. Par contre, la résolution spectrale sera ainsi augmentée car, après l'ajout des zéros, le nombre total des points dans le domaine du temps devient N + N' et donc sur la carte de contrôle spectrale M²_CR au lieu d'avoir seulement N/2 - 1 points on va avoir (N+N')/2 - 1 points. Nous recommandons l'utilisation de cette technique surtout quand la taille de la fenêtre d'analyse temporelle du signal est réduite. Nous allons illustrer cet aspect pour la détection d'un saut en échelon et pour la détection d'une dérive en rampe ci-dessous.

Saut en échelon

Dans la figure IV.16.a, nous présentons le cas d'une variable aléatoire x = {xk | k = 1,…64} ayant une distribution normale de moyenne nulle et écart-type 4 = 1, dont la moyenne a subi un saut en échelon d'amplitude 14 à partir de l'observation k = 41.

a)

figure IV.16

a) saut en échelon d'amplitude 14

dans le domaine du temps b) carte de contrôle spectrale

c) carte de contrôle spectrale de haute résolution

b) c)

Dans la figure IV.16.b nous avons la carte de contrôle M²_CR avec la limite de contrôle fixée à 12,43 pour garantir une POM₀ de 500. On remarque qu'aucun point sur la carte de contrôle ne dépasse la limite de contrôle. Cela est du au fait que la résolution spectrale est faible (64/2 - 1 = 31 points seulement sur la carte) et donc la cause assignable passe inaperçue. Pour remédier à cet inconvénient nous avons artificiellement ajouté 448 zéros à la fin de la séquence de 64 valeurs de x. De cette manière, nous n'avons pas changé la transformée de Fourier du signal mais nous avons augmenté la résolution spectrale d'un facteur important. En ajoutant les 448 zéros, le nombre total des points dans le domaine du temps devient 448 + 64 = 512. Nous avons choisi d'ajouter 448 valeurs pour que le nombre total d'observations soit une puissance de 2. Ainsi, pour le calcul de la composition spectrale du signal, on peut utiliser un algorithme de calcul de la transformée de Fourier nommé la transformée de Fourier rapide, nécessitant moins de temps de calcul.

Après l'ajout des zéros, sur la carte de contrôle spectrale M²_CR nous obtenons un nombre N = 512/2 - 1 = 255 de points au lieu de 31 points et donc la résolution spectrale se trouve multipliée par un facteur d'environ 8. Dans la figure IV.16.c nous présentons la carte de contrôle spectrale M²_CR pour cette situation. Nous pouvons remarquer que la limite de contrôle a été dépassée. On remarque également que l'allure du spectre ne change pas mais que c'est la résolution qui s'est améliorée. Dans le cas d'une cause assignable de type saut en échelon, la limite de contrôle sur la carte spectrale est franchie toujours en basse-fréquence c'est-à-dire dans la partie gauche sur la carte, près de l'origine.

Déréglage en rampe

Dans la figure IV.17.a, nous présentons le cas d'une variable aléatoire x = {x_k | k = 1,…64} ayant une distribution normale de moyenne nulle et l'écart-type 4 = 1, dont la moyenne a subi un saut en rampe d'amplitude 14 à partir de l'observation k = 41.

a)

figure IV.17

a) saut en échelon d'amplitude 14

dans le domaine du temps b) carte de contrôle spectrale

c) carte de contrôle spectrale de haute résolution

b) c)

Dans la figure IV.17.b nous avons la carte de contrôle M²_CR avec la limite de contrôle fixée à 12,43 pour garantir une POM₀ de 500. On remarque qu'aucun point sur la carte de contrôle ne dépasse la limite de contrôle à cause de la faible résolution spectrale. Dans la figure IV.17.c nous présentons la carte de contrôle spectrale M²_CR après l'ajout de 448 zéros. Nous pouvons remarquer que la limite de contrôle a été dépassée.

4.3.5 Détection des causes assignables avec la carte de contrôle spectrale

Pour la détection des causes assignables de type saut en échelon ou dérive en rampe nous proposons l'utilisation de la carte spectrale M_CR² (figure IV.18). Elle consiste à faire passer une fenêtre glissante d'une certaine taille à travers le signal et à analyser en permanence le contenu spectral de cette fenêtre.

Dans cet exemple (figure IV.18.a), nous avons simulé une variable aléatoire ayant une distribution normale de moyenne nulle et d'écart-type 4 = 1. A partir de l'observation 32 et jusqu'à l'observation 48 nous avons simulé un déréglage de type saut en échelon d'amplitude 14. Nous avons aussi simulé une dérive en rampe d'amplitude 24 entre les observations 65 et 96.

Sachant que ces deux types de déréglages sont plus facilement détectables si la taille de la fenêtre temporelle est réduite nous avons choisi d'utiliser une fenêtre glissante de 16 points.

b) c) d)

a)

Nous avons ajouté 160 zéros à la séquence de points de la fenêtre afin d'améliorer la résolution spectrale de la fenêtre.

Sur la carte de contrôle spectrale nous avons fixé la limite de contrôle à 12,43 pour assurer une POM₀ de 500.

Dans la figure IV.18.b nous avons représenté l'information affichée sur la carte spectrale M²_CR dans le cas où il n'y a pas de cause assignable présente (position 1 de la fenêtre glissante). On peut remarquer qu'aucun point sur la carte ne dépasse la limite de contrôle.

Dans la figure IV.18.c on donne le contenu de la carte de contrôle spectrale pour la position 2 de la fenêtre glissante correspondant aux observations comprises entre 28 et 44 c'est-à-dire 12 observations après l'apparition du déréglage saut en échelon. On remarque qu'il y a des points qui dépassent la limite de contrôle signalant ainsi la présence de la cause assignable.

Dans la figure IV.18.d nous présentons la détection du déréglage en rampe de la moyenne sur la carte de contrôle M_CR² . La détection a eu lieu pour la position 3 de la fenêtre glissante correspondant aux observations comprises entre 68 et 86, c'est-à-dire 22 observations après le moment d'apparition du déréglage.