Dans ce chapitre nous dresserons un rapide état de l’art concernant le provisionnement en assurance non-vie et l’évaluation de la solvabilité dans le cadre de la future réforme Européenne Solvabilité 2.
Une traduction de ce chapitre, en anglais, est disponible page167.
2.1 Le provisionnement
Cette section s’inspire en partie des ouvrages [23], [43] et [63].
L’article R-331-1 du code des assurances impose aux assureurs de déterminer la somme d’argent permettant de faire face à leurs engagements techniques ; cette somme est appe-lée “provision statutaire”. En assurance non-vie, les méthodes traditionnellement utilisées pour le calcul de ces provisions sont de deux types : collectives ou individuelles.
2.1.1 Les méthodes collectives
Les méthodes collectives se basent sur des données agrégées par génération de contrats (une génération pouvant être un mois, une année, etc.). Ces méthodes utilisent l’évo-lution passée des sinistres en intégrant parfois des données exogènes à ces sinistres. Elles sont en revanche incapables de prendre en compte les caractéristiques individuelles des assurés. Dans la littérature traitant des problèmes de provisionnement, il existe deux types de méthodes collectives : les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques. Avant de présenter ces méthodes, il est utile d’introduire quelques notations ou concepts. Notation 2.1.1.
1. Les générations de contrats sont notées par l’indice i : i ∈ {1, ..., n} où n est la dernière génération connue. La génération i peut représenter une génération de souscriptions de contrats, de survenances de sinistres, d’indemnisations de si-nistres, etc.. Pour fixer les idées, nous parlerons dans la suite de génération de souscriptions de contrats et l’unité sera d’un an.
2. Xi,j est le montant des sinistres concernant les contrats souscrits la génération i et
indemnisés l’année i + j − 1, j ∈ {1, ..., n}. Ainsi Xi,j est une somme de montants
Etat de l’art
de sinistres individuels. Ci,j est le montant de sinistres concernant les contrats
souscrits la génération i et indemnisés jusqu’à l’année i + j − 1, i.e. :
Ci,j :=
k=j
X
k=1
Xi,k. (2.1.1)
3. A la date n, la provision de la génération i est notée Pi et est définie par :
Pi := Ci,n− Ci,n−i+1. (2.1.2)
Les méthodes déterministes
La méthode la plus connue et utilisée par les praticiens est celle de Chain Ladder qui fut introduite aux alentours des années 1930. Cette méthode déterministe (qui ne repose sur aucune loi de probabilité) se base, pour calculer la provision à une date n, sur le triangle de développement suivant :
C1,1 C1,2 . . C1,n C2,1 C2,2 . C2,n−1 . . . Cn,1 (2.1.3)
La première hypothèse du modèle de Chain Ladder est que tous les contrats ont la même durée et que celle ci vaut n. Le but de cette méthode, et plus généralement des méthodes collectives, est d’estimer le montant ultime de sinistres Ci,n, et ainsi la provision Pi, en complétant le triangle de développement défini ci-dessus, i.e. :
C1,1 C1,2 . . C1,n C2,1 C2,2 . . C2,n . . . . . Cn,1 Cn,2 . . Cn,n ⇒ P1 = 0 P2 = C2,n − C2,n−1 . . . . . Pn = Cn,n − Cn,1 (2.1.4)
La méthode de Chain Ladder a été introduite dans le cas où les données sont importantes et lorsque l’évolution du montant de sinistres ne dépend pas de la génération de contrats considérée. Ce qui conduit à introduire la seconde hypothèse : le montant cumulé de sinistres jusqu’à l’année i + j pour les contrats souscrits l’année i est proportionnel au montant cumulé de sinistres payés jusqu’à l’année i + j − 1 pour ces mêmes contrats. Le coefficient de proportionnalité, noté λj, est déterministe et ne dépend que de l’année de développement j et non de la génération i considérée, i.e. :
∃λj ∈ R+: Ci,j+1= λjCi,j, ∀i, j : i + j 6 n. (2.1.5)
Une fois les paramètres (λj)16j6n−1 estimés, il est possible de donner une valeur numé-rique à la provision. La relation (2.1.5) étant valable pour tout i6 n − j, le paramètre
2.1 Le provisionnement
λj est alors déterminé par :
λj = n−j X i=1 Ci,j+1 n−j X i=1 Ci,j , 1 6 j 6 n − 1, (2.1.6)
Comme Ci,j+1= λjCij, le montant ultime de sinistres pour la génération i vaut :
Ci,n= Ci,n+1−i
i−1
Y
j=1
λn−i+j. (2.1.7)
Le montant à provisionner, toujours pour la génération i, est alors :
Pi= Ci,n− Ci,n−i+1 = Ci,n+1−ih
i−1
Y
j=1
λn−i+j− 1i. (2.1.8)
Appliquons maintenant la méthode de Chain Ladder sur un exemple concret. Considé-rons le triangle de développement des sinistres suivant (n = 3) :
1 4 8 7 9 2 (2.1.9)
L’objectif est de déterminer pour chaque génération i le montant ultime de sinistres, i.e. nous cherchons à déterminer C1,3, C2,3 et C3,3. La première génération étant déjà arrivée à maturité nous connaissons le montant de sinistres ultimes C1,3. D’après (2.1.6) nous avons : λ1= 4 + 9 1 + 7 = 13 8 , (2.1.10) λ2= 8 4 = 2. (2.1.11)
D’après la relation (2.1.8) les montants à provisionner seront donc :
P1 = 0 (cette génération est déjà arrivée à maturité),
P2 = 9 × 2 − 9 = 9,
P3 = 2 × 2 ×13
8 − 2 = 4, 5.
Le principal inconvénient de la méthode de Chain Ladder est sa sur-paramétrisation : à la date n il nous faut estimer n − 1 paramètres, λ1, ..., λn−1, en se basant sur n(n+1)2 données. Cette estimation de paramètres (Cf. 2.1.6) confère autant d’importance aux données récentes qu’aux données anciennes. Dans la pratique, les données récentes des
Etat de l’art
compagnies d’assurances sont souvent plus exhaustives et représentatives de la réalité. La méthode de Chain Ladder pondérée (Cf. [43]) permet de prendre en compte ce phé-nomène, en accordant plus ou moins d’importance à certaines données (en fonction de leur ancienneté par exemple).
Un autre inconvénient est que l’hypothèse autorégressive (2.1.5) du modèle de Chain Ladder est très restrictive ; celle ci peut être relâchée de la manière suivante :
Ci,j+1= f (Ci,j), ∀i, j : i + j6 n, (2.1.12)
où f est une fonction définie de R+ dans R+. Un cas particulier de fonction f a été proposé par S. Benjamin et L.M. Eagles en 1986 dans le modèle de London Chain :
∃(λj, αj) ∈ (R+)2 : f (Ci,j) = λjCi,j+ αj, ∀i, j : i + j 6 n. (2.1.13) Cette méthode, permettant de prendre en compte le cas où les points (Ci,j, Ci,j+1)i>1 forment une droite ne passant pas par l’origine, augmente le problème de sur paramétrisa-tion de la méthode de Chain Ladder. C’est pourquoi E. Straub a proposé en 1988 dans le modèle de London Pivot le choix suivant pour la fonction f :
∃(λj, α) ∈ (R+)2: f (Ci,j) = λjCi,j+ α(λj− 1), ∀i, j : i + j 6 n. (2.1.14)
De nombreuses autres variantes de la méthode de Chain Ladder existent. Toutes ces méthodes, bien que faciles d’implémentation, partagent le même inconvénient : elles ne prennent pas en compte les générations de souscriptions dans le développement fu-tur des sinistres. Pour certaines branches d’assurance, il est nafu-turel de vouloir consi-dérer l’influence des générations par l’intégration d’une information “extérieure” aux sinistres. C’est ce que propose les méthodes Cape Code (H. Bühlmann, 1983, Cf. [17]), Bornhuetter-Ferguson (R.L. Bornhuetter et R.E. Ferguson, 1972, Cf. [14]) ou Benktander (G. Benktander, 1976, Cf. [10]) ; l’information extérieure aux sinistres pouvant être un montant de prime ou un ratio de sinistralité à l’ultime estimé par avis d’expert. D’autres méthodes permettent de prendre en compte l’influence des générations (méthode fac-torielle des moindres carrés de F. De Vylder, 1978, Cf. [61]) et également l’inflation (méthode de séparation de H.G. Verbeek et G. Taylor, 1972, Cf. [59]).
Toutes ces méthodes étant déterministes, elles ne donnent cependant qu’une estimation ponctuelle de la provision sans fluctuation possible, c’est à dire qu’elles ne fournissent pas d’intervalle de confiance.
Passons maintenant à la présentation des méthodes collectives stochastiques utilisées dans le cadre du provisionnement en assurance non-vie.
Les méthodes stochastiques
Les méthodes stochastiques utilisées pour le calcul des provisions d’une compagnie d’as-surances non-vie sont diverses et variées. Nous proposons ici une classification non
2.1 Le provisionnement
haustive en trois parties : les modèles récursifs, les modèles basés sur des régressions log-normale et les modèles GLM (Generalized Linear Model, Cf. [40]).
La plus connue des méthodes stochastiques récursives est la méthode de Mack (T. Mack, 1993, Cf. [34]). Ce modèle est la version stochastique du modèle de Chain Ladder. Les hypothèses retenues dans ce modèle sont les suivantes :
Ci,1, ..., Ci,net Ck,1, ..., Ck,n sont deux variables indépendantes ∀i 6= k, (2.1.15)
∃λj ∈ R+ :E[Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j] = λjCi,j, ∀i, j : i + j 6 n, (2.1.16)
∃σj ∈ R+:V[Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j] = σjCi,j, ∀i, j : i + j 6 n. (2.1.17)
Ces trois hypothèses permettent notamment de donner, après estimation des paramètres (λj)16j6n−1 et (σj)16j6n−1, une estimation de la moyenne de la provision et également un intervalle de confiance associé à cette moyenne. De nombreuses extensions au modèle de Mack existent tels que le modèle de Schnauss (1996), le modèle de Munich Chain Ladder (G. Quarg et T. Mack, 2004, Cf. [48]) et le modèle de JAB Chain (B. Verdier et A. Klinger, 2005, Cf. [60]).
Le second type de modèles stochastiques utilisés se base sur une régression log-normale des facteurs de développement Ci,j+1
Ci,j (modèle de Hertig, 1985, Cf. [29] et modèle de HFB, 1985, Cf. [30]) ou sur une régression log-normale des variables Xi,j (modèle de S. Christophides, 1990, Cf. [18]).
Une autre alternative est de considérer les modèles GLM. Dans ce type de modèle, les variables Xi,j ont une densité de type exponentiel (normal, gamma, poisson, etc.), i.e. :
exphxi,jθi,j− v(θi,j)
u(φ) + w(xi,j, φ) i
, (2.1.18)
où u, v et w sont des fonctions, θi,j et φ sont des paramètres appelés “paramètre na-turel” de la famille exponentielle et “paramètre de dispersion”. Les principaux modèles GLM utilisés en assurance non-vie sont ceux de A.E. Renshaw et R.J. Verrall (modèle poissonien, 1998, Cf. [51]) et celui de S.M. Gluck (2000, Cf. [28]).
L’ensemble des méthodes collectives (déterministe et stochastique) présentées jusqu’à maintenant ont plusieurs inconvénients en commun. Le principal inconvénient (déjà évo-qué ci-dessus) est leur sur-paramétrisation, d’autre part elles sont incapables de mo-déliser le montant d’un sinistre concernant un assuré particulier et ainsi d’intégrer les caractéristiques personnelles des assurés. Ces méthodes ne sont pas non plus capables de prendre en compte des garanties avec des contrats de maturité différente et dont aucune génération n’est arrivée à terme (hormis l’utilisation d’un facteur de queue, tail factor en anglais, qui est discutable sur des branches à maturité longue). Un autre inconvé-nient (présent pour la garantie particulière que nous avons présentée dans le chapitre
Etat de l’art
précédent) est que le montant estimé de la provision est nul si le montant de sinistres connus à la date de calcul est nul : si Ci,n−i+1= 0 alors Pi = 0. Enfin, l’hypothèse d’in-dépendance entre les générations n’est pas en pratique souvent vérifiée. C’est pourquoi nous présentons maintenant une alternative à ces méthodes collectives : les méthodes individuelles.
2.1.2 Les méthodes individuelles
Dans les modèles individuels, la provision est définie comme une somme, d’un nombre de termes aléatoires, de montant de sinistres individuels concernant un assuré particulier. Le modèle le plus utilisé est le processus de Poisson composé (Cf. [57]) dans lequel la provision de la génération i à la date n est notée Pi et est définie par :
Pi := Nn+i X j=Nn Sj, (2.1.19) où :
• (Nt)t>0 est un processus de Poisson et Nt représente le nombre de sinistres
dé-clarés (ou indemnisés) dans l’intervalle de temps [i, t],
• (Sj)j>1est une suite de variables aléatoires (v.a.) indépendantes et identiquement
distribuées (i.i.d.), où Sj représente le montant du j-ème sinistres concernant les contrats souscrits la génération i,
• Le processus de Poisson (Nt)t>0est indépendant des montants de sinistres (Sj)j>1. Ce type de modèle s’illustre graphiquement de la manière suivante :
0 • Génération i• n• SN•n+1 + SN•n+2 + + SNn+i−1• n + i • Pi
Figure 2.1 – Provision individuelle via le processus de Poisson composé.
Les résultats théoriques concernant les processus de Poisson composés sont nombreux : moments (espérance, variance), comportement asymptotique et loi du processus ont été déterminés. Cependant cette modélisation ne permet pas de prendre en compte certains types de dépendances :
• Puisque les v.a. (Sj)j>1 sont indépendantes, il n’est pas possible de considérer d’éventuelles dépendances entre les “assurés”.
• De ce fait, la prise en compte de l’influence d’un risque systémique externe (im-mobilier, récession, etc.) est impossible.
2.1 Le provisionnement
• Il n’est finalement pas permis de considérer un lien entre le processus représen-tant les déclarations de sinistres et leurs monreprésen-tants car le processus (Nt)t>0 est indépendant des v.a. (Sj)j>1. En particulier le montant d’un sinistre ne dépend pas de sa date de déclaration (ou d’indemnisation).
Certains modèles permettent de prendre en compte ces dépendances. En ce qui concerne la prise en compte de la date du sinistre dans son montant, nous pouvons citer les “shot noise processes” (Cf. [6], [49] et [54]) dans lesquelles la provision est définie par :
Pi:=
Nn+i
X
j=Nn
f (Tj, ξj), (2.1.20)
où (Nt)t>0 est un processus de comptage dont les temps de sauts sont notés (Tj)j>1, f est une fonction mesurable, (ξj)j>1 est une suite de v.a. i.i.d. et indépendante du pro-cessus de comptage. Ainsi f (Tj, ξj) représente le montant du j-ème sinistre concernant les contrats souscrits la génération i. A travers l’expression (2.1.20) il est clair que le montant de chaque sinistre dépend de sa date de déclaration (ou d’indemnisation). Une autre possibilité pour prendre en compte ce type de dépendance est de modéli-ser la provision via des U -statistiques de processus ponctuel de Poisson (Cf. [19]), i.e. :
Pi := X
(Y1,...,Yk)∈ηk
6=
f (Y1, ..., Yk), (2.1.21)
où f est une fonction symétrique, l’ensemble de vecteurs aléatoires (Yj)j>1 forme un processus ponctuel de Poisson et η6=k est l’ensemble de tous les k-tuples points distincts du processus.
Nous pouvons également citer l’article de H. Albrecher et O.J. Boxma (Cf. [2]) et la thèse de R. Biard (Cf. [12]) en ce qui concerne la prise en compte d’une dépendance entre les temps inter-sinistres et leurs montants (applications aux catastrophes natu-relles).
En ce qui concerne la modélisation de la dépendance entre les montants de sinistres, nous pouvons mentionner l’utilisation des copules (Cf. [3], [8] et [62]). Il est enfin inté-ressant de regarder les processus de Poisson marqués (Cf. [33] et [38]).
Les méthodes individuelles présentent également des inconvénients :
1. La technicité de ces méthodes rendent leurs utilisations et explications plus compli-quées que les méthodes collectives ; ces méthodes sont donc plus difficiles à mettre en place dans les compagnies d’assurances,
2. Leur temps d’implémentation est supérieur à celui des méthodes collectives,
Etat de l’art
3. Le nombre de paramètres à estimer peut, parfois, être important,
4. Ces méthodes n’ont pas de caractère générique et sont spécifiques à chaque type de garantie.
La comparaison entre méthodes collectives et individuelles peut se faire, comme le sug-gère R.J. Verral, de la manière suivante :