Etude de l’´ equation maˆıtresse dans le base des ondes planes

Pour caract´eriser l’´evolution temporelle du carr´e moyen associ´e `a la distribution P_n(t) = σnn(t) de la population des ´etats de la base locale, nous allons r´esoudre l’´equation maˆıtresse dans la base de Bloch Eq.(7.67). Sans perte de g´en´eralit´e, cette equation peut s’exprimer sous la forme op´eratorielle suivante :

∂_t|σ(k, t)i = [−h(k) +^x(k)

N ^{U ]|σ(k, t)i (7.72)} o`u |σ(k, t)i est un vecteur de dimension N contenant l’ensemble des ´el´ements de la RDM σ_q+k,q(t). En d’autres termes, dans une repr´esentation not´ee |qi, σ_q+k,q(t) n’est rien d’autre que la projection de |σ(k, t)i sur |qi. Avec ces notations, les op´erateurs introduits dans l’´equation pr´ec´edente sont d´efinis par :

h_qq0(k) = δ_qq0[i(ω_q+k− ω_q) + Γ^∗] U_qq0 = 1 ∀q, q⁰

x(k) = Γ + 2W cos(k) (7.73) Par cons´equent, en r´ealisant une transformation de Laplace, l’int´egration formelle de l’´equation maˆıtresse s’´ecrit : |˜σ(k, s)i = G(k, s)|σ(k, t = 0)i (7.74) avec G(k, s) = [s + h(k) − ^x(k) N ^{U ]} −1 (7.75) G(k, s) d´esigne la fonction de Green associ´ee `a l’op´erateur h(k) − x(k)U/N qui assure l’´evolution de la RDM. Avec ces notations, la transform´ee de Laplace du carr´e moyen s’ex-prime directement en fonction de la fonction de Green :

< ˜n²(s) >= − ¹ N X qq0 ∂²G_qq0(k, s) ∂k2 |_k=0 (7.76)

L’int´erˆet de cette approche r´eside dans le fait que la fonction de Green peut ˆetre calcul´ee exactement, essentiellement compte tenu de la simplicit´e du noyau m´emoire dans la limite markovienne. Pour cela, posons :

G0(k, s) = ¹

s + h(k) ⇒ G0

qq0(k, s) = ^δqq0

s + i(ω_q+k− ω_q) + Γ∗ (7.77) La fonction de Green G(k, s) admet alors un d´eveloppement de Dyson de la forme :

G(k, s) = G⁰(k, s)+G⁰(k, s)^x(k) N ^{U G} 0 (k, s)+G⁰(k, s)^x(k) N ^{U G} 0 (k, s)^x(k) N ^{U G} 0 (k, s)+... (7.78)

Sachant que Uqq0 = 1 ∀q, q⁰, on en d´eduit :

Gqq0(k, s) = G_qq⁰0(k, s) + ^x(k) N X q1q2 G_qq⁰₁(k, s)G_q⁰_2q0(k, s) + ^x(k) 2 N2 X q1q2q3q4 G0 qq1(k, s)G_q⁰_2q3(k, s)G_q⁰_4q0(k, s) + ... (7.79)

7.5. DIFFUSION QUANTIQUE 103 En posant M(k, s) = ¹ N X qq0 G0 qq0(k, s) = ¹ N X q 1 s + i(ωk+q − ωq) + Γ∗ (7.80) on en d´eduit : 1 N X qq0 G_qq0(k, s) = M(k, s) + x(k)M²(k, s) + x(k)²M3(k, s) + ... = M(k, s) 1 − x(k)M(k, s) ^(7.81) Ainsi, en utilisant ces r´esultats, la transform´ee de Laplace du carr´e moyen s’´ecrit :

< ˜n²(s) >= − ^∂

2

∂k2

M(k, s)

1 − x(k)M(k, s)|_k=0 (7.82) Par cons´equent, en r´ealisant un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 par rapport au vecteur d’onde k, on en d´eduit finalement :

< ˜n²(s) >= ^{2 < v}

2 > s2(s + Γ∗) ⁺

2W

s2 (7.83)

Par transform´ee de Laplace inverse, le carr´e moyen devient :

< n²(t) >= 2 < v² > [ ^t Γ∗ + ^e

−Γ∗t− 1

Γ∗2 ] + 2W t (7.84) avec < v2 >= 2J2 la moyenne sur la bande permise du carr´e de la vitesse de groupe de la particule.

Aux temps courts, c’est-`a-dire lorsque Γ^∗t << 1, le carr´e moyen montre deux contribu-tions d´efinies par :

< n²(t) >≈< v² > t²+ 2W t (7.85) Le terme en < v2 > t2 co¨ıncide avec le terme obtenu dans les Eqs.(2.83) et (2.84) du chapitre 2. Il caract´erise l’´evolution du carr´e moyen lorsque la particule se d´elocalise le long du r´eseau `

a l’instar d’une onde. En effet, tant que Γ^∗t << 1, les fluctuations du bain n’ont pas encore permis de d´etruire la coh´erence de la particule dont la nature ondulatoire est compl`etement exalt´ee. La particule se comporte alors comme si elle ´etait libre si bien que sa propagation est uniquement alt´er´ee par le ph´enom`ene de dispersion intrins`eque `a la nature du r´eseau. Par contre, un second terme apparaˆıt qui ´etait absent dans notre description du chapitre 2. Ce terme est en r´ealit´e une erreur qui provient du fait que la limite markovienne ne s’applique pas aux temps courts. Dans une th´eorie plus ´elabor´ee, ce terme est absent aux temps courts mais apparaˆıt naturellement aux temps plus longs.

Ce r´egime transitoire prenant naissance durant un temps t ≈ 1/Γ^∗, on d´efinit g´en´eralement la longueur de coh´erence L_Φ comme la distance parcourue par la particule de mani`ere coh´erente :

L_Φ = √

< v2 >

Γ∗ (7.86)

Lorsque la nature coh´erente de la particule a disparu, c’est-`a-dire lorsque Γ^∗t >> 1, le carr´e moyen montre une ´evolution temporelle lin´eaire en accord avec le m´ecanisme de diffusion :

< n²(t) >≈ [^{2 < v}

2 >

104 CHAPITRE 7. COUPLAGE AVEC UN ENVIRONNEMENT

Le coefficient de diffusion est alors d´efini par :

D = ^{< v}

2 >

Γ∗ + W (7.88)

Le coefficient de diffusion montre deux contributions d’origine diff´erentes. Tout d’abord, on trouve un terme d´ecrivant le ph´enom`ene de diffusion incoh´erente qui est caract´eris´e par le taux de transition entre sites voisins W . Ensuite, un second terme apparaˆıt que l’on qualifie g´en´eralement de coefficient de diffusion coh´erent car il d´epend de la constante de saut J . L’origine de ce terme est la suivante. Sous l’action de la constante de saut J , la particule en n `a tendance `a se d´elocaliser vers un site voisin n + 1. Elle est alors port´ee dans un ´etat qui devient une superposition coh´erente des ´etats |ni et |n + 1i. Cependant, compte tenu du d´ephasage, la coh´erence de cette superposition disparaˆıt si bien que la particule se retrouve d´ecrite par un m´elange statistique des deux ´etats |ni et |n + 1i. Puisque ´etant initiallement dans |ni, tout se passe comme s’il existait un taux de transitions qui lui offrait la possibilit´e de transiter dans |n + 1i de mani`ere incoh´erente. Ainsi, c’est la limitation de la d´elocalisation coh´erente par le processus de d´ephasage qui conduit `a des transitions incoh´erentes entre ´etats voisins et qui contribue `a la diffusion de la particule. Par cons´equent, pour les temps longs devant le temps de d´ephasage, la particule perd totalement son caract`ere ondulatoire et diffuse de site en site `a l’instar d’une particule classique.

• Remarque : de l’´equation maˆıtresse `a la loi de Fick

A partir de l’´equation maˆıtresse Eq.(7.64), l’´evolution de la population des ´etats de la base locale P_n(t) = σ_nn(t) est donn´ee par :

∂_tP_n(t) = −2J Im[σ_n+1,n(t) + σ_n−1,n(t)] + W [P_n+1(t) + P_n−1(t) − 2P_n(t)] (7.89) La population du site n d´epend alors des coh´erences ”voisines” σ_n±1,n(t) dont les va-riations temporelles sont gouvern´ees par l’´equation :

∂_tσ_n+1,n(t) = iJ (σ_n+2,n(t) − σ_n+1,n−1(t) + P_n(t) − P_n+1(t)] − Γ^∗σ_n+1,n(t) ∂_tσ_n−1,n(t) = iJ (σ_n−2,n(t) − σ_n−1,n+1(t) + P_n(t) − P_n−1(t)] − Γ^∗σ_n−1,n(t)(7.90) En n´egligeant l’influence des coh´erences entre sites seconds voisins, les coh´erences σ_n±1,n(t) deviennent :

σ_n±1,n(t) ≈ iJ

Z t 0

dt₁e^{−Γ∗(t−t}1)[P_n(t₁) − P_n±1(t₁)] (7.91)

En injectant cette solution dans l’´equation d’´evolution des populations, on obtient :

∂_tP_n(t) ≈ 2J² Z t 0 dt₁e^{−Γ∗(t−t}1) [P_n+1(t₁) + P_n−1(t₁) − 2P_n(t₁)] + W [P_n+1(t) + P_n−1(t) − 2P_n(t)] (7.92) Finalement, en supposant que le temps de d´ephasage est court devant le temps typique d’´evolution des populations, la limite Markovienne de cette ´equation donne :

∂_tP_n(t) ≈ W + ^2J

2

Γ∗

!

[P_n+1(t) + P_n−1(t) − 2P_n(t)] (7.93)

On trouve alors une forme discr`ete de la loi de Fick qui montre bien le ph´enom`ene de diffusion selon le coefficient D = W + 2J2/Γ^∗

7.5. DIFFUSION QUANTIQUE 105

Figure 7.1 – Repr´esentation de l’espace de Liouville 2D