Une traduction de ce chapitre, en anglais, est disponible page181.
3.1 Conclusion
Dans cette thèse nous avons adopté le point de vue d’un assureur devant indemniser une banque à la suite de pertes liées à un défaut de remboursement de ses emprunteurs. Dans une première partie nous avons modélisé le montant potentiel des pertes liées à ces défauts de paiement pour une période donnée ; ce montant est appelé provision. La quantité clé de notre modèle est le montant d’un défaut. Pour un emprunteur j et une date de fin de prêt Tj, ce montant vaut :
Mj× max
φTj(Dj) − RTj; 0
, (3.1.1)
où :
• Mj est le montant emprunté et Dj est la durée du prêt,
• MjφTj(Dj) est le montant dû par l’emprunteur et dépend des caractéristiques personnelles des emprunteurs et φ est une fonction déterministe indépendante de
j,
• MjRTj est le montant de la revente du bien immobilier financé par le prêt. Le coefficient de proportionnalité RTj est modélisé par un mouvement Brownien géométrique et représente les fluctuations des prix de l’immobilier. Nous suppo-sons que ce coefficient est identique pour tous les emprunteurs, ainsi il existe une dépendance entre les montants de défauts de chaque emprunteur.
La loi des couples (Date de fin du prêt Tj, Durée du prêt Dj) est modélisée par un processus ponctuel de Poisson ce qui nous permet de définir la provision Ph, où h est la durée maximale des contrats considérés, comme une somme d’un nombre aléatoire de montants de défauts individuels :
Ph :=X
j>1
1{(Tj,Dj)∈Ah}Mjmax
φTj(Dj) − RTj; 0
, (3.1.2)
où Ah est l’ensemble de variation des prêts en défaut de paiement. A la fois théorique et appliquée, la formule (3.1.2) permet de calculer, via la prise en compte de plusieurs dépendances, l’espérance et la variance mais aussi de donner un algorithme de simulation de la provision. Le nombre important de données à notre disposition permet d’estimer
Conclusion et perspectives
les paramètres liés au modèle et de fournir une valeur numérique aux quantiles de la provision.
Dans une deuxième partie nous nous sommes intéressés au besoin de solvabilité as-socié au risque de provisionnement (problématique imposée par la réforme européenne Solvabilité 2). Le besoin de solvabilité, noté BS(h), est défini comme le quantile de la provision centrée, i.e. :
BS(h) := QPh−E[Ph](99, 5%), (3.1.3)
Pour calculer BS(h) nous avons étudié le comportement asymptotique de Ph lorsque
h → +∞ et nous avons montré que : Ph− E(Ph) hθ1 L −−−−−−−−−−→ h → + ∞ G − Z +∞ 0 inf θ2, θ3Rtdt + θ4, (3.1.4) où θ1, θ2, θ3 et θ4 sont des paramètres et G est une variable aléatoire gaussienne centrée, réduite et indépendante de (Rt)t>0. Par conséquent, nous avons approximé BS(h) par la quantité BS?(h) définie par :
BS?(h) := hθ1× q99,5%, (3.1.5) où q99,5% est le quantile, à l’ordre 99, 5%, de :
G −
Z +∞
0
inf θ2, θ3Rtdt + θ4. (3.1.6) La formule précédente est seulement théorique. En effet la loi de R+∞
0 inf θ2, θ3Rtdt
est inconnue. Cependant nous avons évoqué précédemment la possibilité de simuler la provision : ces simulations nous permettent de donner une valeur numérique au besoin de solvabilité.
Notons que s’il n’y avait pas de corrélation entre les montants de chaque sinistre, la loi limite de la provision, convenablement renormalisée, convergerait vers une variable aléatoire gaussienne, centrée et réduite. Le terme additionnel qui s’exprime à l’aide d’une intégrale du mouvement Brownien géométrique prend en compte les corrélations. Il y a donc une “séparation des sources de risques”, l’une provenant des caractéristiques indi-viduelles des emprunteurs qui sont indépendants et l’autre provenant du coût “commun” de l’immobilier.
3.2 Perspectives
Implémentation de notre modèle :
La première perspective à l’issue de cette thèse est d’implémenter notre modèle au sein de CAMCA Assurance. Cette implémentation nécessitera :
3.2 Perspectives
1. De tester (et “back-tester”) notre modèle sur l’ensemble des données disponibles (nous nous sommes limités dans cette thèse à une unique banque).
2. D’expliquer en détail notre modèle ainsi que les hypothèses que nous avons effec-tuées.
3. D’implémenter en pratique notre modèle (création d’un package ?) en tenant compte du système informatique de CAMCA Assurance.
Investissement de la prime perçue :
Nous montrerons dans la Section 5.2 que la garantie proposée par CAMCA Assurance peut s’interpréter via les options d’échange. Cette interprétation suggère la question de l’investissement des primes perçues par la compagnie d’assurances. Pour déterminer une stratégie d’investissement des primes perçues, ou de couverture, il est nécessaire de dé-finir un marché formé d’actifs exogènes à ceux intervenant dans les options d’échange. Lorsque la maturité d’une option d’échange est fixée, il existe des stratégies de couver-ture de cette option. La difficulté sera ici de prendre en compte l’aléa sur le nombre des défauts, i.e. sur le nombre d’option d’échange, et sur les dates de ces défauts, i.e. sur les dates d’exercice des options d’échange.
Profil de risque :
Une autre question intéressante est celle du profil de risque des emprunteurs. Nous pourrions déterminer les principales caractéristiques communes des emprunteurs présen-tant un défaut de paiement et également déterminer les caractéristiques annonçant un défaut futur. L’outil utilisé serait plutôt l’analyse des données.
Solvabilité 2 :
Enfin nous pourrions nous intéresser à différents aspects de la réforme Solvabilité 2. Dans cette thèse nous nous sommes limités à l’étude du besoin de solvabilité pour une génération donnée. Cependant la méthode asymptotique que nous avons proposée est uniquement théorique. En effet nous voyons à travers la formule (3.1.4) que la loi limite de la provision renormalisée dépend de la variable :
Z +∞
0
inf θ2, θ3Rt
dt. (3.2.1)
Il parait naturel d’étudier la loi de cette intégrale.
Nous pourrions également évaluer la solvabilité liée à l’ensemble des risques évoqués dans la réforme Solvabilité 2 (risque de marché, de contrepartie, etc.).
Conclusion et perspectives