3.3 Contrˆ ole optimal sur le mod`ele simplifi´e I
3.3.4 Algorithme et r´esultats num´eriques
Dans cette section on simule les extr´emales solutions du principe du minimum de Mau-rer [33] pour le mod`ele simplifi´eI. On commence tout d’abord par rappeler les r´esultats de l’analyse g´eom´etrique pr´ec´edemment trait´ee dans les sections pr´ec´edentes, ensuite on explique notre algorithme num´erique pour r´esoudre le probl`eme aux valeurs limites issu des conditions n´ecessaires d’optimalit´e et enfin on pr´esente les r´esultats num´eriques obte-nus.
R´esultats de l’analyse g´eom´etrique. L’application du principe du minimum de Maurer [33] au mod`ele simplifi´eI ram`ene le probl`eme du contrˆole optimal `a un probl`eme aux valeurs limites d´efini comme suit :
le couple ´etat/´etat adjoint (q, p) = (r, v, γ, pr, pv, pγ) v´erifie les deux syst`emes suivants :
Syst`eme d’´etat adjoint
dpr
o`u Ci repr´esente respectivement pour i = 1 et 2 la contrainte sur le flux thermique et sur l’acc´el´eration normale. La fonction η d´efinit le multiplicateur associ´e aux contraintes et est nulle sur le domaine int´erieur, donn´ee respectivement sur le flux thermique et sur l’acc´el´eration normale par les formules (3.30) et (3.32). p0 repr´esente le multiplicateur associ´e au coˆut, pour normaliser le syst`eme on a choisip0 = 1 dans nos calculs num´eriques, de plus d’apr`es l’analyse g´eom´etrique trait´ee pr´ec´edemment on d´eduit :
Proposition 3.3.4 La trajectoire optimale satisfaisant les conditions finales requises, est de la forme γ−γ+γf luxγ+γaccγ+γ−. C’est-`a-dire qu’elle est constitu´ee de sept arcs cons´ecutifs : un arc r´egulier associ´e `a u = −1, un arc r´egulier associ´e `a u = 1, un arc fronti`ere associ´e `a u = X.(X.C1)
[X.Y].C1
correspondant au flux thermique, un arc r´egulier associ´e `a u = 1, un arc fronti`ere associ´e `a u = X.(X.C2)
[X.Y].C2 correspondant `a l’acc´el´eration normale, un arc r´egulier associ´e `au= 1,puis un arc r´egulier associ´e `au=−1,voir figure 3.9. De plus aux points de jonctions t2, t3, t4 et t5,les conditions de saut suivantes sont v´erifi´ees :
p(t+2) = p(t−2)−ν1∂C1
∂q , p(t+3) = p(t−3) +ν2∂C1
∂q , p(t+4) = p(t−4)−ν3∂C2
∂q , p(t+5) = p(t−5) +ν4∂C2
∂q , o`u les νi sont donn´ees par les formules (3.31) et (3.33).
Pour les conditions limites, on a choisi les valeurs suivantes :
r(0) = 6 497 960, r(tf) = 6,4115489e+ 006, v(0) = 7404,95, v(tf) = 1,80834e+ 003, γ(0) =−0,032rad, γ(tf) =−1,478e−001rad, ϕmax= 1 208e+ 003, γnmax= 29,34, Pmax= 25 000, de plus l’application du principe du minimum impose les conditions suivantes :
C1(t2) =ϕmax, (X.C1)(t2) = 0, C2(t4) =γnmax, (X.C2)(t4) = 0,
pγ(t1) = 0, pγ(t2) = 0, pγ(t4) = 0, pγ(t6) = 0.
pression
acc´el´eration normale flux
γ− γ+
γacc γ+
γf lux γ+
γ− dynamique
thermique
t1 t2
t3 t4 t5
t6 tf
Figure 3.9−Trajectoire optimale du mod`ele simplifi´eI
Les extr´emales du syst`eme sont donc param´etr´ees par le vecteur adjoint initial p(0) = (pr(0), pv(0), pγ(0)),par les temps de commutation du contrˆole (t1, t2, t3, t4, t5, t6 ettf ) et par les sauts aux points de sorties des deux contraintes (ν2 etν4). L’algorithme suivant permet d’obtenir ces param`etres pour lesquels la trajectoire extr´emale v´erifie les condi-tions limites, les condicondi-tions impos´ees par le principe du minimum et la condition sur le Hamiltonien puisque le temps final est libre.
Algorithme et r´esultats num´eriques. On peut r´esoudre le probl`eme aux valeurs limites pr´ec´edent en utilisant l’algorithme de tir multiple directement, mais la principale difficult´e est de trouver une bonne estimation pour les inconnuspr(0), pv(0), pγ(0), t1, t2, t3, t4, t5, t6, tf, ν2 et ν4, qui produise une solution qui v´erifie les conditions terminales et les conditions impos´ees par le principe du minimum. Pour surmonter cette difficult´e rencontr´ee, on proc`ede de la mani`ere suivante : puisque le syst`eme ´etat/´etat adjoint est d´ecoupl´e au sens o`u le syst`eme d’´etat est ind´ependant de l’´etat adjoint (surtout que le contrˆole ne d´epend pas explicitement du vecteur adjoint), notre algorithme consiste alors
`
a r´esoudre le syst`eme ´etat/´etat adjoint en deux ´etapes :
Etape´ 1 : cette ´etape sert `a r´esoudre le syst`eme d’´etat et `a d´eterminer les instants de commutation du contrˆole. En effet le probl`eme est de trouver Z = (t1, t2, t3, t4, t5, t6, tf) qui v´erifie la fonction de tirF(Z) = 0,o`u
F(Z) =
C1(t2)−ϕmax (X.C1)(t2) C2(t4)−γmaxn
(X.C2)(t4)
r(tf)−6,4115489e+ 006 v(tf)−1,80834e+ 003
γ(tf) + 1,478e−001
.
Pour r´esoudre ce probl`eme, on propose un couplage entre la m´ethode de continuation sur la borne maximale (ϕmax, γnmax) des contraintes sur l’´etat et l’algorithme de tir multiple, en proc´edant comme suit : on utilise l’algorithme de tir simple pour r´esoudre le syst`eme d’´etat sans contrainte, ce qui donne les r´esultats suivants :
−les points de commutation t⋆1, t⋆2 ett⋆3,
−les bornes maximales ϕmax,⋆ etγnmax,⋆,
−les tempst⋆11 ett⋆22,o`u atteignent les bornes maximales.
Ensuite on tire de ces r´esultats une estimation initialeZ0, ǫ = (t⋆1, t⋆11, t⋆11+ǫ t⋆11, t⋆22, t⋆22+ ǫ t⋆22, t⋆2, t⋆3) pour lancer l’algorithme de tir multiple afin de r´esoudre le syst`eme d’´etat (perturb´e) associ´e aux bornes maximales sur les contraintes suivantes :
ϕmax, ǫ=ϕmax, ⋆−ǫ ϕmax, ⋆, γnmax, ǫ=γnmax, ⋆−ǫ γmax, ⋆n ,
o`uǫest un r´eel petit et positif. Partant de ce syst`eme de r´ef´erence, on r´einjecte le r´esultat comme initialisation du syst`eme d’´etat voisin. Plus pr´ecis´ement, partant d’une borne maxi-male (ϕmax, ǫ, γnmax, ǫ) et passant d’une borne maximale (ϕmax, c, γnmax, c) courante `a une borne maximale (ϕmax,+, γmax,n +),on se sert deZ0, c pour lancer l’algorithme de tir mul-tiple afin de trouverZ0,+. Les r´esultats sont trac´es sur les figuresf ig.3.3.
0 100 200 300 400 500 600 700
Fig. 3.3 – Coordonn´ees d’´etat et contraintes sur l’´etat pour le mod`ele simplifi´eI.
Etape´ 2:Dans cette ´etape, la connaissance des points de commutation nous facilite l’ap-plication de l’algorithme de tir, surtout en ce qui concerne le choix des noeuds, afin de r´esoudre le syst`eme d’´etat adjoint. Plus pr´ecis´ement on chercheZ = (pr(0), pv(0), pγ(0), ν2, ν4),
Les r´esultats obtenus sont trac´es sur les figuresf ig.3.4 etf ig.3.5. Le Z etF(Z) trouv´es
−1,406297087669373e−007 1,110223024625157e−016
ainsi les sauts aux points d’entr´es sont donn´es par :
ν1= 4,209164006513169e+ 001 , ν3 = 1,506974540319433e+ 006.
pravant et sur le flux thermique
260 280 300 320 340 360 380 400
−8000
pr sur le pont et sur l’accélération normale
350 400 450 500 550 600 650
−1
pr après l’accélération normale
0 50 100 150 200 250 300
260 280 300 320 340 360 380 400
−7.8
pv sur le pont et sur l’accélération normale
350 400 450 500 550 600 650
−2.5
pv après l’accélération normale
Fig.3.4 –pr etpv sur diff´erentes phases du domaine du vol
Commentaire
Les vecteurs adjoints pr et pv sont discontinus aux points d’entr´ee (ou de sortie) dans les deux contraintes (actives) sur l’´etat. Par contre, comme les contraintes sur l’´etat ne d´ependent pas de γ, le vecteur adjoint pγ reste continu. Le multiplicateur η est positif sur les contraintes sur l’´etat. De plus le vecteur adjoint pγ, qui a le mˆeme signe que la fonction de commutation, est positif (resp. n´egatif) sur une extr´emale bangγ− (resp.γ+) et est nul sur la fronti`ere. Ces r´esultats confirment les conditions n´ecessaires d’optimalit´e de Maurer.
0 50 100 150 200 250 300
260 280 300 320 340 360 380 400
−6
pγ sur le pont et sur l’accélération normale
350 400 450 500 550 600 650
−12
pγ après l’accélération normale
2000 210 220 230 240 250 260 270
η sur le flux thermique
260 280 300 320 340 360 380 400
−0.5
Fig. 3.5 –pγ etη sur diff´erentes phases du domaine du vol