Etude expérimentale de la raideur

On a procédé à deux types de mesures de raideur: au sein d’une même colonne et au sommet de plusieurs colonnes. 164 168 326 297 100 150 200 250 300 350 400 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 C h am p (G au ss )

Position à partir de l'extérieur (mm)

Champ au dessus du coeur de la bobine avec coeur de Supra 50

1A 4mm 1A 2mm 2A 2mm 2A 4mm

150

Nous tenons vivement à remercier Jonathan Lee-Tin-Wah qui a effectué une grande partie de ces mesures dans le cadre de sa thèse dans le groupe de Pascal Martin. L’analyse des résultats a également bénéficiée de discussions avec Jean Baudry,ⁿ Jean-François Joanny et Scott Atwell.^o

Ces mesures ont toujours été effectuées au niveau du plan équatorial d’une bille, à une température de 25°C.

a) Au sein d’une même colonne

On procède à des mesures au sein d’une même colonne en partant de la bille du sommet et en descendant bille après bille le long de la colonne jusqu’à ce que les mesures ne soient plus possibles (raideur trop élevée impliquant de trop petites fluctuations). Dans ce cas, cela revient à fixer la longueur L de la colonne et à faire varier la hauteur z du point d’application de la force. Un résultat typique à environ 300 G est illustré sur la figure suivante. Comme on pouvait s’y attendre la raideur croit au fur et à mesure que l’on descend le long de la colonne.

Figure 15 : Raideur en fonction de ^’

´“ sur une colonne de 12 billes, de la bille 1 à la bille 8. On obtient une droite qui montre que la raideur évolue comme ^’

´“.

La variation observée suit une loi en L

…†. Ce qui tend à confirmer que la colonne se comporte comme un barreau rigide qui pivote autour de sa bille d’ancrage à la surface. En multipliant la raideur par z²,

n

Laboratoire Colloïdes et Matériaux divisés, Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles de la ville de Paris.

o

Laboratoire Physico-Chimie Curie, Institut Curie.

y = 2E-08x + 15,117

R² = 0,9576

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1E+09 2E+09 3E+09

R

a

id

eu

r

(µ

N

/m

)

1/z

(m

)

on obtiendra donc la raideur de pivot K du champ magnétique.

b) Au sommet de plusieurs colonnes

On procède aussi à des mesures sur différentes colonnes de tailles variables L en se plaçant sur la première bille au sommet. Cette dernière méthode es

images de la bille au sommet ne sont pas perturbées par les autres billes constituant la colonne, ce qui permet d’effectuer des mesures avec une meilleure résolution. Dans ce cas L n’est pas fixée mais on a L=z. Un résultat est donné sur la figure suivante. Conformément à la prédiction théorique donnée par l’équation 20, on constate effectivement que la raideur mesurée au sommet linéairement avec L

£ ^{si l’on effectue des mesures sur des colonnes de plus}

ci-dessous un résultat obtenu à environ 300 Gauss.

Figure 16 : Raideur en fonction de ^’_µ. On obtient une droite qui montre que la raideur croit de manière inversement proportionnelle à la longueur de la colonne, du moins dans la gamme de tailles étudiées.

Puisque la raideur varie comme colonne et comme L

£ ^{lorsque L varie avec L=z, on peut extraire de ces donnée}

indépendante de la longueur totale de la colonne et du point d’application de la force en normalisant les résultats par ^…†

£. Cette grandeur est la raideur de pivot divisée par la longueur de la colonne: Nous pouvons à présent tracer cette grandeur en fonction

151

on obtiendra donc la raideur de pivot Kp, constante pour une colonne donnée mais qui doit dépendre

Au sommet de plusieurs colonnes

On procède aussi à des mesures sur différentes colonnes de tailles variables L en se plaçant sur la première bille au sommet. Cette dernière méthode est plus simple du point de vue expérimental. Les images de la bille au sommet ne sont pas perturbées par les autres billes constituant la colonne, ce qui permet d’effectuer des mesures avec une meilleure résolution. Dans ce cas L n’est pas fixée mais =z. Un résultat est donné sur la figure suivante. Conformément à la prédiction théorique

20, on constate effectivement que la raideur mesurée au sommet si l’on effectue des mesures sur des colonnes de plus en plus grandes. On donne dessous un résultat obtenu à environ 300 Gauss.

. On obtient une droite qui montre que la raideur croit de manière inversement la colonne, du moins dans la gamme de tailles étudiées.

Puisque la raideur varie comme ^L

…† lorsque mesurée à longueur de colonne fixée le long d’une lorsque L varie avec L=z, on peut extraire de ces donnée

e la longueur totale de la colonne et du point d’application de la force en normalisant . Cette grandeur est la raideur de pivot divisée par la longueur de la colonne: Nous pouvons à présent tracer cette grandeur en fonction du champ extérieur appliqué.

e pour une colonne donnée mais qui doit dépendre

On procède aussi à des mesures sur différentes colonnes de tailles variables L en se plaçant sur la t plus simple du point de vue expérimental. Les images de la bille au sommet ne sont pas perturbées par les autres billes constituant la colonne, ce qui permet d’effectuer des mesures avec une meilleure résolution. Dans ce cas L n’est pas fixée mais =z. Un résultat est donné sur la figure suivante. Conformément à la prédiction théorique 20, on constate effectivement que la raideur mesurée au sommet croît en plus grandes. On donne

. On obtient une droite qui montre que la raideur croit de manière inversement

lorsque mesurée à longueur de colonne fixée le long d’une lorsque L varie avec L=z, on peut extraire de ces données une grandeur e la longueur totale de la colonne et du point d’application de la force en normalisant

. Cette grandeur est la raideur de pivot divisée par la longueur de la colonne: ^¶·

£. du champ extérieur appliqué.

c) Variation de Kp/L en fonction du champ

On trace en fonction du champ la raideur de pivot par unité de longueur

raideur d’une colonne de longueur L à une hauteur z. Cette grandeur peut encore champ, du rayon des particules, de leurs propriétés magnétiques…

Figure

On constate une croissance rapide avec le champ qui semble ralentir fortement ensuite. Comparons ce résultat à la formule 20, qui donne la rigidité de la colonne à son sommet.

De ce K, l’on peut extraire la rigidité de pivot d’une colonne de longueur L (en multipliant par L rigidité de pivot par unité de long

Cette grandeur indépendante du point d’application de la force et de la hauteur de la colonne vaut

152 /L en fonction du champ

On trace en fonction du champ la raideur de pivot par unité de longueur ^¶·

£, d’où peut raideur d’une colonne de longueur L à une hauteur z. Cette grandeur peut encore champ, du rayon des particules, de leurs propriétés magnétiques…

Figure 17 : Variation de ^¸¹

µ en fonction du champ.

On constate une croissance rapide avec le champ qui semble ralentir fortement ensuite. Comparons ce résultat à la formule 20, qui donne la rigidité de la colonne à son sommet.

6 ž 4 ^3_`Y

?

2:v5

-De ce K, l’on peut extraire la rigidité de pivot d’une colonne de longueur L (en multipliant par L rigidité de pivot par unité de longueur de la colonne (en divisant par L), ^¶·

£.

Cette grandeur indépendante du point d’application de la force et de la hauteur de la colonne vaut 6₍

- ^{ž 4}

3__`Y^? 2:v5

Équation 26

d’où peut-être déduite la raideur d’une colonne de longueur L à une hauteur z. Cette grandeur peut encore dépendre du

On constate une croissance rapide avec le champ qui semble ralentir fortement ensuite. Comparons ce résultat à la formule 20, qui donne la rigidité de la colonne à son sommet.

De ce K, l’on peut extraire la rigidité de pivot d’une colonne de longueur L (en multipliant par L²), et la

153

Connaissant l’aimantation pour les billes Dynal de 4,5 µm en fonction du champ magnétique, qui est donné sur la figure 6, il est possible de prédire la forme de ^¶·

£.^p

Figure 18 : Variation de ^¸¹

µ en fonction du champ. Comparaison avec les prédictions déduites de la formule 26. Comme on peut le constater, il semble y avoir un accord convenable entre la théorie et les mesures, ce qui est remarquable compte tenu du fait qu’il n’y a ici aucun paramètre ajustable.

Nous disposons donc d’un système à la raideur réglable autour de quelques dizaines de µN.m^-1. Considérons une colonne de particules d’environ 10 billes assemblées au-dessus d’une bille magnétique fixe, sa longueur totale fait environ 45 µm. A environ 300 G, sa raideur au sommet est de l’ordre de 20 µN.m^-1 (figure 16). Une déflexion de l’ordre du µm correspond à une force de l’ordre 20 pN, c'est-à-dire à l’action d’une dizaine de moteurs moléculaires. Une fibre d’actine sur laquelle agit une dizaine de ces moteurs subit donc une force mesurable à l’aide d’une colonne magnétique par simple observation de sa déflexion. Cela nécessite bien sûr un détecteur de position qui fonctionne dans une gamme de déplacements assez vaste. Les photodiodes dont nous disposons n’étant linéaires que dans une gamme de ± 100 nm, l’usage de la vidéo sera sans doute nécessaire.

p

On se reportera à la thèse de J. Lee-Tin-Wah pour plus de détails.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 K p /L ( n N ) Champ Magnétique (T) Théorie Points expérimentaux