Nous nous tournons `a pr´esent vers un mod`ele plus `a mˆeme de d´ecrire la croissance d’une population de bact´eries E. coli.
Descriptions stochastique et d´eterministe
Nous travaillons ici sur un mod`ele qui ressemble au mod`ele structur´e en taille d´ej`a d´ecrit, sen- siblement enrichi. La croissance des cellules est toujours suppos´ee exponentielle et chaque cellule poss`ede son propre taux de croissance τu. Nous autorisons par la suite la transmission h´er´editaire
de ce taux de croissance `a travers le noyau markovien ρ(v, v0)dv0 = P(τu− ∈ dv0|τu = v) o`u u− d´esigne le parent de la cellule u. Une cellule de taille `a la naissance ξuse divise, apr`es une dur´ee de
vie ζu, en deux cellules de tailles identiques ´egales `a 12ξuexp(τuζu). La quantit´e nouvelle importante
est l’incr´ement de taille, diff´erence entre la taille courante de la cellule et sa taille `a la naissance. `
A la division, l’incr´ement de taille de la cellule u prend la valeur ∆u= ξu(eτuζu− 1).
Notons que l’incr´ement de taille est assimilable `a un ˆage physiologique (puisque cet incr´ement est nul pour toute cellule naissante). Il est fond´e biologiquement de supposer que les incr´ements de tailles `a la division des cellules sont mutuellement ind´ependants et ind´ependants des autres quantit´es du mod`ele (taille `a la naissance, taux de croissance),
P(∆u∈ ds) = fB(s)ds, (28)
voir [TAB+15] (Figures S6, S8 et S12). Le mod`ele est enti`erement d´etermin´e par le taux de division B et par le noyau markovien ρ.
D’un point de vue d´eterministe, ce mod`ele se traduit par une ´equation structur´ee en trois
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
variables que sont la taille x > 0, l’incr´ement de taille a ≥ 0 et le taux de croissance v > 0, ∂ ∂tn(t, x, a, v) + ∂ ∂x vxn(t, x, a, v) + ∂ ∂a vxn(t, x, a, v) + γ(x, a, v)n(t, x, a, v) = 0, v0xn(t, x, a = 0, v0) = 4R∞ 0 γ(2x, a)n(t, 2x, a, v)ρ(v, v 0)dadv, n(t = 0, x, a, v) = nin(x, a, v), (29)
o`u n(t, x, a, v) repr´esente la quantit´e de cellules de caract´eristiques (x, a, v) au temps t. Le choix du taux de division γ(x, a, v) = vxB(a) permet d’obtenir la propri´et´e fondamentale (28). Le probl`eme (29) ne permet pas une caract´erisation simple de la valeur propre λB,ρ pouvant aboutir `a un
r´esultat du type du R´esultat8, par les mˆemes techniques de d´emonstration. Le cadre stochastique peut suppl´eer `a l’analyse d´eterministe et nous permettre d’obtenir des r´esultats pr´eliminaires `a la question (C.i).
Synth`ese des r´esultats nouveaux
Mod´elisation de l’h´er´edit´e. Nous autorisons, contrairement au mod`ele jouet pr´ec´edent, la transmission h´er´editaire du trait de variabilit´e. L’h´er´edit´e dans la transmission du taux de crois- sance peut ˆetre mod´elis´e par un processus bifurquant auto-r´egressif (nous r´ef´erons au ChapitreIV pour une seconde mod´elisation) : toute cellule u ∈ T, de taux de croissance τu, donne naissance `a
deux cellules dont les taux de croissance respectifs sont donn´es par
τu0= (1 − κ)¯v + κτu+ ηu0 and τu1= (1 − κ)¯v + κτu+ ηu1, (30)
o`u (ηu0, u ∈ T) et (ηu1, u ∈ T) sont deux suites de bruit, de mˆeme loi centr´ee, ind´ependantes,
ce qui revient `a n´egliger l’´eventuelle corr´elation directe qui pourrait exister entre les taux de croissance τu0 et τu1 de deux cellules sœurs. Le processus BAR est par ailleurs choisi d’une forme
simple : sym´etrique d’une part, lin´eaire d’autre part. Le coefficient κ ∈ (0, 1) mesure la force de l’h´er´edit´e, le cas sans h´er´edit´e aucune correspondant `a κ = 0. `A l’´equilibre, E[τu] = ¯v et
E[(τu− ¯v)2] = η2(1−κ2)−1, o`u η2est le niveau de bruit. Le coefficient de variation de la distribution
des taux de croissance `a l’´equilibre
CVκ=
η(1 − κ2)−1/2
¯ v
est une quantification naturelle de la force de la variabilit´e : plus CVκ est grand, plus les taux de
croissance au sein de la population sont dispers´es.
Protocole num´erique. Nous param´etrons le mod`ele par le taux de division B et le param`etre κ (la loi du bruit (ηu, u ∈ T) ´etant un param`etre de nuisance). Nous notons λB,κ le param`etre de
Malthus relatif `a B et κ. L’observation de (ξuT /2, u ∈ ∂TT /2) et de (ξuT, u ∈ ∂TT), o`u ξut est la taille `a
la date t de la cellule u (voir (2) avec τ = τu), permet l’estimation de λB,κ via l’approximation 2)
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
vivantes `a l’instant t, cette approximation, nous permet d’utiliser l’estimateur
b λT = 2 T ln MT MT /2 .
La simulation d’un arbre en temps continu de 0 `a T permet donc l’estimation de λB,κ, et la
simulation de M arbres en temps continu de 0 `a T permet l’obtention d’un intervalle de confiance estim´e.
Conclusions num´eriques. A l’aide du protocole pr´` ec´edent, pour un taux de division B fix´e, exp´erimentalement plausible, pour diff´erents κ fix´es, nous ´evaluons la courbe CVκ λB,κ, o`u
l’´echelle des abscisses mesure la dispersion des taux de croissance au sein de la population. La Figure3 est une synth`ese des r´esultats num´eriques obtenus :
1) En l’absence d’h´er´edit´e. La courbe correspondant au cas κ = 0 est, d’une part, signifi- cativement en-de¸c`a de la valeur de r´ef´erence ici ´egale `a 1 et, d’autre part, significativement d´ecroissante. Cela signifie donc que, d’une part, la variabilit´e dans le taux de croissance p´enalise la croissance et que, d’autre part, cette p´enalit´e est d’autant plus grande que les taux de croissance sont dispers´es au sein de la population, ce qui conforte l’induite biologique.
2) En pr´esence d’h´er´edit´e. Pour une h´er´edit´e relativement faible (κ = 0.25) les deux conclu- sions pr´ec´edentes demeurent valables. Pour une h´er´edit´e plus forte (κ = 0.50), le param`etre de Malthus semble maintenu constant ´egal `a la valeur de r´ef´erence 1, quelle que soit la varia- bilit´e dans le taux de croissance. Pour une valeur fix´ee de CVκ, i.e. un niveau de variabilit´e
fix´e, nous observons une croissance significative de λB,κ avec la force de l’h´er´edit´e mesur´ee
par κ. Pour r´esumer, nous inf´erons
λB,κ=0< λB,κ=0.25< λB,κ=0.50≈ 1,
o`u 1 est ici la valeur de r´ef´erence. Pour un κ plus grand nous sommes tent´es de penser qu’il est possible que λB,κ d´epasse ¯v = 1. Cependant, les essais pour κ = 0.75 que nous avons
r´ealis´es se montrent rien de significatif par rapport au cas κ = 0.50.
La variabilit´e peut donc p´enaliser ou non la croissance globale de la population. Une seconde mod´elisation de l’h´er´edit´e dans le taux de croissance, passant par la distinction de deux sous- populations, l’une avec un taux de croissance ´elev´e, l’autre avec un taux de croissance faible, montre que la croissance globale de la population peut ´egalement ˆetre acc´el´er´ee. Cette conclusion est remarquable dans la mesure o`u elle va `a l’encontre des intuitions biologiques.
Par ailleurs, notre ´etude indique que les variations du param`etre de Malthus pourront ˆetre mesur´ees exp´erimentalement.
Chapitre Introductif. Les mod`eles de croissance-fragmentation
Figure 3 – Mod`ele structur´e en taille et incr´ement de taille avec variabilit´e dans le taux de croissance. Taux de division B(a) = (a − 1)21
{a≥1}, les taux de croissance (τu, u ∈ T) suivent la
dynamique auto-r´egressive (30). Courbe estim´ee CVκ λB,κ (moyenne et intervalle de confiance
`
a 95% calcul´es `a partir de M = 50 arbres en temps continu) pour diff´erentes valeurs de κ. Courbe rouge (bas) : κ = 0 (pas d’h´er´edit´e). Courbe verte (milieu) : κ = 0.25. Courbe bleue (haut) : κ = 0.50.
6 Perspectives
Outre les perspectives d´ej`a mentionn´ees, concernant les mod`eles structur´es en ˆage ou en taille (voir Table1), deux autres axes majeurs de travail se d´egagent.