5.3 Param´etrisation du mod`ele
5.3.2 D´eformations graduelles d’un processus ponctuel de Poisson non-
stationnaire
D’un point de vue historique, la m´ethode des d´eformations graduelles a d’abord ´et´e appliqu´ee `a la param´etrisation de mod`eles g´eostatistiques de type pixel [Le Ravalec-Dupin
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and Noetinger, 2002]. Puis elle a ´et´e ´etendue aux mod`eles objets par Jenni [2005]. Dans cette partie est pr´esent´ee la m´ethode de simulation s´equentielle permettant de g´en´erer une population de points Poissoniens `a partir d’un bruit blanc gaussien. Puis seront pro- pos´ees quelques am´eliorations permettant de prendre en compte des densit´es de probabilit´e h´et´erog`enes comme celles g´en´er´ees par les cascades multiplicatives.
Simulation s´equentielle
Les algorithmes g´eostatistiques de type essais/erreur pour construire une r´ealisation (comme celui pr´esent´e dans l’annexe A.2) ne peuvent ˆetre d´eform´es graduellement car la transformation des nombres al´eatoires en coordonn´ees spatiales n’est pas continue. On utilise donc l’algorithme de simulation s´equentielle. Un point est simul´e en calculant s´equentiellement les fonctions de r´epartition dans les directions verticales et horizontales. L’inversion de ces fonctions permet de calculer les coordonn´ees (x, y) d’un point `a partir de deux nombres uniformes (u, v).
En pratique, la densit´e de probabilit´e du processus de Poisson est donn´ee sous forme discr`ete. Les valeurs f (xi, xj) sont port´ees par une grille cart´esienne de dimension M × N.
Le nombre de points `a g´en´erer est d´efini par l’utilisateur et correspond aux nombres de failles sub-sismiques manquantes :
1. La loi marginale dans la direction x est donn´ee par :
f (xi) = N
X
j=1
f (xi, yj) (5.7)
La fonction de r´epartition dans la direction x vaut :
F (xi) = xi
X
i=1
f (xi) (5.8)
La coordonn´ee x est calcul´ee `a partir d’un nombre uniforme u, en inversant la fonction de r´epartition pr´ealablement calcul´ee (voir Figure 5.1) :
x = F−1(u) (5.9)
2. Sachant la coordonn´ee x, la loi conditionnelle yj sachant x vaut :
fx(yj) =
f (x, yj)
f (x) (5.10)
Similairement au tirage selon la direction x, la fonction de r´epartition conditionnelle est calcul´ee et la coordonn´ee y est obtenue en inversant la fonction de r´epartition :
y = F−1
x (v) (5.11)
D´eformations graduelles globales
Une r´ealisation uniforme u(t) est obtenue par transformation d’une distribution gaus- sienne y(t) :
u(t) = G−1[y(t)] (5.12)
o`u G est la fonction de r´epartition de la loi normale. La d´eformation des 2n nombres uni- formes utilis´es pour g´en´erer n points modifie la position des points. La transformation des
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Fig.5.1: Tirage d’un point x `a partir d’un nombre uniforme u par inversion de la fonction de r´epartition. Cette derni`ere est interpol´ee pour que la transformation de u vers x soit continue.
nombres uniformes en coordonn´ees ´etant continue, le d´eplacement des points est continu par rapport au param`etre de d´eformation t. Les trajectoires de migration ont des formes ellipso¨ıdales centr´ees sur le milieu de la carte (Figure 5.2). Cet aspect est dˆu aux termes trigonom´etriques utilis´es dans l’´equation 5.5.
La m´ethode de tirage pr´eserve la densit´e du processus de Poisson au cours de la migration des points. Le r´esultat est une “variation” de la vitesse de d´eplacement des points. Plus la densit´e est forte, plus les points auront tendance `a rester dans ces zones de forte probabi- lit´e (faible vitesse de d´eplacement). En revanche, dans les zones de faibles probabilit´es, le d´eplacement des points est beaucoup plus rapide. Les points ont ainsi tendance `a “sauter” d’une zone de forte probabilit´e `a une autre. Ce comportement peut poser probl`eme dans les configurations contenant de forts contrastes de densit´e car le d´eplacement des points peut ˆetre discontinu. La figure 5.2 montre bien que l’aspect des trajectoires de migration est `a la fois contrˆol´e par les termes trigonom´etriques et par l’aspect de la carte de densit´e.
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Fig.5.2: Combinaison et d´eformation graduelle de deux r´ealisations d’un processus de trois points. En raison de l’utilisation des coordonn´ees sph´eriques (´equation 5.5), les trajectoires de migration ont une forme ellipso¨ıdale centr´ee sur le centre du domaine. On remarque aussi que les points ”sautent” les zones de faible densit´e (en bleu fonc´e), en raison de la faible probabilit´e d’y trouver un point.
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D´eformations graduelles locales
Lors de l’history matching, l’objectif est de caler le mod`ele g´eologique aux donn´ees de production qui sont d´efinies sur les diff´erents puits du gisement (hormis pour la sismique 4D qui n’est pas trait´ee dans ce rapport). Lorsque les d´eformations graduelles sont appliqu´ees `
a l’´echelle du gisement, toutes les failles sont d´eplac´ees simultan´ement. Cette perturbation peut conduire `a l’am´elioration du calage de certains puits (en d´epla¸cant favorablement les failles `a ses alentours), tout en d´et´eriorant la r´eponse d’un autre puits. On proc`ede alors `
a un calage local. Le mod`ele est divis´e en diff´erentes zones d’int´erˆet dans lesquelles les failles peuvent ˆetre d´eplac´ees ind´ependamment. Ces zones sont g´en´eralement d´efinies par rapport aux groupes de puits injecteurs et producteurs. Le calage local est aussi utile pour mettre `a jour une partie du r´eservoir, lorsque de nouvelles donn´ees de production sont disponibles.
L’algorithme de simulation s´equentielle g´en`ere la position de chaque point ind´ependamment des autres. Il est donc possible de dissocier le bruit blanc y(t) en z bruits blancs y0(t0), ..., yz(tz) correspondant chacun `a une zone d’int´erˆet. Le tirage des
points sur une zone donn´ee se fait simplement en attribuant une densit´e nulle en dehors de la zone.
La modification de chaque bruit blanc entraˆıne un d´eplacement des points ind´ependamment dans chaque zone.