1.8 Application au probl`eme de transfert orbital plan
1.8.3 R´esultats num´eriques pour le transfert plan `a masse variable
P¯(1)−1 e1(1) e2(1) λl(1) ǫ
m q
hλ, Fri2+hλ, Fori2(1)−1
,
avecǫ=
sP(tf) µ umax.
L’algorithme de tir est fond´e sur l’estimation initiale de la recherche it´erative de (λ0, tf).
Par ailleurs, si cette estimation est mauvaise (pas assez proche de la vraie solution), l’al-gorithme de tir diverge, surtout pour les pouss´ees faibles. Afin d’am´eliorer la qualit´e des r´esultats, on a mis en oeuvre la m´ethode de continuation sur le module maximal de la pouss´ee umax : partant d’un probl`eme `a forte pouss´ee (le temps de transfert ´etait moins long, la r´esolution du probl`eme est plus simple), on r´einjecte le r´esultat comme initiali-sation du probl`eme voisin, mais plus compliqu´e de pouss´ee plus faible. Plus pr´ecis´ement, partant de umax = 60N et passant d’une pouss´ee courante ucmax `a une pouss´ee suivante u+max,on se sert deλ0,c pour initialiser la recherche it´erative deλ0,+.En ce qui concerne le temps de transfert, on ne peut pas se contenter d’utiliser la valeurtcf du temps de transfert optimal d´etermin´e `a la pouss´ee couranteucmaxpour initialiser la r´esolution `a la pouss´ee sui-vanteu+max.En effet, en proc´edant de la sorte, on rencontre tr`es rapidement des difficult´es de convergence, d`es les pouss´ees moyennes de l’ordreumax = 3N.Ce ph´enom`ene est issu du fait qu’avec une pouss´ee faible, la fonction de tir est en g´en´erale globalement non injec-tive, c’est `a dire `a un certain moment d’une trajectoire optimale, on peut suivre d’autres solutions extr´emales qui annulent aussi la fonction de tirF(Z),mais ont un nombre plus grand de tours (tf non optimal). Un mod`ele int´eressant pour comprendre ce ph´enom`ene est le Tore plat, voir [8]. C’est pourquoi on fait appel au r´esultat suivant : tf.umax est approximativement constant, voir [13]. On est donc amener `a prendre , pour initialisert+f, la valeurtcfucmax
u+max
,qui s’av`ere tr`es proche de la solution, ce qui ´evite de suivre les mauvaises extr´emales.
1.8.3 R´esultats num´eriques pour le transfert plan `a masse variable Dans l’algorithme de tir, on utilise le solveur Runge-Kutta pour les pouss´ees fortes et pour les pouss´ees moyennes (≥ 3N). Par contre pour les pouss´ees faibles, on remplace le solveur Runge-Kutta par un solveur de type Adams. L’initialisation de la continuation est faite `a partir du r´esultat pour 60N, l’algorithme de tir converge sans difficult´e vers la solution jusqu’`a la pouss´ee 3N. Pour la suite de pouss´ees, prendre |u+max−uc
max| tr`es petit permet d’assurer la convergence et d’atteindreumax= 0,7N.Les temps de transferts
obtenus, les temps d’ex´ecutions de l’algorithme de tir et ||F(Z)|| sont r´esum´es dans le tableau 1.1.
Tableau 1.1 : La pouss´ee est en Newtons, le temps de transfert tf est en Heures, et le temps d’ex´ecution en secondes.
umax tf ||F(Z)|| temps d’ex´ecution
60 14,93392195110724 1,620392708900909e-011 1,12351e+2 3 278,0944311063967 7,197598961283802e-009 2,496e+3 2 419,0319483179136 7,502549975594089e-011 3,596e+3 1,4 596,9243770272856 1,316209077492636e-012 1,1833e+4
1 838,0054599530993 6,780439226847668e-011 1,9994e+4 0,7 1196,292472762813 1,765254609153999e-013 1,038211e+5
Enfin les allures des composantes de l’´etat, de l’´etat adjoint, l’ellipse, le contrˆole et les fonctions de commutations (φ=hλ, Fri2+hλ, Fori2) pour diff´erentes valeurs de la pouss´ees sont donn´ees dans les figures 1.1,1.2,1.3,1.4,1.5 et 1.6.
Commentaire
Pour les pouss´ees inf´erieurs `a 3N,on observe que certaines composantes (P, e1, l, λP, λe1) oscillent, mais faiblement, alors que d’autres (e2, λe2, λl) sont fortement oscillatoires. En-fin, on retrouve bien le contrˆole `a deux phases s´epar´ees par la zone de points o`u la fonction de commutationφ passe tr`es pr`es de l’origine : on commence par accroˆıtre le param`etre P dans un premier temps, pour corriger l’excentricit´e par la suite, en particulier sure2.
Conclusion
Nous avons tout d’abord montr´e dans ce chapitre que le probl`eme du transfert orbital
´etait contrˆolable. Nous nous sommes ensuite int´eress´es `a la structure de ces commandes optimales, toujours d’un point de vue g´eom´etrique `a l’aide du principe du minimum. De plus, nous avons consacr´e une importante partie de ce chapitre `a expliquer l’algorithme de tir et la technique de continuation, consid´er´es comme outil num´erique adapt´e `a r´esoudre un probl`eme de contrˆole optimal g´en´eral `a partir de ces conditions n´ecessaires d’optimalit´e.
Enfin, d’un point de vue num´erique le tir simple coupl´e `a la m´ethode de continuation sur le contrˆole, s’av`ere ˆetre la m´ethode la plus efficace pour traiter le probl`eme de transfert orbital. Nous avons pouss´e les simulations plus loin dans le cas plan, en utilisant pour les pouss´ees faibles une m´ethode multipas comme int´egrateur.
Notes et sources
La r´ef´erence principale pour la mod´elisation du probl`eme de transfert orbital est le livre de Zarrouati [50]. Le livre de Cesari [15] reste l’une des r´ef´erences les plus utilis´ees en contrˆole optimal pour les ´equations diff´erentielles ordinaires, l’article de Jurdjevic et Quinn [26]
traite le point de vue g´eom´etrique, par exemple concernant la contrˆolabilit´e. Pour l’uti-lisation de l’algorithme de tir, on se reportera au livre de Stoer et Bulirsch [47], et aux travaux d’Oberle et Grimm [37, 38] . En ce qui concerne la m´ethode de continuation , on a utilis´e le travail de th`ese de Caillau [13].
0 1 2 3 4 5 6
La première composante de l’excentricité
0 1 2 3 4 5 6
La deuxième composante de l’excentricité
0 1 2 3 4 5 6
Le vecteur adjoint λP
0 1 2 3 4 5 6
Le vecteur adjoint λe 1
Le vecteur adjoint λe 2
Le vecteur adjoint λl
0 1 2 3 4 5 6
Fig.1.1 – Pouss´ee de 60 Newtons
0 2 4 6 8 10 12
La première composante de l’excentricité
0 2 4 6 8 10 12
La deuxième composante de l’excentricité
0 2 4 6 8 10 12
Le vecteur adjoint λP
0 2 4 6 8 10 12
Le vecteur adjoint λe 1
Le vecteur adjoint λl
0 2 4 6 8 10 12
Fig.1.2 – Pouss´ee de 3 Newtons
0 2 4 6 8 10 12 14 16
La première composante de l’excentricité
0 2 4 6 8 10 12 14 16
La deuxième composante de l’excentricité
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Le vecteur adjoint λe 1
Le vecteur adjoint λe 2
Le vecteur adjoint λl
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Fig.1.3 – Pouss´ee de 2 Newtons
0 0.5 1 1.5 2 2.5
La première composante de l’excentricité
0 0.5 1 1.5 2 2.5
La deuxième composante de l’excentricité
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Le vecteur adjoint λP
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Le vecteur adjoint λe 1
Le vecteur adjoint λl
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Fig. 1.4 – Pouss´ee de 1,4 Newtons
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Le paramètre de l’ellipse
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
La première composante de l’excentricité
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
La deuxième composante de l’excentricité
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Le vecteur adjoint λP
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Le vecteur adjoint λe 1
Le vecteur adjoint λe 2
Fig.1.5 – Pouss´ee de 1 Newtons
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
La première composante de l’excentricité
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
La deuxième composante de l’excentricité
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Le vecteur adjoint λP
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Le vecteur adjoint λe 2
Le vecteur adjoint λl
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Fig. 1.6 – Pouss´ee de 0,7 Newtons
Principe du minimum avec contraintes sur l’´ etat
47
2.1 Introduction
L’objectif de ce chapitre est d’´etablir des conditions n´ecessaires d’optimalit´e, pour des syst`emes avec contraintes sur l’´etat, applicables aux probl`emes de rentr´ee atmosph´erique.
En effet dans le probl`eme de rentr´ee, il y a des contraintes actives pour le flux thermique, l’acc´el´eration normale ou la pression dynamique. Les conditions d’optimalit´e sont obtenues via des principes du minimum, la contrainte sur l’´etat pouvant ˆetre p´enalis´ee de plusieurs fa¸cons dans le Hamiltonien. Nous avons choisi de faire une pr´esentation heuristique de ces conditions, pour obtenir des conditions simples et applicables `a notre situation. Le premier r´esultat pr´esent´e concerne les travaux de Weierstrass [2]. Nous ´etablissons ensuite la th´eorie de Kuhn-Tucker dont la version en dimension infinie [25] permet d’obtenir les conditions n´ecessaires recherch´ees qui forment le principe du minimum de Maurer [33].
Enfin nous calculons les multiplicateurs associ´es `a la contrainte, ce calcul ´etant li´e `a l’action de l’alg`ebre de Lie (engendr´e par les champs de vecteurs) agissant sur la fonction de la contrainte.