Compléments numériques au calcul du besoin de solvabilité
7.3 Besoin de solvabilité empirique
Lorsque µ est négatif (loin de 0) la distribution empirique de P (h, R)−E
P (h, R)
semble gaussienne.
Notons qu’il est attendu que l’influence deR+∞
0 inf 1,γαRt
dt dans la loi limite P (h, R)
est négligeable lorsque µ → −∞. En effet : lim µ→−∞ Z +∞ 0 inf 1,γ αexp µt + σBtdt = 0. (7.2.5)
Donc le terme additif dans la loi limite de la provision renormalisée ne joue pas de rôle lorsque µ est très négatif. L’intérêt des simulations est de mettre en évidence que dès que µ6 −0, 07, l’influence de X? est négligeable.
7.3 Besoin de solvabilité empirique
Dans cette section nous calculons numériquement le besoin de solvabilité (BS). Comme énoncé dans le Chapitre6, la méthode asymptotique ne permet pas de calculer numéri-quement le BS. En effet la formule (6.2.28) dit que :
BS?(h) = hhQX? 99, 5% + κi s λ2α2E (M1)2 2 , (7.3.1) où E (M1)2
est le moment d’ordre 2 du montant des prêts, λ2, α, κ sont définis par
(6.2.8), (6.2.6), (6.2.22) et QX? 99, 5%
(Cf. (6.2.13)) est le quantile d’ordre 99, 5% de la v.a. X? définie par (7.2.2).
Puisque la loi de R+∞
0 inf 1,αγRtdt est inconnue, la formule (7.3.1) ne nous permet pas de calculer numériquement le BS. Puisque h est grand il est possible de réaliser des simulations de Monte Carlo. En effet nous avons vu dans les Chapitres 4 et5 qu’il est possible de simuler la provision : l’Algorithme5.1nous fournit une méthode pour réaliser de telles simulations. Notons pµ,ll’échantillon de taille l = 5 000 obtenu via l’Algorithme
5.1, i.e. :
pµ,l= pµ1, ..., pµl
. (7.3.2)
D’après la Définition6.2.2et la Remarque6.2.3(Cf. (6.2.14)), nous définissons le besoin de solvabilité empirique, noté BSµemp, de la manière suivante :
BSµemp:= infnt : Fpµ,l(t)> 99, 5%o− 1 l l X j=1 pµj. (7.3.3)
où Fpµ,l(t) est la fonction de répartition empirique du l-échantillon simulé.
Nous souhaitons voir comment évolue le besoin de solvabilité empirique en fonction de la valeur de µ. Pour ce faire, nous traçons la courbe, noire, (µ, BSµemp) pour µ ∈ [−1, 1] :
• µ sera représenté en abscisse,
Compléments numériques au calcul du besoin de solvabilité • BSemp
µ figurera en ordonnée.
• La droite verticale jaune représentera la valeur du besoin de solvabilité empirique pour la valeur du paramètre µ estimé dans la Section 5.4.2, i.e. µ = −0, 07.
●● ●● ●●●●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●●●● ● ● ● ●● ●●● ● ●●●●●●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ●●●● ●●●● ●● ●● ●●●● ●● ● ● ● ●●●●●●●●● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 0e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05
Besoin de solvabilité en fonction de mu
Valeur de mu
Besoin de solv
abilité
−1 −0.93 −0.85 −0.77 −0.69 −0.61 −0.53 −0.45 −0.37 −0.29 −0.21 −0.13 −0.04 0.04 0.1 0.16 0.23 0.3 0.36 0.43 0.5 0.56 0.63 0.7 0.76 0.83 0.9 0.96
Figure 7.8 – Besoin de solvabilité en fonction de µ. Nous distinguons trois régimes différents dans le précédent graphique :
1. Lorsque µ < 0 : le besoin de solvabilité empirique se “rapproche” d’une constante positive lorsque µ devient très négatif.
2. Lorsque µ est proche de 0 : le besoin de solvabilité empirique se rapproche de 0. Il s’agit d’un état transitoire.
3. Lorsque µ > 0 : le besoin de solvabilité se rapproche de 0 lorsque µ augmente.
7.3 Besoin de solvabilité empirique
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