Etude des fonctions objectif et choix d’une m´ethode d’optimisation

Fonctions objectif obtenues avec la m´ethode de propagation parall`ele

Dans ses travaux de th`ese sur le calage des r´eseaux de failles, Jenni [2005] a ´echantillonn´e les fonctions objectif obtenues en d´eformant graduellement la position des failles d’un mod`ele synth´etique (Figure 5.11a). Les fonctions ainsi obtenues sont fortement discontinues et poss`edent de nombreux minimums locaux (Figure 5.11b et 5.11c).

La m´ethode du simplexe a ´et´e employ´ee pour effectuer le calage en raison de la non d´erivabilit´e de la fonction objectif. En revanche, l’ampleur des discontinuit´es et la pr´esence

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(a)

(b)

(c)

Fig. _{5.11: a) R´eseau de failles compos´e de deux familles. Les puits sont plac´es par groupe} d’injecteurs/producteurs b) Fonction objectif obtenue en d´epla¸cant les failles de la famille orient´ee NO c) Fonction objectif obtenue en d´epla¸cant les failles de la famille NNO (d’apr`es Jenni [2005])

CHAPITRE 5. CALAGE `A L’HISTORIQUE DE PRODUCTION 93

de minimums locaux ont pos´e des probl`emes de convergence. L’origine des discontinuit´es observ´ees sur les figures 5.11b et 5.11c sont les suivantes :

1. Les r´ealisations ne sont pas conditionn´ees aux puits. Au cours de l’optimisation, une faille peut passer tr`es pr`es d’un puits, voir injecter ou produire directement dans la faille. Il en r´esulte des r´eponses hydrodynamiques tr`es contrast´ees au cours des d´eformations graduelles.

2. Dans l’exemple utilis´e, le r´eseau contient un nombre r´eduit de failles. On remarque sur la figure 5.11a que peu de failles sont pr´esentes entre un puits injecteur et un puits producteur. De ce fait l’´ecoulement est influenc´e par un nombre r´eduit de failles. L’optimiseur doit donc trouver la position exacte des failles afin de caler correctement les donn´ees ce qui r´eduit l’espace des solutions. La figure 5.11b montre qu’il y a peu de solutions minimales.

3. Le r´eseau de failles ´etant g´en´er´e avec la m´ethode de propagation parall`ele, les lon- gueurs peuvent changer brusquement au cours du d´eplacement, expliquant ainsi cer- taines discontinuit´es.

Au vu de ces r´esultats, un des objectifs de la pr´esente th`ese ´etait de r´efl´echir `a des m´ethodes d’optimisation permettant de prendre en compte les nombreuses discontinuit´es et mini- mums locaux avec des m´ethodes de type CMA-ES. Cependant, il s’est av´er´e que les fonc- tions objectifs obtenues avec la m´ethode multifractale ne sont pas aussi discontinues et bruit´ees que pr´evu, comme nous le montrons dans la partie suivante.

Fonctions objectif obtenues avec la m´ethode multi-fractale

Nous proposons d’´etudier l’aspect des fonctions objectif en utilisant l’ensemble des outils d´evelopp´es au cours de cette th`ese. Nous construisons pour cela un mod`ele simplifi´e ayant une configuration similaire `a un mod`ele r´eel. L’int´erˆet est d’obtenir des calculs rapides et de simplifier l’interpr´etation des ´ecoulements.

Construction d’un mod`ele de r´ef´erence Un mod`ele de r´ef´erence est construit dans un premier temps. Celui-ci nous permet de g´en´erer des donn´ees de production correspon- dant aux donn´ees observ´ees dobs.

Le r´eseau fractur´e est constitu´e de 3 familles de failles comme l’illustre la figure 5.12a. La premi`ere famille contient 8 failles d´eterministes orient´ees E-O (en gras sur la figure 5.12a). Ces failles correspondent aux failles sismiques. Les deux autres familles contiennent cha- cune 50 failles orient´ees respectivement N-S et E-O avec une dimension fractale ´egale `a 1.7. Leurs longueurs sont comprises entre 100 et 500m.

La grille de simulation fait 1000m de cˆ_{ot´e et est compos´ee de 50 × 50 × 1 mailles.} L’´ecoulement est de type double porosit´e simple perm´eabilit´e. Une perm´eabilit´e ´equivalente fonction de la densit´e de fractures diffuses est attribu´ee aux mailles qui ne sont pas tra- vers´ees par une faille. La densit´e est constante sur le domaine.

Initialement, le r´eservoir est satur´e en huile et un puits I1 injecte de l’eau `a d´ebit constant. Le puits P1 produit `a pression constante. L’´ecoulement des fluides a lieu dans les fractures et les failles agissent comme des chemins pr´ef´erentiels (5.12b). Le ratio eau/huile produit en P1 est un bon indicateur de pr´esence de failles et est donc utilis´e comme donn´ee de production dobs.

Mod`ele initial Le mod`ele initial, ou mod`ele a priori est construit en modifiant le germe des nombres al´eatoires du mod`ele de r´ef´erence (Figure 5.13a). Les autres param`etres tels

CHAPITRE 5. CALAGE `A L’HISTORIQUE DE PRODUCTION 94 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 I1 P1 (a) I1 P1 3000 days I1 P1 9000 days (b)

Fig. _{5.12: a) R´eseau fractur´e initial et emplacement des puits injecteur et producteur. b)} Evolution de la saturation en eau au cours de la simulation d’´ecoulement

que perm´eabilit´es et conductivit´es sont inchang´es. Les donn´ees simul´ees dsimobtenues avec

ce mod`ele sont diff´erentes des donn´ees observ´ees dobs, comme le montre la figure 5.13b.

Une fonction objectif est construite pour mesurer la similarit´e entre dobs et dsim.

Echantillonage de la fonction objectif Deux param`etres de d´eformation graduelle sont d´efinis pour modifier ind´ependamment la position des failles de chaque famille. Sur la simulation de r´ef´erence, aucune faille sub-sismique n’est proche du puits. Afin d’´eviter des comportements hydrodynamiques extrˆemes, nous proc´edons `a un conditionne- ment aux puits afin d’´eviter que les failles ne soient g´en´er´ees trop pr`es des puits. N’ayant pas pr´evu le conditionnement aux puits dans le g´en´erateur de failles1_{, celui-ci est effectu´e}

sur le mod`ele de simulation. Pour cela, les 8 mailles situ´ees au pourtour des mailles de puits re¸coivent des perm´eabilit´es et porosit´es ´equivalentes `a la pr´esence de fractures dif- fuses. Dans la r´ealit´e, une telle d´emarche est possible. En effet, via l’interpr´etation des r´eponses en pressions des tests de puits, il est possible de d´eterminer si une faille est `a une distance d du puits [Bourdarot, 1996]

La fonction objectif est ´echantillonn´ee en faisant varier les deux param`etres. Environ 2500 simulations sont n´ecessaires pour ´echantillonner une partie de la fonction objectif. Comme le montre la figure 5.14, la fonction est ´echantillonn´ee pour un intervalle restreint de pa- ram`etres de d´eformations graduelles. En effet, le but ici n’est pas d’explorer l’ensemble des r´ealisations mais de proc´eder `a des perturbations autour des positions du mod`ele initial. L’´echantillonnage permet de s´electionner un mod`ele optimal (Figure 5.15). On remar- quera que mˆeme si la r´eponse hydrodynamique observ´ee au puits est quasiment identique,

1

CHAPITRE 5. CALAGE `A L’HISTORIQUE DE PRODUCTION 95 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 I1 P1 (a) 0 2000 4000_{Time (Days)}6000 8000 10000 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 W CUT P1 Simulated Data Production Data (b)

Fig. _{5.13: a) R´eseau fractur´e de r´ef´erence b) Water-cut observ´e et simul´e obtenu sur le} puits producteur param1 1.02 _1.04 1.06 1.08 1.10 param2 1.021.04 1.061.08 1.10 Objective Function 50 100150 200250 300350

Fig. _{5.14: Fonction objectif. Les param`etres 1 et 2 correspondent respectivement aux} positions des failles dans les directions N-S et E-O

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le r´eseau fractur´e ainsi que l’´evolution du front de saturation du mod`ele optimal diff`erent du mod`ele de r´ef´erence. En effet, le probl`eme de l’history matching est sous d´etermin´e et il n’existe pas de solution unique au probl`eme de l’history matching.

I1 P1 3000 days I1 P1 9000 days (a) 0 2000 4000_{Time (Days)}6000 8000 10000 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 W CUT P1 Simulated Data Production Data (b)

Fig._{5.15: a) R´eseau fractur´e simul´e final b) Diff´erences entre le water-cut observ´e et simul´e}

Discussion L’´etude de la fonction objectif ainsi ´echantillonn´ee montre que la fonction objectif, bien que l´eg`erement bruit´ee, n’est pas discontinue malgr´e la pr´esence de deux familles de fractures perpendiculaires. En effet, on aurait pu croire que la cr´eation et la disparition de connexions entre ces deux familles aurait pu conduire `a des discontinuit´es dans la fonction objectif. Le probl`eme d’history matching ainsi formul´e peut donc ˆetre optimis´e `a l’aide de la m´ethode de Gauss-Newton. C’est un point important car ce type d’algorithme permet de converger rapidement vers un minimum.

Dans un premier temps, la m´ethode CMA-ES avait ´et´e envisag´ee pour tenir compte des discontinuit´es. Apr`es quelques essais, il s’est av´er´e que le nombre d’´evaluations de la fonc- tion objectif n´ecessaire `a une convergence raisonnable est prohibitif. La m´ethode ne peut donc ˆetre mise en oeuvre dans des temps de calcul raisonnables.

La continuit´e de la r´eponse hydrodynamique est ici bien meilleure que celle observ´ee dans les travaux de S. Jenni. Il y a plusieurs explications `a ce comportement :

1. La fonction objectif est ´echantillonn´ee sur un petit espace de param`etres. Sur un plus grand espace, elle aurait une apparence plus bruit´ee car compos´ee d’un nombre ´elev´e de minimums et maximums.

2. La d´eformation du mod`ele est plus continue que celle de S. Jenni. Les longueurs restent fixes au cours de la d´eformation

3. Les failles ne peuvent s’approcher trop pr`es des puits

CHAPITRE 5. CALAGE `A L’HISTORIQUE DE PRODUCTION 97

plus la densit´e de fractures est ´elev´ee, moins la r´eponse hydrodynamique est sensible aux r´ealisations.

5. L’´ecoulement n’a pas lieu que dans les failles. De ce fait, les connexions qui se cr´eent ou disparaissent n’ont pas un impact trop important sur l’´ecoulement.

Malgr´e la continuit´e observ´ee sur la figure 5.14, le faible intervalle d’´echantillonnage ne permet pas d’´etudier la nature des minimums locaux. L’´evaluation de la fonction objectif ´etant coˆuteuse en temps de calcul, il n’a pas ´et´e possible de l’´echantillonner pour l’en- semble de l’intervalle de d´efinition des param`etres. Il est cependant fort probable que des minimums locaux existent, et que leur fr´equence d´epende de la configuration du probl`eme ´etudi´e. Cependant, l’utilisation du calage it´eratif permet de r´eduire les effets des minimums locaux.

Chapitre 6

Application sur le champ

Bloemendaal

6.1

Introduction

Dans ce dernier chapitre, nous proposons d’illustrer la validit´e de la m´ethodologie sur le champ Bloemendaal. En raison de la confidentialit´e des donn´ees utilis´ees dans les applications p´etroli`eres, il n’a pas ´et´e possible de travailler sur un champ r´eel. Le cas que nous pr´esentons dans ce chapitre est donc semi-synth´etique : une partie du mod`ele provient de donn´ees r´eelles (comme le mod`ele structural) et l’autre (telles les donn´ees dynamiques) provient de simulations. Le champ Bloemendaal que nous pr´esentons ici est adapt´e du champ semi-synth´etique Vercors construit par Fourno and Bourbiaux [2007] pour illustrer et valider diff´erentes m´ethodologies de mod´elisation de gisements fractur´es d´evelopp´ees `a l’IFP ´Energies Nouvelles. Le mod`ele a ´et´e modifi´e car il ne correspondait pas compl`etement `a l’application du calage des failles sub-sismiques.

Nous commencerons par d´ecrire le contexte g´eologique de ce gisement. Puis, nous d´ecrirons les ´etapes de construction du mod`ele de simulation. Ce mod`ele sera utilis´e pour construire des donn´ees de production de r´ef´erence. Le mod`ele sera ensuite modifi´e et alt´er´e afin d’obtenir un comportement hydrodynamique des donn´ees de r´ef´erence. Enfin, nous utiliserons la m´ethode de calage d´ecrite dans les pr´esents travaux pour effectuer l’history-matching du mod`ele.