un b´eton hautes performances :
pc = pc(S) = a S−b− 1(1−1b) (4.2)
o`u les coefficients a and b dans l’eq. (4.2) sont li´es aux mat´eriaux en table 4.1. (B) et
(M) sont repr´esentatifs du b´eton et du mortier, (O)rdinaire ou `a (H)aute performance.
Coefficients Mat´eriau cimentaire
BO BHP MO MH
a [MPa] 18.6237 46.9364 37.5479 96.2837
b [-] 2.2748 2.0601 2.1684 1.9540
Tab. 4.1 – Param`etres pour l’eq.4.2 `a temp´erature ambiante
La fig.4.6 donne une repr´esentation graphique, en ´echelle logarithmique, de la relation 4.2. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10
Sw
pc (Pa)
BHP BO
Fig. 4.6 – Relation pc(S) selon la formulation 4.2
4.4
Cons´equences de l’´evolution de la temp´erature sur
la g´eom´etrie du milieu poreux
4.4.1
La d´eshydratation
La d´eshydratation est l’un des ph´enom`enes importants entraˆın´es par l’´el´evation de temp´erature dans la pˆate de ciment. Au paragraphe 4.1 on a vu les r´eactions chimiques qui sont `a la base de l’hydratation de la poudre de ciment. Il est donc ´evident que, si on fournit de l’´energie (chaleur), les liaisons qui forment les hydrates vont se d´etruire : le r´esultat est donc la trans- formation des hydrates en anhydres plus eau. Comme on a d´ej`a plusieurs fois remarqu´e, le b´eton se pr´esente toujours partiellement satur´e en eau. G´en´eralement on n’accepte la
simplification qu’`a partir de la temp´erature conventionnelle de 105◦C. L’eau libre a quitt´e
de cette temp´erature limite, par convention, on consid`ere que l’eau quittant le b´eton ´etait initialement chimiquement li´ee. La perte d’eau et la destruction des hydrates sont donc `a la base d’un certain nombre de ph´enom`enes dont l’importance n’est pas n´egligeable. On a d´ej`a vu que la porosit´e et, en g´en´eral, le r´eseau poreux, sont fortement influenc´es par une augmentation de la temp´erature. La d´eshydratation transforme les hydrates en anhydres ; le volume d’anhydres ´etant inf´erieur `a celui des hydrates, on observe une augmentation de la porosit´e et donc une ´evolution de la microstructure et du r´eseau poreux dans le b´eton. Comme cons´equences directes de l’augmentation de la porosit´e on a une baisse de la raideur et de la r´esistance `a la compression du mat´eriau et une augmentation de la perm´eabilit´e suite `a l’augmentation de la dimension des pores. La d´eshydratation a aussi une influence sur la cin´etique du chauffage : le fait d’ˆetre une r´eaction endothermique et de produire de l’eau liquide qui, suite `a la haute temp´erature passe en phase vapeur, a comme cons´equence de ralentir le chauffage du b´eton.
La destruction des liaisons chimiques qui forment le C-S-H n’est pas un ph´enom`ene ins- tantan´e : lorsqu’on atteint une certaine temp´erature, il faut attendre un temps suffisam- ment long par que les r´eactions aient lieu. Par cons´equence la d´eshydratation n’est pas un ph´enom`ene instantan´e et sa cin´etique devient importante [Ferraille00], [Pasquero02], [DalPont03], [DalPont04]. En particulier la masse d’eau limite produite par d´eshydratation
`a une certaine temp´erature est d´ecrite par une valeur meq(T ), masse d’eau `a l’´equilibre
par unit´e de volume dans la configuration de r´ef´erence. La valeur de meq(T ) est trouv´ee
exp´erimentalement et est donn´ee par la relation suivante [Pasquero02] :
meq(T ) = exp[−exp(−0.2662ln(T − 105) + 2.1478)]H(T − 105)+
exp[−exp(−0.1574ln(T − 300) + 2.2545)]H(T − 300)+ exp[−exp(−0.4364ln(T − 373) + 2.8452)]H(T − 373)
(4.3)
avec H la fonction de Heaviside et T la temp´erature en degr´e Celsius. La formulation pr´esent´ee est valable pour une pˆate de ciment et les coefficients sont li´es `a la maturation de la pˆate. La perte de masse totale peut alors ˆetre d´ecrite par une relation du type :
∆m(T ) = fameqc (4.4)
avec faun facteur (entre 0 et 1) qui prend en compte l’ˆage de la pˆate de ciment et c le contenu
total de ciment dans le b´eton. Ferraille [Ferraille00] a montr´e que la d´ecroissance de la masse `a chaque palier de temp´erature peut ˆetre approch´ee grˆace `a une fonction exponentielle qui prend donc en charge la cin´etique chimique non instantan´ee de la d´eshydratation. La loi de perte de masse devient alors de la forme suivante :
˙
m(T ) = 1
τ[m − meq(T )] (4.5)
avec τ un temps caract´eristique de la d´ecroissance de la masse. Il a ´et´e montr´e exp´erimentalement que τ n’est pas fonction de la temp´erature et que sa valeur est `a peu pr`es constante pour chaque palier de temp´erature [Ferraille00] :
τ = 10800s (4.6)
Le travail a ´et´e repris en profondeur par [Pasquero04] qui montre qu’une description fine de la cin´etique de la d´eshydratation n´ecessite de distinguer de nombreuses esp`eces chimiques
4.4 Cons´equences de l’´evolution de la temp´erature sur la g´eom´etrie du milieu poreux 97
caract´eris´ees par leur temp´erature de d´ecomposition et le temps caract´eristique de cette d´ecomposition. Cette d´emarche est tr`es lourde et par la suite nous retiendrons la relation approch´ee 4.5 propos´ee par [Ferraille00].
La loi d´ecrite grˆace `a l’eq.4.5 est pr´esent´ee sous une forme valable soit pour la d´eshydratation soit pour la r´ehydratation du ciment : dans ce dernier cas, la loi n’a pas ´et´e v´erifi´ee exp´erimentalement mais on peut supposer que cette propri´et´e est fausse. On peut bien sup- poser que les temps caract´eristiques de r´eaction pour la d´eshydratation et la r´ehydratation ne soient pas les mˆemes. La loi 4.5 reste donc valable pour le cas de d´eshydratation.
4.4.2
Evolution de la porosit´´
e n avec la temp´erature
On a donc plusieurs fois remarqu´e que la g´eom´etrie du volume poreux change lors d’un chauffage suite `a la d´eshydratation. On a vu plus haut que la d´eshydratation est un pro- cessus qui d´etruit la pˆate de ciment : la porosit´e est donc en ´evolution d`es que la taille des pores augmente [Herbst89]. Il faut donc d´eterminer exp´erimentalement soit la porosit´e
en conditions de r´ef´erence, nomm´ee n0 (`a θ = θ0), soit la porosit´e en ´evolution avec la
temp´erature. [Herbst89] propose une formulation qui a ´et´e retenu par [Gawin03], i.e. une d´ependance lin´eaire de la porosit´e avec la temp´erature :
n = n0+ An(θ − θ0) (4.7)
avec Anune constante d´ependante du type de b´eton. En particulier, dans le cadre du projet
Hiteco [Hiteco], la formule 4.7 donne les r´esultats en figure 4.7.
Fig. 4.7 – Valeurs exp´erimentales et approximation selon la formule 4.7 pour diff´erents
b´etons
De toute mani`ere, on a vu que le changement de la microstructure et, en particulier, de la porosit´e, est un ph´enom`ene directement li´e `a la d´eshydratation. Il nous semble donc plus
appropri´e d’´etablir une relation directe entre la porosit´e n et la d´eshydratation mdes. Au
moins dans le cadre de notre mod´elisation THC, on retiendra alors la relation propos´e par [Ferraille00], [Tamagny01], [DalPont03], [DalPont04], [Alarcon03] :
avec β un facteur dont la valeur, si l’on tient en compte la contraction de Le Chate- lier [Folliot82], est de 0.28. Ceci n’est valable que lors de l’hydratation du ciment et non pour le ph´enom`ene de d´eshydratation. [Alarcon03] d´etermine le coefficient β de mani`ere exp´erimentale. Si on se place dans le cas de l’hydratation du ciment, les hydrates se trans- forment en anhydres. Ces anhydres vont cr´eer une nouvelle porosit´e ; le coefficient β doit ˆetre donc plus faible que celui pr´evu dans l’hypoth`ese de Le Chatelier. De toute mani`ere, on consid`ere cette variation comme presque n´egligeable, on utilisera donc par la suite la valeur β = 0.72.
4.4.3
Evolution du r´´
eseau poreux avec la temp´erature
La perte de stabilit´e des phases solides du b´eton lorsque on atteint des hautes temp´eratures influence fortement la structure poreuse. Les changements physiques et chimiques dans la phase solide changent la porosit´e et la distribution des pores. La technologie actuelle ne permet pas la mesure de la porosit´e `a chaud ; il faut donc attendre le refroidissement de l’´echantillon pour pouvoir mesurer la porosit´e r´esiduelle. Le changement de structure peut ˆetre donc d´etermin´e seulement dans le cas de ph´enom`enes irr´eversibles.
Les diff´erents ph´enom`enes qu’on peut observer dans le r´eseau poreux, sont li´es `a la temp´erature maximale atteinte. A des temp´eratures pas trop ´elev´ees, jusqu’`a environ la
temp´erature de 300◦C, la variation des pores est due `a la d´ecomposition de la pˆate de ciment
suite `a la d´eshydratation. Au-del`a de cette temp´erature, et en particulier lorsqu’on d´epasse
500◦C, le changement de porosit´e est li´e aussi `a la d´esint´egration des agr´egats calcaires.
La porosit´e est aussi affect´ee par le changement de volume : en g´en´eral, on peut observer
une expansion de la pˆate de ciment entre 20 − 200◦C. Au del`a de 200◦C on observe une
expansion des granulats limit´ee par le retrait de la pˆate de ciment.
Fig. 4.8 – ´Evolution de la porosit´e `a temp´erature croissante (essai de porosit´e au mercure)
4.4.4
Evolution de la relation S(p´
c) avec la temp´erature
Le changement de la microstructure avec la temp´erature entraˆıne forc´ement une ´evolution de la relation saturation-pression capillaire. Il nous faut donc d´efinir une relation fonction
4.4 Cons´equences de l’´evolution de la temp´erature sur la g´eom´etrie du milieu poreux 99
Par contre, il s’av`ere tr`es difficile d’obtenir la courbe de saturation en laboratoire avec une augmentation de la temp´erature. Forc´ement, chaque courbe de saturation, pour une temp´erature donn´ee, est fonction de la seule pression capillaire : les ph´enom`enes d’hyst´eresis ne peuvent pas ˆetre pris en compte dans le mod`ele que nous avons utilis´e. Un exemple de prise
en compte de l’hyst´eresis est donn´e en [Gawin01], o`u l’hyst´eresis est prise en charge grˆace `a
l’application d’un mod`ele de r´eseau neuronal. Les isothermes de sorption sont g´en´eralement donn´ees comme des courbes saturation vs. humidit´e relative. La saturation en liquide peut
ˆetre calcul´ee `a partir de la masse d’eau mw `a travers la relation suivante :
S = mw
nρw
(4.9) avec n la porosit´e. En utilisant la relation de Kelvin (voir par.3.7.1) on peut ´etablir une rela-
tion entre la pression capillaire pc et l’humidit´e relative HR, d´efinie de la mani`ere suivante :
HR = p
gw
pgws(θ) (4.10)
avec pgws(θ) la pression de vapeur saturante fonction de θ.
On peut donc donner une repr´esentation graphique des isothermes de sorption.
Un exemple de la relation S = S(pc, θ), peut ˆetre obtenu avec une formulation propos´ee
par Bazant [Bazant78], [Bazant79] :
S = S (pc, θ) = {HR (pc, θ)}1/m(θ) (4.11)
avec m est une fonction de θ obtenue de mani`ere exp´erimentale :
m(T ) = 1.04 − T 0 22.34 + T0 , T 0 = T + 10 T0+ 10 2 (4.12) avec T la temp´erature en Celsius.
La repr´esentation graphique de l’expression 4.11 est donn´ee en figure 4.9 comme fonction de la pression capillaire.
Fig. 4.9 – Isothermes de Bazant
Le mod`ele de Bazant ne prend pas en compte trois phases distinctes, mais utilise une unique phase liquide. Pour un mod`ele de ce type il est donc possible d’”oublier” le point cri- tique de l’eau tout simplement en gardant une petite quantit´e d’eau au del`a de la temp´erature
critique. Il est donc ´evident que dans les isothermes de Bazant, pour une temp´erature plus basse que la temp´erature critique, l’eau est liquide et que lorsque on d´epasse la temp´erature critique, l’eau est consid´er´ee en phase gazeuse. Comme dans notre mod`ele THC ou THCM on utilise un approche micro-m´ecanique avec trois phases clairement distinctes les courbes propos´ees par Bazant se r´ev`elent insatisfaisantes. Il nous faut donc une formulation selon le mod`ele propos´e par Baroghel-Bouny [Baroghel94], pr´esent´e plus haut et r´esum´e `a travers la relation 4.2.
En particulier, Pesavento [Pesavento00] a chang´e la formulation 4.2 :
pc = pc(S) = a S−b− 1(1−
1
b)
(4.13) pour prendre en compte aussi les effets `a haute temp´erature. Le param`etre b (voir tab.4.1) est gard´e constant, mais le param`etre a change en fonction de la temp´erature si θ > 373K :
a = a0
E(θ) (4.14)
avec E(θ) = 1 si θ < 373K
En inversant la relation 4.2, la saturation peut ˆetre alors ´ecrite de la mani`ere suivante :
S = " E(θ) a0 pc b b−1 + 1 #(−1/b) (4.15) [Pesavento00] propose la formulation suivante pour E(θ) :
E(θ) = θcrit− θ0 θcrit− θ N si θ < θcrit E(θ) = N z E0θ + E0 − N z E0(θcrit− z) si θ > θcrit (4.16)
avec θ0 la temp´erature ambiante, N un param`etre > 1 et z un param`etre qui permet la
transition au del`a de la temp´erature critique θcrit= 647K.
Les isothermes r´esultant de la formulation pr´esent´ee sont donn´ees dans les figures sui- vantes, soit pour un b´eton ordinaire, soit pour un b´eton `a hautes performances [Pesavento00].