Calcul de la PMD totale tolérée pour la liai-

Comment déterminer la PMD tolérée par la liaison dans son ensemble ? Il est possible de déterminer un DGD maximum toléré ∆τpire,av dans le

pire cas pour le premier tronçon et un DGD maximum toléré ∆τpire,ap pour

le deuxième tronçon tels que pour tout DGDav < ∆τpire,av et DGDap <

∆τpire,ap, et pour tout γav et γap (hypothèse de la méthode simpliée), la

pénalité est inférieure à MdB. Comment combiner ces valeurs de DGD to-

lérées ? Et surtout comment calculer la probabilité de coupure du système entier ?

Par dénition, la probabilité de coupure du système est simplement : Pout= 1 − P roba{ε <= MdB} (3.20)

Les valeurs de DGD tolérées avant et après le récepteur sont liées par la capacité du régénérateur à restaurer la largeur d'impulsions déformées par

des niveaux de PMD diérents. Ainsi il est possible de dénir un domaine D du quart de plan {DGDav, DGDap} dans lequel les pénalités sont inférieures

à la marge MdB allouée. La gure 3.20 donne un exemple de cartographie des

pénalités mesurées au récepteur en fonction des valeur de DGD avant et après le régénérateur. Cette cartographie est un exemple de calcul des pénalités d'un système optique avec des impulsions RZ67% à 40 Gbit/s. Le lecteur peut se reporter au chapitre 4 pour la dénition du modèle et les paramètres employés pour ces résultats. Les contours d'iso-pénalités sont tracés sur la gure 3.20 et chaque contour délimite un domaine D où les pénalités sont inférieures à une valeur donnée. En négligeant les angles entre la polarisation du signal et les PSP, la probabilité d'avoir une pénalité inférieure à MdB

vaut :

P roba{ε <= MdB} =

Z Z

D

hP M Dav,P M Dap(∆τav, ∆τap) d∆τavd∆τap (3.21)

où hP M Dav,P M Dap est la loi de probabilité conjointe de ∆τav et ∆τap.

Fig. 3.20  Domaine de DGD où les pénalités sont inférieures à MdB. Courbe

obtenue par simulation pour un régénérateur en marche d'escalier et une puissance crête des impulsions de 31 dBm.

Ainsi le calcul est simplié : P roba{ε <= MdB} = Z Z D fP M Dav(∆τav) · fP M Dap(∆τap) d∆τavd∆τap (3.22) avec fP M Dav et fP M Dap les lois de Maxwell pour le DGD avant et après le

régénérateur. Chaque loi de Maxwell est caractérisée par la valeur de PMD avant < ∆τav>(resp. après < ∆τap >) le régénérateur. Donc la probabilité

de coupure calculée est une fonction à trois variables : la marge MdB cor-

respondante au domaine D, les valeurs de PMD < ∆τav > et < ∆τap >.

Pour une marge MdB donnée, il est possible de tracer la dépendance de cette

fonction aux paramètres P MDav et P MDap.

La gure 3.21 illustre le calcul des probabilités de coupure par l'équa- tion (3.22) pour une marge de 1 dB pour le domaine D correspondant déni par l'isocontour de pénalités 1 dB de la gure 3.20. Les probabilités de cou- pure sont tracées sous la forme d'isocontours de probabilité du type 10−x

(qui correspondent à une probabilité de coupure égale à 10−x_).

Fig. 3.21  Logarithme de la probabilité de respecter une marge allouée de 1 dB.

En se reportant à la gure 3.21, l'isocontour correspondant à une proba- bilité de coupure de 10−6 _{délimite un domaine E du quart de plan {P MD}

P M Dap} dans lequel la probabilité de coupure de la liaison dans son en-

semble est inférieure à 10−6_{. Les PMD avant et après le régénérateur sont}

indépendantes (modèle des états principaux). Ainsi d'après la règle de conca- ténation, la PMD totale du système est la somme quadratique des PMD avant/après le régénérateur. Comme illustré sur la gure 3.21, dénir la PMD maximale tolérée par le système est donc équivalent à trouver le cercle de plus grand rayon centré sur l'origine (0,0) coupant le domaine E.

Ainsi le calcul de la PMD totale tolérée par le système se déroule en quatre étapes :

1. Simuler/mesurer les pénalités pour les diérentes combinaisons de DGD avant et après le régénérateur pour dénir une cartographie du type de la gure 3.20.

2. En extraire le domaine D correspondant à une marge MdB donnée.

3. Calculer par l'équation (3.20) la probabilité de coupure pour les couples de valeurs de PMD avant/après le régénérateur, an d'obtenir une gure du type de la gure 3.21.

4. Trouver la PMD totale maximum tolérée pour le système pour la pro- babilité de coupure souhaitée, correspondant au domaine E de la - gure 3.21.

Cette méthode de calcul de la probabilité de coupure d'une liaison peut aisément être généralisée à un problème à dimensions multiples pour une liaison avec un nombre quelconque de régénérateurs optiques. La PMD to- tale équivalente tolérée par le système dans son ensemble est alors obtenue par une sphère et non plus un cercle.

L'essentiel du temps de calcul / mesure correspond à l'obtention de la cartographie de la gure 3.20. Le temps de calcul pour simuler une liaison avec de multiples régénérateurs est alors démultiplié car le nombre de cas à simuler pour les diérentes valeurs de DGD des tronçons augmente selon NK avec N le nombre de valeurs de DGD par tronçon et K le nombre de régénérateurs.

Cette méthode ne prend en compte que le pire cas de la PMD d'ordre 1 : γavet γapsont xés à 1/2. Cette considération revient à sous-estimer la PMD

totale tolérée par le système : cette hypothèse simplicatrice est à comparer à la méthode simpliée du paragraphe 3.2.2.1. Il conviendra donc de mesu- rer la diérence entre une PMD totale tolérée ainsi approchée et la PMD totale tolérée calculée en prenant en compte l'ensemble des combinaisons de γav et γap. L'extension du calcul de la probabilité de coupure pour prendre

3.3.3.2 Calcul de la PMD totale tolérée pour la liaison - méthode complète

Pour prendre en compte la totalité des cas (γ variant de 0 à 1), il faut obtenir la carte des pénalités sur le domaine {DGDav,DGDap} pour chaque

couple {γav, γap} : le domaine de tolérance D pour une marge donnée devient

dépendant du cas considéré : D(γav, γap). Et la probabilité de coupure vaut :

Pout= 1 − P roba{ε ≤ MdB} = 1 − Z Z γav,γap Z Z D(γav,γap) fP M Dav(∆τav) · fP M Dap(∆τap) d∆τavd∆τap dγavdγap (3.23)

La façon de calculer cette intégrale quadruple est relativement simple car l'intégrale double interne se calcule de façon séparée pour chaque couple {γav, γap}, seul le domaine D variant pour chaque cas. Une fois l'intégrale

double interne calculée pour chaque couple il est aisée d'achever le calcul de la probabilité de coupure.

Bien que de nouvelles variables soient introduites, la probabilité de cou- pure reste une fonction de trois variables seulement, à savoir de la marge MdB et des valeurs de PMD avant/après le régénérateur. La méthode de cal-

cul de la PMD tolérée par la liaison dans son ensemble présentée en 3.3.3.1 reste donc valable.

Toutefois le temps de calcul pour la prise en compte complète du pro- blème est fortement accru et correspond à L2 _{fois le temps de calcul d'une}

seule carte des pénalités, si L est le nombre d'échantillons de γav. Aussi ne

présenterons nous pas systématiquement dans le chapitre 4 les résultats ob- tenus par cette méthode, appelée par la suite méthode complète.

3.3.3.3 Place optimale du régénérateur dans une liaison à forte