Etude param´etrique de la formation du plasma ion-ion

Na derivação dessas equações se considera uma região arbitrária, fixa no espaço, de volume V e superfície S, como mostrado na Figura 71. Essa re- gião matemática é referida como “volume de controle”. Sobre cada elemento de área dS na superfície está associado um vetor normal unitário n apontando para fora. Considera-se que esta região fixa está no interior do campo de esco- amento do fluido e que o mesmo se move através das suas fronteiras. As leis de conservação de massa, quantidade de movimento e energia serão aplicadas para o fluido contido nessa região fixa.

B.1 CONSERVAÇÃO DA MASSA

Suponha que, em um elemento infinitesimal de superfície, dS, o fluido está atravessando a superfície de V com uma velocidade v. Então, a taxa volumétrica local do escoamento do fluido através de dS é (n · v)dS. Se o escoamento é para fora de V , então (n · v)dS é positivo. Caso contrário (n · v)dS é negativo. A taxa de fluxo de massa local é, então, (n · ρv)dS. Note que ρv é o fluxo de massa, isto é, massa por unidade de tempo. As deduções aqui apresentadas foram baseadas no livro de Bird (BIRD; ARMSTRONG; HASSAGER, 1987).

Figura 71 – Volume de controle arbitrário, fixo no espaço (modificado de Bird, Arms- trong e Hassager (1987))

De acordo com a lei da conservação da massa, a massa não é criada nem destruída em escoamentos de interesse da engenharia, ou seja, a massa total do fluido dentro do volume V aumentará somente por causa do fluxo líquido de fluido entrando através da fronteira dS. Matematicamente, isso é escrito como d dt Z V ρdV | {z } Taxa de aumento de massa de fluido dentro de V. = − Z S (n · ρv) dS. | {z } Taxa de adição de massa através da superfície S. (B.1)

Aplicando o Teorema da Divergência de Gauss, a integral de superfície poder ser transformada em integral de volume:

d dt Z VρdV = − Z V(∇ · ρv)dV. (B.2) Como o volume de controle V é fixo, pode-se trazer a derivada tempo- ral para dentro da integral, obtendo-se

Z V  ∂ρ ∂t + ∇ · ρv  dV= 0. (B.3)

Portanto, tem-se agora, uma integral sobre um volume arbitrário e essa integral é igual a zero e como consequência da arbitrariedade do volume, o integrando é igual a zero. Isso nos dá:

∂ρ

∂t = − (∇ · ρv) . (B.4)

a qual é chamada de equação da continuidade. Se o fluido tem uma densidade constante, a equação anterior fica

(∇ · v) = 0. (B.5)

B.2 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

A taxa volumétrica de escoamento do fluido através do elemento de superfície dS é (n · v) dS. Multiplicando por ρv (quantidade de movimento por unidade de volume) e rearranjando, obtém-se (n · ρvv) dS, que é a taxa de quantidade de movimento através do elemento de superfície dS. A quantidade ρvv é o fluxo de quantidade de movimento do fluido (transporte convectivo). Neste momento, cabe ressaltar que a ordem tensorial das quantidades envolvidas no primeiro parágrafo da seção B.1 e no primeiro parágrafo desta

seção são diferentes. Na seção B.1 a quantidade transportada é a massa (esca- lar), e o fluxo de massa é um vetor. Nesta seção, a quantidade sendo transpor- tada é ρv (quantidade de movimento por unidade de volume de fluido) que é um vetor, e o fluxo de quantidade de movimento ρvv é um tensor de segunda ordem.

Além da quantidade de movimento transportada pelo escoamento (for- ças de campo), existe também a quantidade de movimento linear transferido em virtude do movimento molecular e interações dentro do fluido. Denotare- mos essa quantidade por σσσ . Assim, a taxa de escoamento da quantidade de movimento, devido movimentos moleculares, através do elemento de superfí- cie com orientação n é (n · σσσ) dS. Será assumido que σσσ é um tensor simétrico (σi j= σji). De acordo com a lei da conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento total do fluido dentro de V aumentará por causa do fluxo líquido de quantidade de movimento entrando através da fronteira Se também por causa da força da gravidade agindo externamente no fluido. Matematicamente, tem-se d dt Z VρvdV | {z } Taxa de crescimento da quantidade de movimento do fluido dentro deV. = − Z S(n · ρvv) dS | {z } Taxa de acréscimo de quantidade de movimento através de S devido ao escoamneto. − Z S(n · σ σ σ)dS | {z } Taxa de acréscimo de quantidade de movimento através de S devido ao movimento molecular. + Z VρgdV , | {z } Força sobre o fluido dentro de V pela gravidade.

(B.6) onde g é a força por unidade de área devida à gravidade. Aplicando, nova- mente, o teorema da divergência de Gauss, tem-se

Z V d dtρvdV = − Z V (∇ · ρvv)dV − Z V (∇ · σσσ)dV + Z V ρgdV . (B.7) Para V arbitrário, resulta

∂

∂tρv = −∇ · ρvv − ∇ · σσσ + ρg, (B.8) a qual é chamada de equação do movimento ou equação de conservação da quantidade de movimento.

O tensor σσσ pode ser interpretado fisicamente de uma maneira diferente daquela usada na dedução da equação. Isto é, pode-se assumir que a quanti- dade de movimento total do fluido dentro do volume V aumenta por causa do fluxo líquido para dentro, através da fronteira, de quantidade de movi- mento devido a forças de campo, e por causa de forças externas agindo sobre o fluido (força de corpo exercida pela gravidade e força de superfície exercida pelo fluido ao redor volume). Portanto, o termo representando a força de su- perfície na equação teria a forma −R

a força exercida pelo fluido no lado negativo de dS, conforme mostrado na Figura 72. Ou seja, πππn= n · σσσ, logo, a força πππndS correspondente a qual- quer orientação n de dS pode ser obtida a partir do vetor σσσ. Usando essa interpretação, é mais natural se referir a σσσ como tensor tensão de Cauchy. A componente σi jdesse tensor é a força por unidade de área agindo na direção positiva j sobre uma superfície perpendicular à direção i.

Figura 72 – Elemento de superfície através do qual a força πππndSé transmitida (modi-

APÊNDICE C – OPERADORES DIFERENCIAIS EM