Les eets non-linéaires

Injecter une forte puissance dans un guide d'onde massif - c'est-à-dire plein et non creux - avec un fort facteur de connement induit une réponse non-linéaire du milieu. Dans ce cas l'hypothèse d'une propagation linéaire ne tient plus et il faut prendre en compte les eets non-linéaires pour concevoir un système de transmission.

Essentiellement trois eets non-linéaires sont à considérer dans le cadre des systèmes de télécommunications optiques standards : les eets Kerr, Raman et Brillouin.

 L'eet Kerr se manifeste de multiples façons. Il repose sur une variation

locale de l'indice du matériau en réponse à la puissance lumineuse. Nous nous concentrerons dans la suite de ce paragraphe sur l'auto- modulation de phase (SPM), la modulation de phase croisée (XPM) et le mélange à quatre ondes (FWM).

 L'eet Raman est un transfert de puissance d'une pompe vers une

sonde par intéraction entre deux photons et un phonon optique. Le gain est le plus fort pour un décalage fréquentiel de 13 THz. Cet eet peut être mis à contribution de façon positive (l'exemple de l'ampli- cation Raman a été développé dans le paragraphe 1.2.4.2) mais il peut parfois poser problème dans les systèmes à large bande qui couvrent toute la bande C avec de fortes puissances. Dans ce cas l'eet Ra- man peut transférer de la puissance des canaux du bas de la bande C vers les canaux du haut de bande. Il faut alors jouer sur le gain des amplicateurs dopés Erbium pour compenser cet eet.

 L'eet Brillouin est similaire à l'eet Raman puisqu'il repose sur l'in-

Raman, l'accord de phase pour l'eet Brillouin est dicile à obtenir compte-tenu de la grande diérence entre la vitesse du son et la vi- tesse de la lumière : les 2 photons doivent aller en sens inverse et leur décalage fréquentiel doit être de 11 GHz. Cet eet peut toutefois être négligé en général car les signaux modulés ont un spectre élargi qui repousse le seuil non-linéaire de l'eet Brillouin à de très fortes puis- sances.

L'équation qui décrit la propagation de la lumière dans les bres est l'équation de Schrödinger non-linéaire simpliée :

i∂u(Z, T ) ∂Z + i δ 2u(Z, T ) − β2 2 ∂2u(Z, T ) ∂T2 + γ|u(Z, T )| 2_{u(Z, T ) = 0 (1.23)}

Le deuxième terme de l'équation représente l'atténuation, le troisième est l'eet de la dispersion chromatique dont la valeur est donnée par β2, et le

dernier terme regroupe les diérentes formes de l'eet Kerr dont la force est donnée par le coecient non-linéaire γ. Ce coecient est fonction de la géométrie de la bre :

γ = n2ω c Aeff

[W−1.km−1] (1.24)

avec Aeff l'aire eective de la bre, n2 l'indice de réfraction non-linéaire, c

la vitesse de la lumière dans le vide et ω la pulsation de l'impulsion. Pour une bre standard, n2 vaut 2,6.10−20 m2/W.

Nous allons maintenant détailler les diérentes manifestations de l'eet Kerr.

L'auto-modulation de phase

L'auto-modulation de phase est un des eets non-linéaires les plus com- muns dans les systèmes de télécommunications optiques. En ne gardant que le terme d'auto-modulation de phase, l'équation de propagation se réduit à :

i∂u(Z, T )

∂Z + γ|u(Z, T )|

2_{u(Z, T ) = 0 (1.25)}

L'enveloppe de l'impulsion évolue selon :

u(Z, T ) = u(0, T ) exp(iγ|u(Z, T )|2Z) (1.26) Ainsi la modulation de phase introduit une phase non-linéaire sans aec- ter l'enveloppe temporelle de l'impulsion :

Mais cette phase non-linéaire se traduit par une modication du spectre de l'impulsion. Ainsi la variation de la fréquence instantanée s'écrit :

δω = −∂φN L

∂T = −γZ

∂|u(Z, T )|2

∂T (1.28)

Ainsi l'auto-modulation de phase va faire croître les fréquences instantanées sur le front descendant de l'impulsion - on parle de décalage vers le bleu - et les faire décroître sur le front montant de l'impulsion - on parle de décalage vers le rouge. Donc les nouvelles fréquences créées sont localisées au niveau des fronts montants et descendants de l'impulsion.

En présence de dispersion chromatique, diérentes fréquences voient des temps de groupe diérents. Pour une bre standard (dispersion anormale ou positive), les fréquences plus grandes (bleues) voyagent plus rapidement que les fréquences plus petites (rouges). Ainsi les fréquences rouges créées à l'avant de l'impulsion sont ralenties, et les fréquences bleues créées à l'arrière de l'impulsion sont accélérées. Donc les eets de la SPM et de la dispersion sont de sens opposé et tendent à se compenser naturellement en régime de dispersion anormal. C'est cette interaction qui est mise à prot dans l'eet so- liton où les deux eets se compensent exactement. Dans les systèmes actuels, les techniques de gestion de la dispersion sont employées pour contrebalancer au mieux les eets non-linéaires par la dispersion chromatique. Mais il faut aussi prendre en compte les eets croisés dans les systèmes à multiplexage en longueur d'onde.

La modulation de phase croisée

Le concept de modulation de phase croisée est identique à celui d'auto- modulation de phase, sauf qu'il implique deux canaux multiplexés en lon- gueur d'onde voisins. Les impulsions du canal 2 induisent une phase non- linéaire sur le canal 1 : les fronts montants des impulsions du canal 2 créent un décalage fréquentiel négatif et les fronts descendants un décalage fréquen- tiel positif, comme le montre la gure 1.13.

Ces décalages fréquentiels ont un caractère aléatoire car ils dépendent de l'information transmise sur le canal 2. La dispersion chromatique va conver- tir ces décalages fréquentiels en ucuations temporelles à caractère aléatoire ; ainsi l'eet de la XPM est la création de gigue temporelle. Ceci concerne sur- tout les systèmes de transmission à 10 Gbit/s multipléxés en longueur d'onde. Dans les systèmes de transmission à 40 Gbit/s et plus où les impulsions sont courtes, la XPM va aecter des impulsions voisines d'un même canal qui se recouvrent en raison de la dispersion chromatique. On parle de mo- dulation de phase intra-canal.

Fig. 1.13  Création de modulation de phase par XPM par deux canaux voisins aux instants temporels illustrés sur la gure.

Le mélange à quatre ondes

Le mélange à quatre ondes est un phénomène d'interaction entre 4 ondes dans lequel deux pompes aux fréquences ω1 et ω2 génèrent deux nouvelles

fréquences ω3 = 2 ω2− ω1 et ω4 = 2 ω1− ω2 sous réserve que les conditions

d'accord de phase soient réunies. L'accord de phase a lieu si :

ω1+ ω2 = ω3+ ω4 [rad/s] (1.29)

β1+ β2 = β3+ β4 [rad/m] (1.30)

Ceci est possible pour une dispersion quasi-nulle. Sinon les conditions d'accord de phase sont dicilement remplies. Ainsi cet eet est en général peu gênant sauf sur les bres à dispersion décalée où le zéro de dispersion se trouve dans la bande C (bres largement employées au Japon par exemple). A nouveau dans le cas de transmissions quasi-linéaires, l'eet de mélange à quatre ondes intra-canal devra être pris en compte et conduit à l'apparition d'impulsions fantômes là où il n'y avait initialement pas d'énergie.