Etude du régime stationnaire

3)

Etude du

régime stationnaire

a) Cas simple

Pour

calculer

les termes de

pompage croisés qui

nous

intéressent, qui

sont du

2e ordre

en

intensité, il faut résoudre

les

équations (34)par itération jusqu’à l’ordre 2.

Nous

allons

dans un

premier

temps

mener ce

calcul

dans un cas

simple, de façon

à _mettre en

évidence

les effets de pompage croisés obtenus

et

à dégager

leur

signification

phy-sique :

on

ignore

pour

le

moment

les effets dûs à la retombée par émission

spontanée,

et on suppose que le

champ magnétique appliqué

est nul. Le

niveau

g évolue donc uniquement

sous

l’action des

deux

faisceaux incidents

et de

la relaxation. L’évolution globale

de

(n)

03C3

g

, opérateur densité

03C3

calculé

à

l’ordre

n en

intensité,

est

alors régie

par

l’équation :

Cette équation

se

résoud simplement

par

itération, chaque

ordre

70

en

intensité (ordre 0), l’opérateur densité de

_g est

isotrope :

En

reportant

cette valeur dans

(35),

les commutateurs

s’annulent,

et la

solu-tion

de

l’équation s’écrit :

A

l’ordre

1 en

intensité,

03C3

g

est

une

combinaison linéaire

des

opérateurs

de pompage

A1et A2

^où

^{n’interviennent}

que ^les

"termes

de

dépopulation".

Les effets de pompage

croisé

entre les deux

faisceaux

ne

peuvent apparaître

qu’à l’ordre suivant

en

reportant (36)

dans

(35).On obtient alors

une

équa-tion

où

apparaissent

des termes

croisés

en

I

1

I2,

en

plus

des termes en

I1

²

et

I22.

Nous nous

intéresserons ici uniquement

aux termes

croisés.

Ils sont

de’deux

sortes :

Ces termes

croisés peuvent être appelés respectivement

termes de

"dépopu-lation-dépopulation"

et termes de

"dépopulation-déplacement".

Dans ce cas

particulier,

la structure des termes de

"pompage croisé"

est donc

71

b) Cas général - Décomposition sur une base

d’opérateurs tensoriels irréductibles

Si l’on tient compte

de

l’émission spontanée,

et

qu’on

se

place

en

présence d’un champ magnétique appliqué Bo, il

faut

re-prendre les équations (34)en ajoutant

dans

chacune

un terme

d’évolution

propre :

Supposons

que

Bo

est

dirigé

selon Oz. Les

hamiltoniens qui lui

sont

associés s’écrivent :

P g Jz P g ^(resp. Pe Jz ) eP

est

l’orientation

le

long

de Oz

dans

le

niveau

_g

(resp. e).

Pour

résoudre

les

équations d’évolution globales

de

03C3

g

et

03C3

e

obtenues alors, il

est commode de passer en

représentation d’interaction

72

Les équations d’évolution globales

des

opérateurs densité s’écrivent :

On

cherche,

pour ces deux

équations couplées,

des

solutions

st

tionnaires

en

écrivant :

On

décompose chaque opérateur densité

sur une base

d’opérateurs tensoriels

irréductibles qui

se transforment

simplement

dans le

changement

de

repré-sentation utilisée.

Dans le

référentiel

du

laboratoire,

les

opérateurs

densités 03C3

et 03C3

s’écrivent :

73

T

(k)

q

(J)

est

l’opérateur tensoriel irréductible normé agissant

à

l’intérieur

du

niveau

de moment

cinétique

J

[62].

Son sens

physique

pour

différentes

valeurs de k et q est

bien

connu

[63][64] ;

en

particulier :

<T

(0)

0

>est proportionnel

à la

population

totale du

niveau considéré ;

<T

(1)

0

>est proportionnel

à

l’orientation <Jz>

dans ce

niveau,

le

long

de

l’axe _{Oz ;}

<T

(2)

0

> et <T(2)±2> sont,

^à un

facteur près,

les

composantes longitudinales

et

transversales

de

l’alignement

dans le

niveau.

Les

opérateurs

de _pompage et

d’excitation _{peuvent être}

décompo-sés

de la

même façon,

en

posant :

L’opérateur E1,2est ^défini

par :

Les

composantes A1,2(k)q

et

E

1,2(k)q dépendent

des

polarisations e

03BB1 et e03BB2.

74

et en

régime stationnaire les composantes

03C3g

(k)q et

03C3e

(k)q également.

On

peut décomposer

le vecteur

polarisation e03BB

sur une base standard

définie

_par

[62] :

Les

coefficients

03B1

p

sont

^les

composantes standards

de

e03BB.

Le

référentiel

Oxyz

est

orthonormé

et

fixe

_par

rapport

au

laboratoire ; l’axe

Oz du

champ

magnétique

a

été choisi

comme axe de

quantification.

La

partie angulaire D

de

l’opérateur dipolaire électrique peut

être décomposée

de

façon analogue :

Avec ces

notations,

les

opérateurs

de pompage et

d’excitation

s’écrivent [63] :

75

On

peut

montrer que leurs

composantes

sont de la forme :

avec

et

Les coefficients ~(k)q (e03BB)

sont

identiques

à ceux

définis

dans

[65].

Leurs

valeurs sont

données

dans le Tableau 3 dans le cas

d’un faisceau

de

pola-risation circulaire

ou

linéaire.

On a

supposé

que ^le

faisceau

se propage

dans

le

plan orienté

z0x dans une

direction qui fait l’angle algébrique 03B8

avec Oz.

On a

d’après (41) :

76

c) Résolution des équations par itération

-Effets de pompage croisé

A

l’ordre

0 en

intensité,

on a

toujours :

A

l’ordre

1 en

intensité, l’évolution

de

(1)e

est

donc régie

par

l’équation :

Comme

03C9

e ^{<< 0393 (le champ magnétique n’a}

pas le

temps d’agir pendant la

du-rée

de

vie du niveau excité),

la

solution

de cette

équation s’écrit :

La

matrice densité (1)

du

niveau métastable évolue

sous

g

l’effet

de

trois

causes

(interaction

avec les

faisceaux incidents,

retom-bée par

émission spontanée,

et

relaxation) (*) :

+

idem (1~2)

(*)

La deuxième expression peut être déduite

^de

(50)

en

utilisant les

résultats

de M.

Ducloy [61].

77

Les deux

premiers

termes se

regroupent simplement,

et

l’intégration

de

l’équation d’évolution

de

(1)

03C3

g donne :

on a

posé :

Dans cette

expression qui décrit l’effet d’un cycle de pompage

par le

fais-ceau

1,

le

premier

terme

correspond à

la

dépopulation,

et le

deuxième à la

retombée.

A

l’ordre

2 en

intensité, l’équation d’évolution de (2)e s’écrit

en

utilisant l’expression (51).

Nous nous contenterons

ici d’écrire

les

ter-mes de

pompage croisés liés

^à

l’interaction

du

système atomique d’abord

avec un

faisceau (1er cycle

de pompage

optique) puis

avec

l’autre (2e cycle) :

+

idem (1~2) - r

L’opérateur (E2T(k1)q1(Jg)) peut être décomposé

sur la basedes

T(K)Q(Je) ;

ses

78

Les

composantes

de

l’opérateur (2)03C3e

sont donc de la

forme :

Comme ceux de

d(1)g,

les termes

apparaissant dans d(2)g

dt dt

sont de

trois sortes ; si

on se

limite

aux termes

croisés,

ceux

qui

décri-vent

l’interaction

avec le

faisceau lumineux contiennent soit

des

anticom-mutateurs

(termes

en

0393’

1

0393’

2

79

Ces deux termes sont la

généralisation

des

expressions (37)

et

(38)

en

présence d’un champ magnétique.

A

partir

des

(2k

1

+1)(2k

2

+1) opérateurs q1(Jg )T)1(kT (k2)q2(Jg ),

on

peut construire

un ensemble

d’opérateurs tensoriels irréductibles V(K)Q(Jg)

d’ordre

K

(|k1-k2|Kk1+k2) [66] :

L’élément

de

matrice réduit

de

V(K) s’obtient

en

utilisant

la

formule

Avec ces

notations,

les

produits (k peuvent q2)2)Tq11(kT s’écrire :

où

T

(K)

Q

(J

g

)

est

l’opérateur tensoriel irréductible normé d’ordre

K

agissant

dans le

niveau

_g.

On déduit simplement,

des

relations

de

symétrie

des

coefficients

80

Pour

être

non

nuls,

les termes

apparaissant

dans

(54) doivent

donc

vérifier :

-

soit

la

condition k1+k2+K pair ; il s’agit

alors de termes en

0393’

1

0393’

2

-

soit

la

condition k1+k2+K impair ; il s’agit

alors

de

termes en

0393’

1

0394E’

2

ou

0393’20394E’1.

A ces

termes, il

faut

ajouter

ceux

qui proviennent

de

la retombée

par

émission spontanée ;

+

idem (1~2) ⁽⁵⁵⁾

Le

coefficient 9j qui figure

dans cette

expression

comme dans

(53)

est nul

si k1+k2+K

est

impair : ceci

est

naturel,

car

les propriétés

de

symétrie

de

l’opérateur 03C3e ^crée

par un processus

d’absorption

sont

les mêmes

_{que celles}

de

l’opérateur

03C3

g ^résultant

^{de la}

^{dépopulation}

par ce processus.

Au

total,

les termes sources dans

l’évolution

de

(2)g

sont de

deux

sortes :

-

des termes

de

"pompage-pompage"

en

0393’10393’2

où

l’on

a

regroupé

les

effets dûs

à la

dépopulation

et à la

retombée ;

ils

correspondent

à

k

1

+k

2

81

- des termes de

"pompage-déplacement"

en

0394E’210393’

et

0393’20394E’1 où

la

retombée

lors du 2e

cycle

de

pompage n’intervien.t pas ; ils correspondent

^à

k1+k2+K

impair.

En

regroupant

^les

^différents

^termes,

l’équation ^{d’évolution}

^de

(2)

g

se

résoud simplement ;

dans la

composante de Q(K)g03C3(2) (2)03C3g

sur la base

des

T(K)Q(Jg), apparaissent

deux sortes de termes

croisés :

- des termes

de"pompage-pompage"(k1+k2+K ^{pair) :}

- des termes

de "pompage-déplacement"(k1+k2+K ^{impair) :}

Dans

ces

expressions,

le

coefficient

entre crochets est un facteur

82

03B2

k1_{(k,K) 2(J1,kp)Ce,Jg}

pour

les

termes de

pompage-pompage

et

03B2

k1,K) 2,k1(kd)Ce,Jg(J

pour les termes de

pompage-déplacement.

Les

expressions (56)

et

(57) peuvent donc s’écrire :

Dans les

coefficients 03B2(K)Q se

trouve

rassemblée

toute

la dépendance angulaire

d’un

effet de pompage

croisé donné (c’est-à-diré associé

à des valeurs de

k1,

k

2

,

K et

Q données).

Le

signal détecté

est

proportionnel à

une

quantité

que nous note-rons s,

combinaison linéaire

de

différents 03C3(K)Q, qui,

dans le cas

d’un faisceau

sonde se

propageant parallèlement

à

Oz,

se

réduit

à des

expressions simples :

s = 03C3

(0)

0

pour ^le

signal d’absorption indépendant

de la

polarisation (en

supposant

nul

l’alignement longitudinal)

s = 03C3

(1)

0

pour le

signal

de

dichroïsme circulaire

s =

03C3

(2)

2

+ 03C3

(2)

-2

pour le

signal

de

dichroïsme linéaire

selon

les

axes Ox et

0y

s =

03C3(2)2 - 03C3(2)-2 i

pour le

signal

de

dichroïsme linéaire

selon

les

bissectrices

83

Il sera commode de poser de

façon analogue 03B6 = 03B2(0)0, (2) + 2(1), 03B2003B2 03B2(2)-2

ou

(03B2

(2)

2

- 03B2(2)-2)/i,

selon la nature du

signal

de

détection.

Supposons

que

chaque faisceau

de _{pompage prenne}

alternativement

deux

états

de

polarisation e03BBet e03BC (en pratique

nous nous

limiterons

à deux

situations : polarisation alternativement 03C3+

et 03C3- où seuls

les ~

_(1)q

varient

et

polarisation alternativement linéaire

dans le

plan

zOx

(~)

et

linéaire parallèle

à

0y (~)

où seuls les

~(2)q varient).

Calculons alors la

quantité

qui est,

^à un facteur

près,

la

partie

de s

qui change

de

signe

à la

fois

quand

on

change e03BB1

en e03BC1,

et

e

03BB2

en e03BC2 (partie ^{"doublement impaire").}

Il est

intéressant

de

considérer

cette

quantité

car

c’est

à elle

qu’on

a accès

expérimentalement quand

on module

simultanément

les

polarisations

des deux

faisceaux

de pompage

(aux fréquences respectives 03C91et 03C92)

et

qu’on

sélec-tionne

dans le

signal détecté

la

partie modulée

à la

fois

à

03C9

1et 03C92.

Celle-ci n’est sensible qu’aux

termes

croisés présents

dans

(2)03C3(K)Q associés

à des

valeurs déterminées

de

k

1

et

k2.

A un facteur

numérique près, qui n’est

fonc-tion

_que de

k1, k2

et

K,

la

partie

doublement

modulée

du

signal détecté

est

alors

égale

à :

Les Tableaux 4 et 5 donnent les valeurs de la

fonction F(03B6)

pour

différents

choix des

polarisations e03BB

et

e

03BC

de chacun des

faisceaux

de

pompage et des

quantités 03B6 associées

à la

détection.

Dans le Tableau 4

sont

rassemblés

les effets

de"pompage-pompage"et

dans le Tableau 5 les

TABLEAU 5 - TERMES CROISES EN

0393’

1

0394E’

84

teraction

du

système atomique

avec le

faisceau 1 puis

avec le

faisceau 2 :

il convient

donc

partout d’ajouter l’effet symétrique

où le

système atomique

interagit d’abord

avec le

faisceau

2

puis

avec le

faisceau

1

(cf. équations

(56) (57)).

On

peut

commenter de la

façon suivante

deux effets

prévus

dans

le Tableau

5 :

2022 Le terme de la

première ligne décrit l’effet simple présenté

dans la

partie

I.3 .

Chaque faisceau

de pompage,

polarisé alternativement 03C3+

et

03C3-,

produit,

par un effet de pompage, une

orientation qui

est

modifiée

_par

l’effet

de

déplacement dû

à

l’autre faisceau :

cet effet de

déplacement,

dans le cas

d’une polarisation circulaire, peut être décrit

comme

celui

d’un champ magnétique fictif Bf [59].

Il en

résulte

une

orientation

longi-tudinale

selon 0z

simultanément

modulée aux deux

fréquences

de

modulation

des

polarisations

de _pompage.

Cet

effet croisé

est a

priori

la somme de

trois

termes contenant les

commu-tateurs

[T(1)-1, T(1)1], [T(1)1, ] (1)-1Tet [T(1)0, T(1)0].

Le

dernier étant nul,

seules les

composantes

transversales des

orientations créées

_par chacun des

faisceaux apportent

une

contribution. C’est pourquoi

la

dépendance

en

an-gles

de

l’effet

est en

sin03B81 sin03B82,

et la

dépendance

en

champ magnétique

proportionnelle

à :

85

On

peut

remarquer que cet effet

croisé

est une

fonction impaire

de

Bo. ^{Ceci était prévisible}

par des

considérations

de

symétrie :

en

effet,

dans une

symétrie

par

rapport

au

plan

zOx des

trois faisceaux,

les

polari-sations circulaires

des deux

faisceaux

de _pompage sont

changées

de

signe,

et le terme source de

l’effet croisé

est

inchangé ;

par

contre,

dans

cette

symétrie, l’orientation

résultante

<Jz> change

de

signe ainsi

_{que le}

champ magnétique B .

2022 Le terme de la

dernière ligne

est

également

un effet

d’orientation

lon-gitudinale,

résultant cette

fois-ci

du

couplage

entre les

alignements créés

par chacun ^{des deux}

faisceaux.

Un tel

effet, prévu théoriquement

par

Lombardi

[

68

],

a

déjà

été

mis

en

évidence

dans des

situations expérimentales

où la

vitesse

des atomes

n’est pas sélectionnée [68][69].

Dans le cas de

polarisations linéaires, soit perpendiculaires

au

plan zOx, soit

contenues dans ce

plan,

le

plan

des

faisceaux

est, comme

pour

l’effet croisé précédent,

un

plan

de

symétrie

pour

l’excitation.

L’o-rientation résultante <Jz>

est donc

également

une

fonction impaire

de

B

o

.

Remarque :

Les termes

associés

à

03B2(0)0 dans

le Tableau 4

décrivent le "trou

de

population"créé

par un effet de pompage

croisé

entre les deux

faisceaux

po-larisés

tous deux

circulairement

ou tous deux

linéairement.

En facteur de

ces

termes,

se trouve le

coefficient

C

p^(k,k,0).

^{Le calcul} montre

que ce

86

Dans le cas où

0393

r

=

0393,c’est-à-dire

où les deux

niveaux

e et g ^forment un

système fermé,

cette

expression

est nulle :

il

ne

peut

y

avoir d’effet

de pompage

croisé

sur la

population

du

niveau

_g

(il s’agit ici

de la somme des

populations

des

sous-niveaux

Zeeman du niveau _g,

qu’on

a

supposé

sans

structure

hyperfine).

Dans le document Pompage optique d'atomes métastables, effets de sélectivité en vitesses induits par un laser monomode (Page 100-120)