dans ce cas un ´echange convectif avec l’ambiante ext´erieure (condition aux limites de type Cauchy) :
qn,ext = α(θi− θinf ty) (5.79)
pga+ pgw = patm (5.80)
pgw= HR × psat(θ) (5.81)
α est le coefficient d’´echange convectif, dont la valeur a ´et´e choisie ´egale `a 8W m−2K−1.
5.5
M´ethode num´erique de r´esolution
On pose d’abord les notations suivantes. X repr´esente ici un vecteur de dimension N =
NS + 1 + 5 ∗ Np contenant les N variables de notre probl`eme : les NS valeurs de cji aux
noeuds Nj de la couche de surface (j variant de 1 `a NS), la position de la surface X et les
valeurs des 5 variables {θ}i(t) {d}i(t), {pga}i(t), {pgw}i(t) et {pc}i aux Np centres des Np
volumes de contrˆole dans le milieu poreux (i variant de 1 `a Np).
X0 = dXdt et G sont ´egalement des vecteurs de dimension N .
Choix d’une m´ethode num´erique Notre probl`eme complet et son ´evolution au cours
du temps se d´ecrivent `a travers 5.82
G(t, X, X0) = 0 (5.82)
et `a travers les conditions initiales `a t = 0 :
X(t = 0) = X0 et X0(t = 0) = X00
Nous devons donc r´esoudre un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Ce syst`eme fait intervenir des coefficients fortement non-lin´eaires. Une m´ethode logique dans ce cas de figure consiste `a utiliser un sch´ema implicite de type Newton-Raphson pour la discr´etisation en temps et il faut pouvoir calculer analytiquement la matrice jacobienne du syst`eme, chose qui n’est pas ais´ee dans notre cas vu le nombre de param`etres de formulation complexe
intervenant dans les ´equations (ηw, Dw, . . . )
Nous avons donc choisi d’utiliser un algorithme de r´esolution souvent employ´e dans ce cas de figure ([Price97]) : la proc´edure DASSL (Differential Algebraic System Solver) qui a ´et´e d´evelopp´ee en langage FORTRAN par [Petzold83] int´egrant `a la fois le calcul num´erique de la matrice jacobienne et la d´etermination automatique du pas de temps.
Pr´esentation de la m´ethode DASSL [Gear71] propose d’utiliser la formule de diff´erenciation
arri`ere pour obtenir une approximation de X0 dans 5.82. Par exemple, la formule d’ordre 1
(formule d’Euler arri`ere) s’´ecrit avec un pas de temps dtn+1= tn+1− tn,
G tn+1, Xn+1, Xn+1− Xn dtn+1 = 0 (5.83)
Cette relation doit ˆetre r´esolue en Xn+1 `a chaque pas. La solution de 5.83 est unique si la
∂G
∂X0 + dtn+1
∂G ∂X n’est pas singuli`ere.
DASSL utilise des formules de diff´erenciation similaires ou en augmentant l’ordre de l’incr´ement (jusqu’`a l’ordre 5) et choisit la formule et le pas de temps les plus adapt´es `a l’´evolution de la solution X. Une variante de la m´ethode de Newton est utilis´ee pour r´esoudre le syst`eme d’´equations 5.83 `a chaque pas de temps. Apr`es avoir fait un choix initial pour
X(0)n+1, on d´etermine la valeur `a l’incr´ement m+1 par X(m+1)n+1 = Xn+1(m)+cdX(m)n+1, o`u dX(m)n+1est
la solution de la relation 5.83 appliqu´ee en X(m+1)n+1 et qui fait intervenir la matrice jacobienne
J (calcul´ee par diff´erence finie).
GdX(m)n+1= F tn+1, X(m)n+1,
X(m+1)n+1 − Xn dt
! = 0 c est enfin un scalaire permettant l’acc´el´eration du processus.
Le choix d’une solution est alors fait par rapport `a un crit`ere de convergence fond´e sur la norme du vecteur et sur le poids relatif `a accorder `a chaque composante du vecteur
X. L’utilisateur doit pr´eciser deux scalaires RT OLi et AT OLi qui repr´esentent respective-
ment les erreurs relative et absolue tol´erable sur la composante Xi. Il est d’usage de d´efinir
RT OLi = 10−(ki+1) o`u ki est le nombre de chiffres significatifs souhait´e pour la composante
Xi et AT OLi comme la valeur pour laquelle on peut n´egliger |Xi|.
Des pr´ecisions suppl´ementaires sur les techniques num´eriques utilis´ees par DASSL peuvent ˆetre trouv´ees dans [Lee93].
5.6
Conclusions
Le travail que l’on a pr´esent´e dans ce chapitre a nous permis d’introduire une premi`ere approche au probl`eme d’un b´eton en temp´erature. Le mod`ele de type THC nous a permis de donner une premi`ere description qualitative des ph´enom`enes qui ont lieu dans le b´eton lorsqu’il est soumis `a une ´el´evation de temp´erature. Le transfert de chaleur, le transport d’eau liquide/vapeur et d’air sec ainsi que les changements de phase et les ph´enom`enes capillaires ont ´et´e pris en charge. La variation des propri´et´es des diff´erentes esp`eces qui forment le b´eton avec la temp´erature, a ´et´e prise en compte `a travers des expressions de type ph´enom´enologique valid´ees dans la litt´erature. Ceci nous a permis d’aboutir `a une description de notre milieu poreux qui, comme on le verra au chapitre 7, s’accorde bien aux r´esultats exp´erimentaux.
Le pas suivant dans notre ´etude sera donc d’introduire l’ensemble des ph´enom`enes li´es `a la m´ecanique et en particulier les effets li´es `a l’endommagement ainsi qu’une impl´ementation des ´equations aux ´el´ements finis. Ceci sera donc le but du chapitre suivant.
Chapitre 6
Mod`ele
Thermo-Hydro-Ch´emo-M´ecanique
6.1
Introduction
Dans les chapitres pr´ec´edents on a plusieurs fois mis en ´evidence l’ensemble des ph´enom`enes qui ont lieu dans le b´eton lorsqu’il y a une ´el´evation de temp´erature. Dans le chapitre 5, `a l’aide d’un mod`ele THC, on a soulign´e l’importance des ph´enom`enes de changement de phase ainsi que des ph´enom`enes de d´eshydratation (et donc les cons´equences sur la microstructure du b´eton) et de transport. Il faut toutefois remarquer que l’´el´evation de temp´erature en- gendre dans le b´eton des contraintes et des d´eformations. Il s’av`ere donc n´ecessaire de prendre en consid´eration des ph´enom`enes li´es `a la m´ecanique et, donc, le passage d’un mod`ele THC vers un mod`ele thermo-hydro-ch´emo-m´ecanique ou THCM. Le mod`ele que l’on propose dans la suite prendra donc en compte les effets li´es aux ph´enom`enes m´ecaniques `a l’aide d’une loi constitutive ´elastique endommageable. En particulier, en ce qui concerne l’endommagement, celui-ci est propos´e comme une combinaison entre l’endommagement m´ecanique (selon la formulation classique de Mazars) et un endommagement que l’on appellera thermo-chimique, li´e `a la d´egradation de la pˆate de ciment suite aux r´eactions chimiques qui se produisent. Il est ´evident que l’endommagement est important vis-`a-vis des ph´enom`enes de transport ; la microfissuration de la pˆate de ciment que l’on observe lorsqu’on chauffe le b´eton, a une forte influence sur la perm´eabilit´e et, en g´en´eral, sur les ph´enom`enes de transport qui ont lieu au sein du milieux poreux.
Le mod`ele pr´esent´e dans ce chapitre est inspir´e des travaux r´ealis´es par [Schrefler98], [Gawin02], [Gawin03], d´evelopp´es dans le cadre du projet BRITE Euram III ”HITECO” EU [Hiteco].
6.2
Le mod`ele math´ematique
Le b´eton est un mat´eriau poreux multiphasique dont les vides sont remplis d’eau et d’air. La phase liquide est form´ee par de l’eau li´ee (appel´ee aussi eau adsorb´ee) pr´esente dans tout le milieu et par de l’eau capillaire (appel´ee aussi eau libre). La phase gazeuse est un m´elange suppos´e id´eal d’air sec et d’eau vapeur (condensable) ; pour les deux esp`eces on garde l’hypoth`ese d’un gaz parfait.
Le mod`ele math´ematique est bas´e sur des ´equations de bilan : de masse du squelette, de masse d’air sec, de masse d’eau (soit sous forme liquide, soit sous forme gazeuse), d’enthalpie (avec la prise en compte des effets chaleur latente et des effets de l’hydratation) et d’´equilibre du moment lin´eaire. L’´equation de bilan de la masse d’eau prend aussi en compte les ph´enom`enes de changement de phase i.e. ´evaporation-condensation, adsorption-d´esorption, hydratation-d´eshydratation. Le syst`eme d’´equations que l’on pr´esentera dans la suite est bas´e sur le syst`eme g´en´eral que l’on a introduit au chapitre 2. On avait d´ej`a remarqu´e que le syst`eme ´etait d’une validit´e g´en´erale pour la description d’un milieu poreux quelconque ; il nous faut donc introduire des ´equations d’´etat et des ´equations ph´enom´enologiques pour la description du mat´eriau b´eton.
Les ´equations locales du mod`ele sont, bien entendu, donn´ees en fonction des variables d’´etat que l’on a choisies. Ce choix est particuli`erement important : d’un point de vue pratique il faut ˆetre capable de mesurer les variables assez facilement. D’un point de vue th´eorique, les variables doivent d´ecrire de mani`ere unique l’´etat thermodynamique local du milieu poreux. En plus, elles doivent garantir une bonne performance num´erique du code de calcul. Pour le mod`ele THCM nous commen¸cons par retenir les mˆemes variables
d’´etat que le mod`ele THC, la temp´erature θ, la pression capillaire pc, la pression du gaz
pg, la d´eshydratation mdes, auxquelles il faut ajouter des variables d’´etat pour d´ecrire l’´etat
m´ecanique du squelette. La premi`ere variable que l’on retient est la d´eformation du sque- lette ; on verra dans la suite que la d´efinition d’autres variables internes s’av`ere n´ecessaire pour la description du comportement ´elasto-endommageable.
Avant de pr´esenter les ´equations du syst`eme, on introduit tout d’abord des notions qui nous permettront d’introduire et d’´etudier l’endommagement dans le b´eton ainsi que de d´ecrire le comportement m´ecanique du b´eton.