Pour aboutir `a une estimation r´ealiste de la probabilit´e de pr´esence d’un fragment de noyau dans la coma, nous allons consid´erer un noyau de com`ete, dont nous supposerons qu’un hypoth´etique fragment s’´echappe dans une direction al´eatoire. Le principe consiste alors `a simu-ler diff´erents fragments et `a faire varier leurs conditions d’´emission. L’ensemble des trajectoires de ces fragments sera trait´e statistiquement de mani`ere `a en extraire la probabilit´e de pr´esence d’un fragment pour une r´egion donn´ee de la coma. Les vitesses, impulsions, et ´energies cin´etiques moyennes des fragments pourront aussi ˆetre d´eduites.
4.2.1 Param`etres des simulations
La com`ete choisie pour cette ´etude est 46P/Wirtanen, cible de la mission Rosetta, dont les ´el´ements orbitaux sont donn´es dans l’annexe C. N´eanmoins, le choix de cette com`ete ne nuit en rien `a la g´en´eralit´e de l’´etude. En effet, la dynamique d’un fragment donn´e par rapport au noyau qu’il vient de quitter ne va d´ependre que de la quantit´e d’´energie qu’il re¸coit du Soleil, et incidemment, de la distance h´eliocentrique. Or, `a une distance h´eliocentrique donn´ee, la vitesse
d’un corps relativement au Soleil ne d´epend que du demi grand-axe de l’orbite. Cette ´etude demeurera donc valide pour n’importe quelle com`ete dont le demi grand-axe est voisin de celui de 46P/Wirtanen. Ceci est vrai pour six des sept com`etes cit´ees dans le tableau 4.1, dont les demi grands-axes sont compris entre 3,06 et 3,6 UA (l’exception ´etant 2P/Encke avec a=2,21 UA).
Il a ´et´e d´emontr´e dans le chapitre pr´ec´edent que les seuls param`etres susceptibles d’influen-cer notablement la dynamique des fragments sont le produit ρr de leur masse volumique et de leur rayon, et leur date d’´emission. Nous avions constat´e que la direction d’´emission des frag-ments n’avait aucune importance dans le cadre de l’´etude des fragfrag-ments de la com`ete Hyakutake, puisque les forces non-gravitationnelles les confinaient en moins de 100 km dans la direction anti-solaire par rapport au noyau, ce qui ´etait n´egligeable par rapport `a l’´echelle du probl`eme ´etudi´e (voir figure 3.8). Ce n’est plus le cas ici. Les sondes spatiales vont en effet tenter de s’approcher `a de faibles distances des noyaux com´etaires, inf´erieures `a la centaine de kilom`etres. C’est donc `a cette ´echelle qu’il convient d’´etudier la dynamique des fragments com´etaires. Ceci constitue une diff´erence majeure avec l’´etude men´ee sur la com`ete Hyakutake, dont les fragments ´etaient observ´es jusqu’`a 20 000 km du noyau. En cons´equence, la direction d’´emission des fragments va devenir d´eterminante, et il conviendra donc de la faire varier lors de nos simulations afin d’obtenir un ensemble de trajectoires de fragments aussi complet que possible.
Les param`etres physico-chimiques du mat´eriau com´etaire sont similaires au cas de r´ef´erence d´efini dans le chapitre pr´ec´edent : alb´edo al=0,4, ´emissivit´e =0,9, rapport des concentrations de masse de la glace et de la poussi`ere κ=1, et accumulation compl`ete des poussi`eres `a la surface des fragments. Le produit ρr du noyau de la com`ete a ´et´e fix´e `a 1,75.105 kg.m−2, ce qui est coh´erent avec les valeurs actuellement avanc´ees pour le diam`etre du noyau ([B¨ohnhardt et al.(1997)], [Lamy et al.(1998)]). Les valeurs choisies pour le produit ρr du fragment s’´echelonnent de 3.103 `a 28.103 kg.m−2, par pas de 2,5.103 kg.m−2 (soit 11 valeurs diff´erentes), ce qui correspond aux fragments typiques de la com`ete Hyakutake. Remarquons que la valeur maximum de 28.103 kg.m−2 correspond `a un sixi`eme du produit ρr du noyau. Bien que le mod`ele permette de simu-ler la dynamique de fragments plus gros, leur pr´esence correspondrait `a un v´eritable ´eclatement du noyau de la com`ete, et donc vraisemblablement `a sa disparition, ce qui remettrait fatalement la mission en cause, ind´ependamment du risque collisionnel.
Afin de faire varier la direction d’´emission des fragments, les positions initiales des frag-ments sont arbitrairement r´eparties tous les 10 degr´es sur un mˆeme m´eridien (soit 36 positions diff´erentes). La vitesse initiale du fragment dans le r´ef´erentiel du noyau est orient´ee normalement `a la surface. Son module est pris ´egal `a 0,19 m.s−1, ce qui correspond `a la vitesse de lib´eration typique du noyau. Deux cas de figure seront envisag´es : soit la vitesse initiale est situ´ee dans le plan orbital, soit dans le plan perpendiculaire `a celui-ci, et contenant le Soleil et le noyau (voir figure 4.1).
De plus, les fragments ´etant mis en mouvement par rapport au noyau par l’action de la force non-gravitationnelle, il semble clair que leur dynamique d´epend grandement de la dis-tance h´eliocentrique. En cons´equence, plusieurs dates d’´emission, correspondant `a des disdis-tances
Plan perpendiculaire Soleil Plan orbital Périhélie Comète Plan orbital Plan perpendiculaire Soleil Noyau
Fig. 4.1 – Le plan orbital de la com`ete et le plan perpendiculaire au plan orbital, et contenant le Soleil. Les fragments simul´es sont ´emis dans ces deux plans. Les positions initiales `a la surface du noyau sont donc situ´ees selon un m´eridien et un parall`ele (voir figure du haut). 36 positions de d´epart diff´erentes seront envisag´ees sur le m´eridien et le parall`ele, soit tous les 10 degr´es. Les vitesses initiales des fragments dans le r´ef´erentiel du noyau seront orient´ees normalement `a la surface de celui-ci.
h´eliocentriques tr`es diff´erentes, seront envisag´ees. Ces dates sont r´ecapitul´ees dans le tableau 4.2.
temps avant p´erih´elie (mois) 15 12 9 5 3,5 0,5 distance h´eliocentrique (UA) 4 3,5 3 2,1 1,4 1,1
Tab. 4.2 – Dates d’´emission des fragments simul´es.
Ainsi, 11 fragments ayant des valeurs de ρr diff´erentes seront simul´es dans 36 directions d’´emission diff´erentes situ´ees dans deux plans diff´erents, soit 792 fragments. Ceci sera fait en six points de l’orbite correspondant `a des distances h´eliocentriques diff´erentes, soit un ´echantillon statistique de 4752 fragments glac´es.
4.2.2 Traitement statistique des trajectoires des fragments
Etant donn´e le tr`es grand nombre de trajectoires de fragments calcul´ees, il est indispen-sable d’avoir recours `a une m´ethode statistique pour les traiter, et en extraire des informations. Les plans dans lesquels les trajectoires sont calcul´ees (plan orbital et plan perpendiculaire `a celui-ci sur la ligne Soleil-com`ete) vont donc ˆetre d´ecoup´es en petites surfaces de contrˆole (voir
noyau
Direction solaire 1 km
1 km
Fig. 4.2 – Illustration du d´ecoupage des plans de la figure 4.1 en petites cellules de contrˆole. La dimension de chaque cellule peut prendre n’importe quelle valeur. Ici, elle a ´et´e arbitrairement fix´ee `a 1 km2.
figure 4.2). Pour chacune de ces surfaces, les fragments qui les ont effectivement travers´ees seront recens´es. A ce stade, de nombreuses informations peuvent ˆetre extraites :
- la densit´e surfacique de probabilit´e de passage, qui repr´esente la probabilit´e pour qu’une surface donn´ee soit travers´ee par un fragment. Pour l’´etablir, le nombre total de fragments ayant travers´e chaque surface de contrˆole a ´et´e comptabilis´e, puis normalis´e par rapport au nombre total de fragments simul´es.
- la vitesse moyenne des fragments, qui correspond `a la moyenne des vitesses des fragments `a l’int´erieur de chaque cellule de contrˆole.
- l’impulsion moyenne des fragments, qui, `a l’instar de la vitesse moyenne, correspond `a la moyenne des impulsions calcul´ees pour chaque fragment au sein de chaque cellule.
- l’´energie cin´etique moyenne des fragments, calcul´ee de la mˆeme mani`ere que l’impulsion moyenne.
- le temps moyen de r´esidence par unit´e de surface, qui repr´esente le temps moyen pendant lequel chaque fragment est rest´e `a l’int´erieur de chaque cellule, normalis´e par la surface des cellules..
- la densit´e surfacique de probabilit´e de pr´esence, qui correspond `a la probabilit´e de trouver un fragment `a un instant donn´e `a l’int´erieur d’une r´egion donn´ee. Cette information est capitale pour l’estimation des risques pour les missions com´etaires, et son calcul fait l’objet de la section 4.2.3.
4.2.3 Probabilit´e de pr´esence d’un fragment
Soit dPe = f (t)dt la probabilit´e pour qu’un fragment soit ´eject´e du noyau pendant l’intervalle de temps dt dans un certain plan. D´elimitons une surface St appartenant `a ce plan. Nous admettrons que la probabilit´e d’´ejection est la mˆeme quelque soit l’angle polaire sous lequel le fragment est ´eject´e. Admettons un r´egime stationnaire. Nous avons alors :
dPe
dt = f (t) = constante (4.1)
Admettons qu’en moyenne un fragment est ´eject´e pendant un intervalle de temps T . Apr`es ´etablissement du r´egime stationnaire, la zone St contiendra N fragments. En vertu de la conser-vation de la masse, il vient :
dN
dt = 0 (4.2)
Il est toujours possible de donner `a Stune extension telle que T , temps moyen entre deux ´ejections cons´ecutives de fragments, soit identique au temps que mettra l’un d’eux pour traverser la zone St. Auquel cas nous pouvons ´ecrire :
T = 1 N
X
i
Ti (4.3)
o`u Ti est le temps que mettra le i-`eme fragment pour traverser la zone St. Dotons `a pr´esent le plan o`u se trouve St d’un r´ef´erentiel cart´esien (x, y). Par d´efinition, la densit´e surfacique de fragments sera alors :
n(x, y) = dN
dxdy (4.4)
Il est possible d’estimer n(x, y) en divisant la zone St en surfaces de contrˆole ´el´ementaires telles que :
∆Sjk= ∆xj∆yk= constante (4.5)
Le nombre de fragments contenus dans la surface de contrˆole jk est :
La probabilit´e de pr´esence d’un fragment dans la surface jk est alors : Pjk= Njk N = tjk Ti = 1 N T X j,k tjk (4.7)
Pour obtenir la probabilit´e effective de pr´esence de ce fragment, il faut multiplier Pjk par la probabilit´e d’´ejection Pe. La densit´e surfacique de probabilit´e de pr´esence dans la surface jk est alors : P = ˜PjkPe (4.8) avec : ˜ Pjk= Pjk ∆Sjk (4.9)
La probabilit´e Pe n’est pas connue avec pr´ecision. Nous avons vu dans la section 4.1 qu’elle serait sup´erieure `a 0,01 par com`ete et par an.